De l'expansion à petite échelle

[invite88ef51f0]

Salut tout le monde,

J'ouvre ce sujet pour répondre à une question simple qui me gêne depuis un bout de temps : dans un Univers en accélération accélérée, au bout d'un temps "infini", les objets sont ils déchirés par l'expansion ?

Déjà, si on se fixe une métrique FRW (on reviendra là-dessus), si je ne m'abuse l'expansion peut être vue à petite échelle comme une force. En newtonien, ça serait un terme de friction des objets en mouvement par rapport au flot d'Hubble. Si j'en crois ce papier http://arxiv.org/abs/0707.0380v1 la section 2.6.2 donne l'expression de cette force. On voit un terme en r"/r, c'est-à-dire relié à la variation du taux d'expansion. J'en conclurais donc que dans un Univers en expansion accélérée, l'expansion finirait par l'emporter sur les forces internes.

Maintenant, il faut voir que cela ne prend en compte que les forces non-gravitationnelles. Pour des forces de cohésion gravitationnelles (ce qui est le cas à "moyenne" échelle), il faut modifier la métrique. On sait qu'on a deux cas extrêmes : un objet isolé donne (dans les cas simples) une métrique de Schwarzschild, tandis qu'un fluide totalement homogène et isotrope donne une métrique de FRW. Dans le cas intermédiaire d'un objet dans un Univers statistiquement homogène et isotrope, il faut donc bricoler sa métrique. La question qui me vient alors est de savoir quelle latitude on a dans le choix de la métrique. Dans les cas extrêmes, on a des symétries qui fixent totalement la métrique. Mais dans le cas intermédiaire, si ces symétries ne sont pas tout à fait réalisé, peut-on avoir une métrique très différente ? Et quelle est l'étendue des possibilités pour relier une métrique de Schwarzschild à une métrique FRW ?
Au final, qu'obtient-on à temps infini ? L'expansion finit-elle par l'emporter ou bien a-t-on des ilots schwarzschildiens qui résistent encore et toujours à l'expansion ? Et pour w<-1 ?
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[invite79aadfd3]

Salut tout le monde,

J'ouvre ce sujet pour répondre à une question simple qui me gêne depuis un bout de temps : dans un Univers en accélération accélérée, au bout d'un temps "infini", les objets sont ils déchirés par l'expansion ?

Déjà, si on se fixe une métrique FRW (on reviendra là-dessus), si je ne m'abuse l'expansion peut être vue à petite échelle comme une force. En newtonien, ça serait un terme de friction des objets en mouvement par rapport au flot d'Hubble. Si j'en crois ce papier http://arxiv.org/abs/0707.0380v1 la section 2.6.2 donne l'expression de cette force. On voit un terme en r"/r, c'est-à-dire relié à la variation du taux d'expansion. J'en conclurais donc que dans un Univers en expansion accélérée, l'expansion finirait par l'emporter sur les forces internes.

Maintenant, il faut voir que cela ne prend en compte que les forces non-gravitationnelles. Pour des forces de cohésion gravitationnelles (ce qui est le cas à "moyenne" échelle), il faut modifier la métrique. On sait qu'on a deux cas extrêmes : un objet isolé donne (dans les cas simples) une métrique de Schwarzschild, tandis qu'un fluide totalement homogène et isotrope donne une métrique de FRW. Dans le cas intermédiaire d'un objet dans un Univers statistiquement homogène et isotrope, il faut donc bricoler sa métrique. La question qui me vient alors est de savoir quelle latitude on a dans le choix de la métrique. Dans les cas extrêmes, on a des symétries qui fixent totalement la métrique. Mais dans le cas intermédiaire, si ces symétries ne sont pas tout à fait réalisé, peut-on avoir une métrique très différente ? Et quelle est l'étendue des possibilités pour relier une métrique de Schwarzschild à une métrique FRW ?
Au final, qu'obtient-on à temps infini ? L'expansion finit-elle par l'emporter ou bien a-t-on des ilots schwarzschildiens qui résistent encore et toujours à l'expansion ? Et pour w<-1 ?

L'expansion emporte tout sur son passage uniquement quand w < -1 pour tout autre type d'expansion accélérée, rien de grave n'arrive aux objets déjà liés.

