Distance d'un trou-noir

[invitebdf515f4]

Bonjour,

Je m'interroge sur la notion de distance entre un trou-noir et un autre objet, par exemple la terre.

Je n'arrive pas à comprendre comment on peut définir cette distance de manière absolue, indépendante d'un référentiel particulier.

Par exemple, la page suivante contient une liste de "candidats trou-noirs" avec leurs distances respectives à la terre:
http://www.johnstonsarchive.net/rela.../bhctable.html

J'ai l'impression que la distance doit-être prise assez loin du trou-noir, afin que la zone d'espace très courbée à proximité de l'horizon du trou-noir puisse être exclue du calcul de distance.

Peut-être me trompe-je mais j'ai l'impression qui si on calculait la distance entre la terre et l'horizon du trou-noir, dans un référentiel lié à la terre, on devrait obtenir une distance infinie, non ?
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[Deedee81]

Salut,

Je m'interroge sur la notion de distance entre un trou-noir et un autre objet, par exemple la terre.

Je n'arrive pas à comprendre comment on peut définir cette distance de manière absolue, indépendante d'un référentiel particulier.

Mais c'est faux. Ca se définit bien dans un référentiel particulier ! (en général le repère héliocentrique). Et pas besoin d'un TN pour ça !

Ceci dit, tout près du TN, la distance peut devenir un peu délicate à définir.

Peut-être me trompe-je mais j'ai l'impression qui si on calculait la distance entre la terre et l'horizon du trou-noir, dans un référentiel lié à la terre, on devrait obtenir une distance infinie, non ?

Non. La métrique la mieux adaptée à un observateur lointain est celle de Schwartzchild et la distance au TN n'est pas infinie.

Et comme je disais, la distance peut devenir délicate à définir, mais un astronome s'en fou en général. On considère avec raison qu'à une distance de quelques rayons du TN, l'espace est relativement plat. Ce n'est jamais qu'un astre comme un autre. S'il est à mi-chemin d'une étoile à, disons, 1000 AL, alors le TN est à 500 AL. Basta.

L'astronome ne va pas se poser la question de savoir ce que mesurerait un arpenteur s'approchant de l'horizon (ça, ce serait plutôt une question de théoricien). Pas plus qu'il ne se préoccupe de savoir si la distance Terre-Titan tient compte de l'épaisseur de l'atmosphère de Titan

Ceci dit, si c'est la distance théorique à l'horizon qui t'intéresse et si Schwartzchild ne te suffit pas, tu peux imaginer une procédure physique. Par exemple, un arpenteur s'approchant tout doucement du TN avec un étalon puis faisant demi-tour. Tu fais le calcul. Tu fais tendre la limite sur l'horizon. Et tu regardes le résultat. Amha la mesure ne serait pas infinie (c'est la longueur spatiale d'une trajectoire non géodésique radiale). Ce n'est pas difficile à calculer mais ça risque quand même nécessiter de pisser quelques lignes. Donc, si le coeur t'en dit....

[invitebdf515f4]

J'avoue que je ne comprends pas. Il doit y avoir des éléments qui m'échappent. Malheureusement, je ne suis même pas capable de les exprimer clairement.

Tu dis "si Schwartzchild ne te suffit pas", mais je ne comprends pas ça. Je crois bien que Schwartzchild me suffit amplement. Je n'ai aucune volonté de faire original ou compliqué dans ma question.

En fait, mon problème, c'est que je ne sais pas comment est définie, dans la communauté scientifique, la notion de distance entre la terre (ou le soleil, peu importe) et un trou-noir.

Coté terre (ou soleil), je n'ai pas de problème. Mais coté trou-noir, je me demande à quel "point" on démarre la mesure. Quelle est la convention qu'on emploie ?

Ta remarque "Ce n'est jamais qu'un astre comme un autre" me laisse perplexe. En effet, c'est un astre comme un autre, évidemment. Mais, tout de même, les mesures de distances à proximité d'un trou-noir ne sont certainement pas aussi simples qu'autour de la terre, non ?

En fait, honnêtement, je suis perdu ... je n'y comprends plus rien.

