corrélation entre masse et chaleur

[tenocnoc]

bonsoir
je me demande si il y a une corrélation entre la masse des corps célestes et la chaleur totale qu'ils renferment.
par ailleur,sait-on quelle est la part du rayonnement fossile dans cette accumulation de chaleur?


merci
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[invite40271050]

Bjr à toi,
Heu s'ils se sont REFROIDIS la masse ne changera pas grand chose à "la chaleur totale".
Bien sur au DEPART ,plus la quantité de "matériau" est importante, plus,forcément le "volume" de chaleur l'est aussi.
Le rayonnement fossile (3 K) ne dois pas aller chercher bien loin là dedans.

A+

[Gilgamesh]

bonsoir
je me demande si il y a une corrélation entre la masse des corps célestes et la chaleur totale qu'ils renferment.
par ailleur,sait-on quelle est la part du rayonnement fossile dans cette accumulation de chaleur? merci

Il y a plusieurs relations qui font qu'en général un corps massif contient proportionnellement plus de chaleur qu'un corps léger.

La première et la plus fondamentale est celle du viriel.

Dans un système en équilibre dynamique, l'énergie cinétique Ec égale l'opposé de la moitié de l'énergie potentielle Ep

soit : Ec = - Ep/2

Si c'est un systeme dont les éléments sont en équilibre hydrostatique (une planète, une étoile...) la seule manière d'avoir de l'énergie cinétique est thermique. Et l'énergie potentielle est gravitationnelle.

en ordre de grandeur :

Ep ~ -GM²/R
Ec ~ nkT

avec G le cte de gravité
M la masse
R le rayon
k le cte de Boltzmann
T la température
n le nombre de particules

Pour simplifier on va dire qu'il n'y a qu'une seule particule composant l'astre, au hasard le proton, de masse m.

n = M/m

d'où :

Ec ~ kMT/m


T peut donc s'exprimer comme :

T ~ GmM/kR

(j'ai giclé de facteur 1/2 vu que les relations initiales sont dépouillées elles aussi de leurs constantes numériques)


Ainsi, plus une astre est formé de particules massives, plus il est lui même massif, et plus son rayon est petit, plus sa température est élevée (notamment au centre). Cela gouverne la vie des étoiles, car cette température est à l'origine de la pression donc de l'équilbre dynamique de l'astre. Pour les planètes, c'est moins fondamental dans la mesure où l'origine de la pression centrale est peu dépendante de la température.


Ensuite, l'exigence d'une pression-température centrales élevées pour les astres massifs engendre la possibilité de générer de l'énergie par fusion thermonucléaire. Cela aurait plutôt pour effet de refroidir le coeur de l'astre, car l'énergie ainsi générée doit se frayer un chemin vers la surface et repousse l'enveloppe (R augmente et donc T diminue). Par contre, cela stabilise l'astre en compensant ses pertes thermiques de surface.

Et enfin, concernant précisément ces pertes, la puissance P du flux sortant radiatif qui se répand dans l'espace est en :

P ~ sAT*⁴

ou s est la cte de Stefan
A la surface de l'astre
T* sa température effective de rayonnement (sa température de corps noir).

La surface est proportionnelle au carré du rayon :

A ~ R²

On a donc :

P ~ sR²T*⁴

Par ailleurs, pour un astre qui ne produit pas de chaleur et de température moyenne T, la quantité de chaleur Q qu'il est capable de rayonner est :

Q ~ nkT

En prenant n=M/m et M proportionnel au volume donc à R³, on a :

Q ~ kR³T/m

A ceci il faut ajouter une considération chimique d'une importance majeure en planétologie, c'est que les manteaux planétaires silicatés intègrent une petite proportion d'éléments radioactifs de très longues périodes (Uranium 238, Thorium 232, Potassium 40) qui entretiennent la chaleur de l'astre pendant de longue durée. Mais pareillement, la production de chaleur est volumique, donc en R³.

Le ratio Q/P donne une idée du temps de refroidissement t. Le calcul approché de la durée caractéristique d'évacuation de la chaleur contenue ou produite dans un volume par une surface est compliqué puisque il relie la température de surface avec la température centrale, qui dépend de l'efficacité du transfert de chaleur. Mais ça ne change pas qualitativement le fait que t ~ Q/P ~ R³/R²~R. Pour un corps de densité constante, on a M ~ R³.

On a donc très grossièrement :

t ~ M^1/3.

Plus une astre est gros, plus son refroidissement sera lent.

Cela rend compte du fait que les planètes ont une température centrale plus élevée que les petits corps.

a+

[tenocnoc]

bonjour
et merci de cette longue réponse

pourriez-vous me dire si il y a une relation quelconque entre le théorème du viriel et le rayonnement synchrotron par exemple.(vu qu'un corps tel une planète a un mouvement non-uniforme dans un référentiel galiléen.)

merci

[A voir en vidéo sur Futura]