[invite88ef51f0]

D'accord. Ça correspond bien à ce qu'on dit d'habitude : Big Rip dans un cas, mort thermique dans l'autre.
Mais que se passe-t-il à petite échelle. Pourquoi ma métrique approximativement schwarzschildienne devient FRW dans un cas et pas dans l'autre ?
Le cas w<-1 conduit à un Big Rip car j'ai un Lambda qui croît avec l'expansion. Mais localement j'aurais tendance à dire que ma métrique n'inclue ni Lambda ni expansion...

[ordage]

Salut tout le monde,

J'ouvre ce sujet pour répondre à une question simple qui me gêne depuis un bout de temps : dans un Univers en accélération accélérée, au bout d'un temps "infini", les objets sont ils déchirés par l'expansion ?

Déjà, si on se fixe une métrique FRW (on reviendra là-dessus), si je ne m'abuse l'expansion peut être vue à petite échelle comme une force. En newtonien, ça serait un terme de friction des objets en mouvement par rapport au flot d'Hubble. Si j'en crois ce papier http://arxiv.org/abs/0707.0380v1 la section 2.6.2 donne l'expression de cette force. On voit un terme en r"/r, c'est-à-dire relié à la variation du taux d'expansion. J'en conclurais donc que dans un Univers en expansion accélérée, l'expansion finirait par l'emporter sur les forces internes.

Maintenant, il faut voir que cela ne prend en compte que les forces non-gravitationnelles. Pour des forces de cohésion gravitationnelles (ce qui est le cas à "moyenne" échelle), il faut modifier la métrique. On sait qu'on a deux cas extrêmes : un objet isolé donne (dans les cas simples) une métrique de Schwarzschild, tandis qu'un fluide totalement homogène et isotrope donne une métrique de FRW. Dans le cas intermédiaire d'un objet dans un Univers statistiquement homogène et isotrope, il faut donc bricoler sa métrique. La question qui me vient alors est de savoir quelle latitude on a dans le choix de la métrique. Dans les cas extrêmes, on a des symétries qui fixent totalement la métrique. Mais dans le cas intermédiaire, si ces symétries ne sont pas tout à fait réalisé, peut-on avoir une métrique très différente ? Et quelle est l'étendue des possibilités pour relier une métrique de Schwarzschild à une métrique FRW ?
Au final, qu'obtient-on à temps infini ? L'expansion finit-elle par l'emporter ou bien a-t-on des ilots schwarzschildiens qui résistent encore et toujours à l'expansion ? Et pour w<-1 ?

Il y a un premier problème de principe. Comment mesurer l'expansion si celle ci s'applique à tout (y compris les phénomènes physiques qui sont utilisés pour nos instruments de mesure)
Aujourd'hui, ce qui permet de mesurer l'expansion de l'univers c'est que précisement elle n'est pas homogène (expansion relative).

Au niveau des équations de la RG , comme c'est une théorie de la gravitation, tu n'auras des réponses précises que dans des configurations où elle est appliquable, ce qui aujourd'hui couvre quand même un large domaine.


Quelques références:

http://www.astro.ucla.edu/~wright/cosmology_faq.html#SS
http://www.astro.ucla.edu/~wright/bound.html
http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/9803097
http://math.ucr.edu/home/baez/physic..._universe.html

et en français
http://www-cosmosaf.iap.fr/Frequentl...ology-f.htm#SS

Mais pour aller plus loin il faut une théorie plus complète (à faire).

Si l'expansion devait l'emporter sur tout, la physique en serait bien changée puisque exit de la diversité apportée par les 3 autres interactions connues (électromagnétique, faible et forte).
Peut être que cela révélera d'autres interactions inconnues aujourd'hui, de même que les 4 interactions sont supposées résulter de brisures de symétrie d'une interaction unique présente aux tous premiers instants de l'univers.
Bref du boulot pour les générations futures.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

Aujourd'hui, ce qui permet de mesurer l'expansion de l'univers c'est que précisement elle n'est pas homogène (expansion relative).

Non. Une des manières (et la première) c'est le redshift, qui vient du fait que la lumière voyage dans un Univers en expansion et que donc son énergie n'est pas conservée globalement.

Ceci est possible que l'expansion soit homogène ou non.

[invite88ef51f0]

Le problème, c'est que généralement on dit que l'expansion n'a pas lieu à petite échelle parce que les objets sont liés, d'autre fois on dit que de toute façon elle est rigoureusement nulle parce que c'est du Schwazschild et pas du FRW.
Le résultat est le même : je ne gonfle pas (ou plutôt pas à cause de l'expansion de l'Univers ).