[invitebdf515f4]

J'ai l'impression que mon incompréhension a quelque chose à voir avec ta remarque suivante:

L'astronome ne va pas se poser la question de savoir ce que mesurerait un arpenteur s'approchant de l'horizon (ça, ce serait plutôt une question de théoricien). Pas plus qu'il ne se préoccupe de savoir si la distance Terre-Titan tient compte de l'épaisseur de l'atmosphère de Titan

Je ne peux pas prétendre être un théoricien, vu que je suis juste informaticien avec un niveau scientifique que j'estime du niveau Bac S.

Je comprends que lorsqu'on calcule la distance terre-titan, l'atmosphère de titan soit négligeable. Cela représente une distance qui est très faible par rapport a l'ordre de grandeur de la distance et de toute façon plus faible que l'incertitude que l'on a sur cette mesure.

Mais pour la distance à un trou-noir, j'ai l'impression que la distance que l'on prétends négliger peut être supérieure à la distance que l'on mesure !

Mais ... encore une fois ... je suis loin, loin, loin de comprendre tout ça. Donc, tout ce que je dis est à prendre avec des pincettes !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite80fcb52e]

Dans ton lien, on a affaire à des systèmes binaires. On détecte les trous noirs avec l'influence qu'ils ont sur l'étoile compagnon. C'est la distance au compagnon qui est mesurée... Un trou noir tout seul on le verrait pas!!

[Deedee81]

Salut,

Si Schwartzchild te suffit, la distance "coordonnée" est finie, no problemos. Voir ci-dessous.

Mais pour la distance à un trou-noir, j'ai l'impression que la distance que l'on prétends négliger peut être supérieure à la distance que l'on mesure !

Même si c'était le cas, je l'ai dit, l'astronome s'en fou. En dessous d'une certaine zone autour du trou, peu importe les détails. Ce qui compte c'est placer l'astre sur une carte ! Une carte bien plate.

Et au niveau du TN lui-même, la question peut se poser (et est délicate, la notion de distance est délicate en RG à cause de la déformation de l'espace-temps) mais là aussi elle n'a pas un intérêt pratique direct. En général, les questions qui se posent plutôt c'est "quel est le décalage vers le rouge de...", "quelle est la trajectoire d'un rayon lumineux, d'une particule,... passant près du TN".

Mais de toute façon, la réponse est manifestement "distance finie".

Si tu considères un observateur lointain (non, par exemple), une bonne représentation de la métrique de l'espace-temps est celle de Schwartzchild et la distance est finie et cette distance est la même que sans TN ! C'est simplement la coordonnée radiale r dans cette métrique.

Si tu considère un observateur qui tombe dans le TN. Suppose qu'en chaque point on a déposé une petite règle étalon qui reste fixe grâce à de petits réacteurs. Lorsque cet observateur passe, il peut comparer ces étalons avec le sien (pour tenir compte des effets relativistes) et calculer la distance qu'il parcourt. Comme sa vitesse reste finie (toujours inférieure à c par rapport à ces étalons "fixes") et comme il met un temps fini pour atteindre l'horizon, il obtiendra une distance finie (et même plus courte ! A cause de la contraction des longueurs pour les étalons qu'il voit passer à toute vitesse lors de sa chute).

[invitebdf515f4]

J'essaie de comprendre.

D'après ce que tu dis Deedee:
Ce qui compte c'est placer l'astre sur une carte ! Une carte bien plate.
ou bien
... la distance est finie et cette distance est la même que sans TN !

J'ai l'impression que l'astuce consiste à faire une sorte de projection.

Un peu comme si, pour mesurer une distance entre deux objets dans un espace en 3 dimensions, on faisait une projection sur un plan (en 2 dimensions donc), puis on mesurait la distance dans ce plan.

Vu que je ne suis pas capable de comprendre des équations, est-ce que cette manière de comprendre intuitivement la mesure de la distance à un trou-noir semble à peu près fidèle aux équations ?

[invite80fcb52e]

J'ai l'impression que l'astuce consiste à faire une sorte de projection.

Un peu comme si, pour mesurer une distance entre deux objets dans un espace en 3 dimensions, on faisait une projection sur un plan (en 2 dimensions donc), puis on mesurait la distance dans ce plan.

