Trajectoire ballistique à grande échelle

[yaesen]

Bonjour à tous,

J'essaye de résoudre une équation différentielle traduisant le mouvement d'un objet dans un champ gravitationnel non uniforme (ne pas tenir compte de la distance serait trop facile...). Pour développer, voici mes hypothèses:

1) Je considère 2 masses ponctuelles, dont l'une de masse M est au centre du référentiel galiléen utilisé et est considérée comme un astre.
2) Les 2 masses ne sont soumises qu'à leur attraction gravitationnelle mutuelle, et les variations de distances ne sont pas négligeables, ce qui implique que le champ gravitationnel de l'astre n'est pas considéré comme uniforme.
3) La 2e masse (qu'on appelera "objet") s'éloigne de l'astre à la vitesse initiale V(t=0) = Vo, en partant d'une distance initiale X(t=0) = Xo.
4) La vitesse de l'objet est purement axiale (aucune rotation autour de l'astre). Le problème est donc considéré unidimentionnel.

But du problème: déterminer quelle vitesse PUREMENT VERTICALE (pas de calcul d'orbite, ça je saurais résoudre) initiale Vo de l'objet est nécessaire pour le libérer de l'attraction de l'astre, et ce en fonction de Xo.

La finalité de l'exercice est de satisfaire ma curiosité à propos des trous noirs en explorant une idée qui me trotte dans la tête depuis un moment...

Mon problème:
Il surgit dès le début: en utilisant le PFD sur mon objet dans le référentiel de l'astre, je tombe sur une équation différentielle qui me turlupine depuis quelques semaines:

a(t) = -G.M/r(t)², d'où:

>> r(t)².r"(t) = -GM <<

Quelqu'un connaîtrait-il une façon de résoudre ce problème? Merci...
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[calculair]

La force d'attraction sur ton astre objet est F = - GM m /R²

Le travail pour eloigner à l'infini cet astre est la somme de R° = X° à l'infini de - GM m / R°² dR = GM m /R°

Maintenant pour fournir ce travail l'energie cinetique de ton astre objet doit être

Ec = 1/2 m V°² = G M m / R°

V°² = 2 G M / R°

Cela repond il à ta curiosité, mais pourquoi cette question ?

[yaesen]

J'avais essayé d'utiliser les bilans d'énergie mais je suis tombé sur un truc idiot... j'ai du me tromper quelque part...

Pourquoi cette question? tout simplement pour savoir à quelle distance de l'astre mon objet peut s'approcher sans être amené à la collision avec ce dernier: en clair je cherche à quelle distance la vitesse de la lumière est la vitesse minimale pour se libérer d'une trajectoire de collision... je suis curieux de savoir si le rayon de Schwartzschild est calculable de cette façon: j'ai essayé de calculer quelle orbite circulaire demandait une vitesse tangentielle de c, et j'ai trouvé la moitié du rayon de Schwartzschild.

Je cherche une manière facile d'y arriver, même si je me doute que ça ne l'est pas...

[Calvert]

Salut!

On peut faire:



En multipliant le tout par , on a:



On peut remarquer que:



et que:



Donc:



En intégrant par rapport au temps, on trouve donc:



où C est une constante d'intégration. On peut récrire:



qui n'est autre que la conservation de l'énergie mécanique du système. La constante est fixée par une condition initiale, par exemple, que la vitesse au rayon r₀ est v₀:

Je cherche une manière facile d'y arriver, même si je me doute que ça ne l'est pas...

Dans ce cas, un calcul classique fournit chanceusement le même résultat que la relativité générale. Les calculs relativistes sont plus complexes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[yaesen]

Merci beaucoup, j'ai maintenant la réponse que je cherchais, ce problème ne m'empêchera plus de dormir ... ;p

[phys4]

Bravo à vous pour ce joli calcul de mécanique classique.
La réponse à la question de base de yaesen est bien connue: oui le calcul de la vitesse de libération pour la lulière donne le rayon de Schwartzschild. Attention cependant, la mécanique utilisée est inapplicable et le résultat est un hasard mathématique.

[invitefd754499]

Bravo à vous pour ce joli calcul de mécanique classique.
La réponse à la question de base de yaesen est bien connue: oui le calcul de la vitesse de libération pour la lulière donne le rayon de Schwartzschild. Attention cependant, la mécanique utilisée est inapplicable et le résultat est un hasard mathématique.

Bonsoir,

"Hasard mathématiques" n'est-il pas un peu fort ?

Cordialement,

[phys4]

Si vous avez une bonne idée pour qualifier ce type de coïncidence: le seul lien physique est la dimension de la grandeur.
Tout essai d'interprétation serait absurde: le calcul classique est valable pour un mobile dont la vitesse reste petite devant c, et de plus la formule est appliquée à la lumière !
Le repère cartésien n'est plus valable non plus, en RG il faut commencer par définir le système de coordonnées utilisé. Le calcul pour la lumière est différent de celui d'un objet matériel et un tel objet n'atteint jamais la vitesse de la lumière.
Alors si vous avez une explication, je pense que se serait une découverte.

[invitefd754499]

Si vous avez une bonne idée pour qualifier ce type de coïncidence: le seul lien physique est la dimension de la grandeur.
Tout essai d'interprétation serait absurde: le calcul classique est valable pour un mobile dont la vitesse reste petite devant c, et de plus la formule est appliquée à la lumière !
Le repère cartésien n'est plus valable non plus, en RG il faut commencer par définir le système de coordonnées utilisé. Le calcul pour la lumière est différent de celui d'un objet matériel et un tel objet n'atteint jamais la vitesse de la lumière.
Alors si vous avez une explication, je pense que se serait une découverte.

Alors restons sur le "hasard mathématiques"

Je n'ai pas les connaissances requises pour faire des découvertes en physique. Je ne fais malheureusement pas partie de ces "fabuleux génies" qui ont une nouvelle théorie par semaine et qui se sentent obligés de la poster

Merci de votre réponse.
Cordialement,