Mais les deux sont fondamentalement différents. Dans un cas je dis que l'effet est trop faible et dans l'autre qu'il est rigoureusement nul. Si j'imagine une situation où l'influence de l'expansion l'emporte sur les forces de liaison (par exemple, j'imagine deux particules test sans aucune interaction, ou encore j'imagine un futur où l'expansion est formidablement plus grande), alors je ne peux plus dire que ça revient au même.
Les deux façons de résoudre le problème actuel diffèrent sur les prédictions futures.

Au final, j'ai l'impression qu'il n'y a pas de consensus...

[ordage]

Non. Une des manières (et la première) c'est le redshift, qui vient du fait que la lumière voyage dans un Univers en expansion et que donc son énergie n'est pas conservée globalement.

Ceci est possible que l'expansion soit homogène ou non.

Ben non!
Voir par exemple les premières lignes de:

http://xxx.lanl.gov/PS_cache/astro-p.../9803097v1.pdf

A recurring issue in cosmology concerns the nature and extent of the cosmological expansion.
If expansion were to occur in proportion and in every minutia of detail to every element of the universe, then every clock and every measuring apparatus of distance would be altered in proportion. If in addition, the laws of physics were to remain unaltered in the process, the very concept of expansion would lose its meaning as it would be
intrinsically unobservable.
Je ne traduis pas, je pense que c'est assez simple.

[invite9c9b9968]

Ben non!

Toutes mes excuses, j'ai confondu "isotrope" et "homogène"...

Et effectivement vu que l'expansion n'agit qu'à grande échelle, tu as raison.

[invite79aadfd3]

D'accord. Ça correspond bien à ce qu'on dit d'habitude : Big Rip dans un cas, mort thermique dans l'autre.
Mais que se passe-t-il à petite échelle. Pourquoi ma métrique approximativement schwarzschildienne devient FRW dans un cas et pas dans l'autre ?
Le cas w<-1 conduit à un Big Rip car j'ai un Lambda qui croît avec l'expansion. Mais localement j'aurais tendance à dire que ma métrique n'inclue ni Lambda ni expansion...

Vous avez la réponse ici : http://arxiv.org/abs/astro-ph/0302506 (2ème page, colonne de droite). En gros, il faut comparer la densité de votre énergie sombre (ici appelée énergie fantôme), avec la densité moyenne de votre système lié.

[invite88ef51f0]

Merci pour la référence. je commence à y avoir un peu plus clair. L'idée est donc que l'influence de la constante cosmologique se fait sentir à toute échelle. Si w>-1 (resp. w=-1), son influence diminue (resp. reste constante) et les objets liés le restent. Si w<-1, alors son influence augmente et finit par dissocier tous les objets (Big Rip).
Mais donc, si j'ai deux points sans aucune interaction sur Terre, alors ils s'éloigneront.

[Gilgamesh]

Si c'est bien ça, ouf ! Ça me parait beaucoup plus facile à comprendre si l'expansion est seulement infinitésimale et que les corps "tombent" en permanence l'un vers l'autre dans le courant d'espace en expansion qui tend à les séparer, même deux atomes liés dans un atome d'H2.

Ce qui m'amène une question : cela signifierait que dans le système lié, il y a un travail infinitésimal mais constant du fait que la force travaille sur la distance que recrée en permanence l'expansion de l'espace. Une sorte d'effet Reine Rouge cosmologique ("pour rester au même endroit il faut courir en permanence") .

Est ce que ce travail des systèmes liés dans le courant d'espace correspond une quelconque réalité ? Est ce qu'il joue un rôle quelque part dans la théorie ? Ca m'intéresserait de le savoir.


a+

[invite79aadfd3]

Si c'est bien ça, ouf ! Ça me parait beaucoup plus facile à comprendre si l'expansion est seulement infinitésimale et que les corps "tombent" en permanence l'un vers l'autre dans le courant d'espace en expansion qui tend à les séparer, même deux atomes liés dans un atome d'H2.

Ce qui m'amène une question : cela signifierait que dans le système lié, il y a un travail infinitésimal mais constant du fait que la force travaille sur la distance que recrée en permanence l'expansion de l'espace. Une sorte d'effet Reine Rouge cosmologique ("pour rester au même endroit il faut courir en permanence") .