C'est parce que tu as dans la tête le schéma que tout le monde a déjà vu avec un tissu 2D dans lequel un trou noir fait un trou... Mais c'est juste une image pour la vulgarisation.

[Deedee81]

C'est parce que tu as dans la tête le schéma que tout le monde a déjà vu avec un tissu 2D dans lequel un trou noir fait un trou... Mais c'est juste une image pour la vulgarisation.

Non, justement, c'est le contraire. Manifestement hlbnet a bien compris ça mais n'arrivait justement pas à comprendre comment on peut parler de distance "comme-ci" l'espace-temps était plat alors que c'est faux !

Car un astronome, c'est bien ce qu'il fait. Il considère grosso modo que l'espace qui nous environne est plat. Il ne se préoccupe pas des tortuosités de l'espace-temps autour du TN, question qui serait plutôt pour l'astrophysicien ou le théoricien.

Pour l'astronome qui doit disposer sur une carte les positions des étoiles, galaxies et autres trous noirs, oui, cette image de la projection est sans doute assez bonne.

(à noter que cela ne marche que si les TN sont éloignés, pour que l'approximation asymptotique = Minkowski soit valide)

(evidemment, quand on a des astronomes qui étudient la distribution de matière à travers les lentilles gravitationnelles faibles, là, ils font des calculs plus "réaliste" )

[invite8915d466]

en métrique de Schwarschild , la coordonnée r est très exactement égale à la circonférence du cercle centré sur l'objet central, divisé par 2 pi. C'est donc défini sans ambiguité.

Elle est effectivement différente de la "distance" mesurée radialement, où des corrections de relativité générale interviennent , et effectivement, il y a un problème conceptuel à parler de distance en-dessous de l'horizon vu que la métrique n'est plus stationnaire. On peut quand même définir précisément une distance jusqu'à l'horizon, qui est différente de r. Cependant la différence n'est que de l'ordre de rg, le rayon gravitationnel, qui n'est que de quelques km pour un trou noir stellaire alors que sa "distance" euclidienne (la circonférence/2pi) est de l'ordre de plusieurs milliers d'années lumières. La perturbation est donc totalement imperceptible, et on peut très bien "situer" un trou noir dans un espace euclidien sans problème (cette distance est d'ailleurs souvent assez mal connue et l'imprécision est bien supérieure à toutes les subtilités de RG).

[invitebdf515f4]

Gillesh38,

Je ne m'aventurerais certainement pas à vouloir mesurer la distance qui me sépare du "centre" d'un trou noir. La distance jusqu'à l'horizon me suffit amplement. Mais c'est bien cette distance là qui me pose de gros problèmes de compréhension.

Je pense qu'avec les explications de Deedee et une nuit de sommeil par dessus, ça va finir par rentrer !

[Deedee81]

Gillesh38,

Je ne m'aventurerais certainement pas à vouloir mesurer la distance qui me sépare du "centre" d'un trou noir. La distance jusqu'à l'horizon me suffit amplement. Mais c'est bien cette distance là qui me pose de gros problèmes de compréhension.

Je pense qu'avec les explications de Deedee et une nuit de sommeil par dessus, ça va finir par rentrer !

Je suis en train de me dire que l'image du TN = "puis dans un feuille déformée" peut aider.

L'astronome mesure les distances jusqu'au puis, en supposant que le "creux" n'est pas très important vu les distances.... astronomiques. Mais cela ne préjuge pas de la profondeur du puis (attention toutefois à cette image, la profondeur du puis dans cette représentation c'est plutôt la courbure, pas la distance, mais cette image permet bien de voir quelle est la différence entre cette distance mesurée jusqu'à l'horizon et les distances astronomiques).

[invitebdf515f4]

J'essaie de mieux comprendre cette notion de distance entre la terre et l'horizon d'un trou noir, mesurée dans le référentiel terrestre.

Je vais me risquer à écrire quelques équations. Ce n'est pas ma tasse de thé. Soyez indulgents SVP.