Est ce que ce travail des systèmes liés dans le courant d'espace correspond une quelconque réalité ? Est ce qu'il joue un rôle quelque part dans la théorie ? Ca m'intéresserait de le savoir.


a+

Si vous réécrivez l'équation dite de conservation en relativité générale, , alors vous obtenez
,
P, et H étant respectivement la pression, la densité d'énergie et le taux d'expansion, ce que vous pouvez écrire, en posant l'énergie U (dans un volume V donné, avec donc ),

Donc oui, c'est l'expression du premier principe, avec , un morceau d'univers homogène et isotrope ne recevant pas d'apport de chaleur de l'extérieur. Tout ceci n'est pas dû au hasard : l'interprétation physique de cette équation dite de conservation (qui dans ce contexte n'en est pas une) n'est rien d'autre que ce que la thermodynamque vous donne, le tout écrit d'une façon inhabituelle.

[Gilgamesh]

Merci alain,

moi je pensais du coup que l'expansion de l'espace changeait l'idée de conserver l'énergie même localement et que le travail auquel je faisais allusion était fictif. Mais c'est vrai que puisque la RG est une théorie qui a une ethiologie "locale" ce ne serait pas logique...

Mais alors, si l'énergie est bien conservée localement, il me manque une marche pour m'expliquer qu'elle ne soit pas conservée globalement. Est ce que c'est juste un problème de modèle d'expansion dont on ignore l'allure exacte ? Je ne pense pas, car si l'énergie devait être conservée, on contraindrait les modèles de manière à ce que...

Ouais, du coup y'a un truc que je ne visualise pas bien...

Mais tu dis aussi que dans ce contexte, ce n'est pas une équation de conservation. C'est une conséquence de la théorie et non la façon dont on l'établit, c'est comme ça que je dois l'entendre ?

Il me semble comprendre vaguement, mais c'est nettement pas assez Purée ça m'énerve en tout cas.


a+

[invite9c9b9968]

Bonjour,

Mais alors, si l'énergie est bien conservée localement, il me manque une marche pour m'expliquer qu'elle ne soit pas conservée globalement. Est ce que c'est juste un problème de modèle d'expansion dont on ignore l'allure exacte ? Je ne pense pas, car si l'énergie devait être conservée, on contraindrait les modèles de manière à ce que...

Je tente une réponse naïve (peut-être fausse/pas assez creusée) : du fait de l'expansion il n'y a pas invariance d'un système par translation temporelle. Il n'y a donc pas conservation de l'énergie globalement, là où l'on voit l'expansion (qui brise cette translation).

[Gilgamesh]

Bonjour,



Je tente une réponse naïve (peut-être fausse/pas assez creusée) : du fait de l'expansion il n'y a pas invariance d'un système par translation temporelle. Il n'y a donc pas conservation de l'énergie globalement, là où l'on voit l'expansion (qui brise cette translation).

Est ce que je traduis ton sentiment correctement : moi également je comprendrais assez bien que du point de vue où nous sommes et en faisant la somme "naïve" de l'énergie par coquille temporelle successive en remontant vers les origine, on ne retrouve pas, du fait de l'expansion, l'énergie que chaque coquille est censée "transmettre" à sa voisine la plus proche, étant la même, simplement vue un peu plus tôt (dans l'hypothèse homogène et isotrope).

Par somme naïve j'entends ce que l'on mesure comme densité et pression sur l'ensemble de la coquille depuis notre référentiel.

Si c'est ça, y'a t'il un moyen "non naïf" de retrouver cette énergie en incluant le champs de gravitation ?

a+

[ordage]

Est ce que je traduis ton sentiment correctement : moi également je comprendrais assez bien que du point de vue où nous sommes et en faisant la somme "naïve" de l'énergie par coquille temporelle successive en remontant vers les origine, on ne retrouve pas, du fait de l'expansion, l'énergie que chaque coquille est censée "transmettre" à sa voisine la plus proche, étant la même, simplement vue un peu plus tôt (dans l'hypothèse homogène et isotrope).

Par somme naïve j'entends ce que l'on mesure comme densité et pression sur l'ensemble de la coquille depuis notre référentiel.

Si c'est ça, y'a t'il un moyen "non naïf" de retrouver cette énergie en incluant le champs de gravitation ?

a+

Le problème de "l'énergie "de gravitation, à supposer que le terme énergie" soit approprié est qu'elle n'est pas localisée (Elle n'est pas décrite localement par un tenseur énergie impulsion mais par un pseudo tenseur).
Une différence essentielle entre les deux formes est qu'un pseudo tenseur non nul par exemple peut être annulé par un changement de coordonnées alors que si un tenseur est nul dans un système de coordonnées il l'est dans tous. Cela ne veut pas dire pour autant que la gravitation n'existe pas, cela se saurait, mais elle n'est pas exprimable de façon covariante (par un tenseur) localement.

Mais si tu prends l'univers dans son ensemble, cette grandeur non localisée en fait partie.
C'et pour cela qu'il n'y a pas de contradiction entre le fait que l'énergie puisse être conservée au niveau de l'univers global (en tant que système isolé d'ailleurs on ne voit pas bien comment en vertu de la thermodynamique il pourrait en être autrement) et le fait que localement (mesurée dans l'espace temps tangent en un point) cette énergie n'est pas conservée du fait de l'expansion.
Pour ceux qui ont le Landau Lichitz (théorie de Champs ed 5) c'est très bien expliqué § 96.

[invité576543]

l'énergie puisse être conservée au niveau de l'univers global (en tant que système isolé d'ailleurs on ne voit pas bien comment en vertu de la thermodynamique il pourrait en être autrement)

Pourquoi la thermodynamique serait applicable à l'échelle de l'Univers?

Comme le dit Gwyddon, le principe de conservation de l'énergie est lié à la symétrie par translation temporelle, symétrie qui une approximation valable pour tous les systèmes où le principe de conservation de l'énergie est vérifié expérimentalement. Cela rend impossible de le généraliser à l'Univers (qui ne présente pas de symétrie par translation dans le temps) sans des arguments bien plus forts que la citation ci-dessus.

Cordialement,

[invité576543]

Pour revenir au sujet, une autre manière de voir ce qui a été dit dans des messages précédents est que l'expansion est une notion liée à la métrique. Pour comparer la métrique en des événements distincts, il faut pouvoir les ramener à quelque chose de commun. Il faut deux paramètres, une unité pour le temps, une unité pour l'espace. Un premier paramètre universel est c, mais il en faut un deuxième. Comment définir une unité de longueur ou de durée si tout est soumis à l'expansion? Pas possible.

Faut se tourner vers les autres constantes. Si on admet que h ou les masses des particules sont universelles, alors une telle unité peut se construire, par exemple Gm_p/c². Cette longueur ne peut pas être soumise à l'expansion sans contredire l'universalité de Gm_p !

Cela suffit à imposer que les distances dans le Système Solaire ne sont pas modifiées par l'expansion, non? (Je fais l'hypothèse que ces distances seraient calculables in fine à partir uniquement de termes du type Gm/c² pour la petite liste de particules élémentaires.)

Le même raisonnement sur h va donner des longueurs qui ne peuvent pas être influencées par l'expansion sans contredire l'universalité de h, non? Par exemple, supposer que h/m_ec (et toute longueur que l'on peut ramener à celle-ci) change avec l'expansion impliquerait que h ou m_e ne soit pas universel.

Cordialement,

[ordage]

Pourquoi la thermodynamique serait applicable à l'échelle de l'Univers?

Comme le dit Gwyddon, le principe de conservation de l'énergie est lié à la symétrie par translation temporelle, symétrie qui une approximation valable pour tous les systèmes où le principe de conservation de l'énergie est vérifié expérimentalement. Cela rend impossible de le généraliser à l'Univers (qui ne présente pas de symétrie par translation dans le temps) sans des arguments bien plus forts que la citation ci-dessus.

Cordialement,

Il faut voir à quoi s'applique la notion de conservation de l'énergie liée à l'existence d'un vecteur de Killing de type temps (traduisant l'invariance) .

Elle est relative à la comparaison des mesures d'énergie qu'on peut faire en 2 points de l'espace temps dans les espaces tangents.

Par exemple, un photon émis en un point (dans l'espace temps tangent) sera reçu décalé vers le rouge (moins énergique) en un autre point (dans un autre espace tangent) dans un univers FLRW en expansion.