Je me place dans le référentiel terrestre, que je suppose galliléen. Dans ce référentiel, j'essaie de mesurer la distance qui me sépare de l'horizon du trou noir.

Une méthode pour mesurer cette distance consiste à intégrer la vitesse d'un objet qui part de la terre et qui chute librement dans le trou noir. Je considère donc un objet qui part de la terre à l'instant t=0 avec une vitesse nulle (je néglige le champ de gravité de la terre) et qui chute vers le trou noir par gravité. J'appelle x(t) la distance de l'objet à la terre à l'instant t.

J'ai donc x(0) = 0 et v(0) = 0.

Je sais par ailleurs que, en chutant, la vitesse de l'objet augmente progressivement tendant asymptotiquement vers c. Donc, v(t) est une fonction croissante qui tend vers c.

D'autre part, on a v(t)= dx(t)/dt

Donc, la distance de l'objet à la terre à un instant t donné peut s'exprimer avec cette intégrale :
x(t) = Somme( v(t)dt ) entre 0 et t

Pour obtenir la distance entre la terre et l'horizon du trou noir, je dois calculer la limite de cette intégrale lorsque t tends vers l'infini, car je sais par ailleurs que, pour un observateur terrestre, l'objet s'approche de l'horizon du trou noir sans jamais l'atteindre.

Or, il est clair que cette intégrale ne converge pas !
Donc: x(t) tends vers l'infini lorsque l'objet tends vers l'horizon.

C'est cela qui m'a fait dire dans mon premier post que la distance entre la terre et l'horizon d'un trou noir, calculée dans le référentiel terrestre, est infinie. Mathématiquement, peut-être aurais-je du dire qu'elle est indéfinie, mais c'est un détail de vocabulaire.

D'où ma question initiale. Comment définit-on cette distance ?

La réponse la plus pertinente (donnée par Deedee) consiste à répondre qu'on utilise une métrique particulière, par exemple, la métrique de Schwartzchild. Je ne sais pas vraiment ce que c'est, mais je crois comprendre géométriquement que cela consiste à faire une sorte de projection qui permet d'éviter l'infini qui se cache malicieusement dans la réponse à cette question d'apparence anodine.

Grâce à cette métrique, on peut donner une valeur numérique à la distance terre-TN. On peut aussi définir le rayon ou la circonférence de l'horizon du trou noir (rayon de Schwartzchild).

Je crois comprendre la démarche et elle me semble être la seule applicable, même si on pourrait choisir une autre métrique. La métrique de Schwartzchild joue en fait le rôle de convention permettant de définir la taille ou la distance du trou noir. Sans cette convention, ces notions ne sont pas définies dans le référentiel terrestre !

Si tout ce que je viens d'écrire est juste (ce dont je doute fort), cela signifie que lorsque quelqu'un dit que le rayon d'un trou noir est R kilomètres ou que le trou noir se trouve à la distance D de nous, il utilise en fait une notion de distance qui n'a rien a voir avec la notion de distance ordinaire en mécanique relativiste ou en mécanique newtonienne.

Bref, si on se limitait à la définition ordinaire de distance (relativiste ou newtonienne), ces valeurs, mesurées dans le référentiel terrestre, devraient être infinies (ou plutôt indéfinies). C'est ce que je crois comprendre jusque là.

[invite80fcb52e]

Tu fais ton calcul dans la métrique de Minkowski, espace-temps plat, donc forcément ça diverge. Il faut que tu traites le problème dans la métrique de schwarschild, pour prendre en compte la courbure qui modifie ton calcul de distance...

[invitebdf515f4]

Tu as certainement raison, mais pourtant je ne vois pas a quel moment j'utilise la métrique de Minkowski.

Peux tu préciser à quel étape je fait cela ?

Pour t'aider, je vais numéroter mes étapes.

Etape 1:
Je pars du principe que quelqu'un qui sait faire des calculs relativiste me donne l'expression de v(t) pour un objet qui tombe vers le trou noir, calculé dans le référentiel terreste.

Etape 2:
Je ne connais pas cette fonction v(t), mais je sais que v(0)=0 et je sais que c'est une fonction strictement croissante.