S'agissant des équations de Lemaître Friedmann elles donnent la solution de la dynamique globale de l'univers.
On retrouve les équations qu'a données Alain R. dans tous les bons ouvrages de cosmo.
Ci joint réf dans un article du CDF.
http://www-cosmosaf.iap.fr/Dynamique...tm#energy_cons

C'est vrai que tout cela est un peu confondant, mais il faut bien s'en tenir à la portée exacte des équations.

[invité576543]

C'est vrai que tout cela est un peu confondant, mais il faut bien s'en tenir à la portée exacte des équations.

Soit, mais peux-tu expliciter la relation avec la thermodynamique à l'échelle du système "Univers"? Par exemple le calcul des variables d'état U et S?

Cordialement,

[ordage]

Soit, mais peux-tu expliciter la relation avec la thermodynamique à l'échelle du système "Univers"? Par exemple le calcul des variables d'état U et S?

Cordialement,

Salut


C'est décrit dans la référence que je t'ai donnée:

http://www-cosmosaf.iap.fr/Dynamique...tm#energy_cons

L'univers est supposé constitué d'un fluide parfait de densité rho et de pression p (cela peut être un mélange de fluides).


rho a^3 c'est l'energie dans un élément de volume a^3 de rayon a. comme l'univers et homogène et isotrope, ceci est représentatif de l'univers.


l'équation
P.d(a3) + d(ρ.a3) = P.dV + dU = 0

s'obtient par dérivation par rapport à la coordonnée t des équations de Friedmann.

On peut aussi la déduire de façon équivalente de la conservation covariante de l'énergie (équation 20).
http://www-cosmosaf.iap.fr/MIT-RG8F.htm#Tenseur_energie

[Gilgamesh]

Le problème de "l'énergie "de gravitation, à supposer que le terme énergie" soit approprié est qu'elle n'est pas localisée (Elle n'est pas décrite localement par un tenseur énergie impulsion mais par un pseudo tenseur).
Une différence essentielle entre les deux formes est qu'un pseudo tenseur non nul par exemple peut être annulé par un changement de coordonnées alors que si un tenseur est nul dans un système de coordonnées il l'est dans tous. Cela ne veut pas dire pour autant que la gravitation n'existe pas, cela se saurait, mais elle n'est pas exprimable de façon covariante (par un tenseur) localement..

Merci ordage, ça me clarifie beaucoup la compréhension cette histoire de pseudo tenseur.

a+

[invité576543]

(...)

Ca ne parle que de densité, pas d'énergie totale. Ca ne répond pas à ma question.

Cordialement,

[ordage]

Salut
Regarde bien l'équation.
d(rho.a^3), c'est la variation de l'énergie contenue dans le volume a^3

[invité576543]

(...)

Ca t'arrive de lire les messages auxquels tu réponds?

Je réagissais à :

'énergie puisse être conservée au niveau de l'univers global (en tant que système isolé d'ailleurs on ne voit pas bien comment en vertu de la thermodynamique il pourrait en être autrement)

Ce n'est pas en citant des équations locales qu'on peut justifier une telle phrase.

Cordialement,

[invité576543]

Pour revenir au sujet, je me permet de faire une remontée de mon message d'hier, le #18.

Est-ce que l'hypothèse de l'universalité des phénomènes mesurés par c, Gm_p (et autres masses) et h n'est pas suffisante pour montrer que l'expansion des longueurs dépendant de ces valeurs est nécessairement nulle?

Cordialement,

[invite79aadfd3]

Pour revenir au sujet, je me permet de faire une remontée de mon message d'hier, le #18.

Est-ce que l'hypothèse de l'universalité des phénomènes mesurés par c, Gm_p (et autres masses) et h n'est pas suffisante pour montrer que l'expansion des longueurs dépendant de ces valeurs est nécessairement nulle?

Cordialement,

La variation de la longueur d'onde des photons qui subissent l'expansion invalide votre hypothèse !

[invité576543]

La variation de la longueur d'onde des photons qui subissent l'expansion invalide votre hypothèse !

Je ne vois pas pourquoi. Serait-il possible que soit développées l'objection?

Cordialement,

[ordage]

Ca t'arrive de lire les messages auxquels tu réponds?

Je réagissais à :



Ce n'est pas en citant des équations locales qu'on peut justifier une telle phrase.

Cordialement,

Cool....
Faut pas s'énerver. C'était pour rendre service, mais si cela te met dans cet état, à l'avenir je m'abstiendrai de te répondre...