Etape 3:
Ensuite, j'utilise la formule : v(t)= dx(t)/dt
J'en déduit que la distance entre la terre et l'objet est x(t) = Somme( v(t)dt ) entre 0 et t

Etape 4:
Là, j'utilise encore une donnée "connue": dans le référentiel terrestre, l'objet n'atteint jamais l'horizon. Donc, pour calculer la distance à l'horizon il faut calculer la limite de cette somme lorsque t tends vers l'infini.

Etape 5:
Je constate que ça diverge.

Dans quelle étape la métrique de Minkowski entre t-elle en jeu ?

[invite80fcb52e]

De façon générale, il faudrait utiliser un formalisme de relativité générale, pour traiter des espaces courbes, ce qui n'est pas le cas. Des relations même simple comme v(t)= dx(t)/dt, ne sont plus valables, il faut parler de 4-vitesse (vitesse à 4 dimension), et d'intégrer tes éléments de longueurs qui ne sont pas juste égal à dx par exemple (ou dt pour le temps) mais dépend de la métrique. Je sens bien un truc du genre:



pour l'élement de longueur. Mais c'est à confirmer...

[invitebdf515f4]

Je crois bien que je vais laisser tomber.

Si le peu de physique que je crois connaitre, comme v(t) = dx(t)/dt n'est même pas applicable dans ce contexte, il vaut mieux que je ne m'aventure pas plus loin.

C'est domage, mais je finis par croire que l'astrophysique n'est pas une manière qu'on peut vulgariser pour arriver à mon niveau.

[invite8915d466]

Je crois bien que je vais laisser tomber.

Si le peu de physique que je crois connaitre, comme v(t) = dx(t)/dt n'est même pas applicable dans ce contexte...

eh non.. et en plus "référentiel terrestre", ça ne veut plus rien dire non plus en RG , désolé !

les référentiels classiques sont comme des corps solides rigides , qui sont entierement définis par la position de leur origine et la rotation de leurs axes. Ce n'est plus du tout pareil en RG où les "référentiels" sont des "mollusques de référence" comme disait Einstein, avec en plus une coordonnée temporelle elle même peut etre variable suivant l'endroit. Il n'est donc pas du tout trivial de définir la "vitesse" physique, et ce n'est de toutes façons pas dx/dt si x et t sont les coordonnées et temps par rapport au "mollusque"; et il n'est même plus possible de définir un référentiel juste par rapport à un observateur, il faut le définir en tout point. Pareil pour la "distance"...

[invite80fcb52e]

Tu peux faire énormément d'astrophysique sans utiliser la relativité générale. D'ailleurs la majorité des astrophysiciens ne la connaissent pas forcément (ils ont à la limite eu un cours quand ils étaient étudiants). Seuls une minorité la maitrise, ceux qui s'intéressent justement aux trous noirs, aux étoiles à neutrons, ou à la physique théorique (grande unification, cosmologie primordiale etc...).

Malheuresement, un des sujets les plus fascinants (vis à vis du grand public) est le trou noir, et là il est complètement décrit par la relativité générale...

[invitebdf515f4]

eh non.. et en plus "référentiel terrestre", ça ne veut plus rien dire non plus en RG , désolé !

les référentiels classiques sont comme des corps solides rigides , qui sont entierement définis par la position de leur origine et la rotation de leurs axes. Ce n'est plus du tout pareil en RG où les "référentiels" sont des "mollusques de référence" comme disait Einstein, avec en plus une coordonnée temporelle elle même peut etre variable suivant l'endroit. Il n'est donc pas du tout trivial de définir la "vitesse" physique, et ce n'est de toutes façons pas dx/dt si x et t sont les coordonnées et temps par rapport au "mollusque"; et il n'est même plus possible de définir un référentiel juste par rapport à un observateur, il faut le définir en tout point. Pareil pour la "distance"...

Ok, merci Gillesh38, je crois que je commence à saisir vaguement grâce à l'image du mollusque et de la définition d'une métrique en tout point.

J'ai bien peur de ne pas avoir les bases pour comprendre la relativité générale, même sous forme vulgarisée (si c'est possible) ... mais je crois que je progresse un peu malgré tout.