Circonférence de l'ellipse décrite par la Terre en une année

[invite2ac35bda]

Bonjour,

Je voudrais savoir comment calculer la circonférence de l'ellipse décrite par la Terre en une année. On peut la calculer approximativement en prenant l'orbite de la Terre égale à un cercle mais je préfère l'autre solution. En recherchant sur internet j'ai vu que la réponse était 40 000 km à l'équateur. Et pour calculer la circonférence d'une ellipse on a la formule de Ramanujan: C = pi * (3(a+b) - sqrt(3a+b)(a+3b)

où a= la demi-longueur du grand axe et b= la demi-longueur du petit axe.

==> http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipse...%A9matiques%29

Sauf que le problème est que je n'ai pas les longueurs a et b.

J'ai vu qu'il y avait déjà eu des discutions sur cette question mais je n'arrive pas à trouver ma réponse.

Cordialemen, 08dy
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[invite62e1e8a6]

Bonsoir,

demi longueur du grand axe = = 1 UA = 149 597 870 km
demi longueur du petit axe =
avec = 0,016 710 22
= 149576982,32651270228204085740 ... km

[invite62e1e8a6]

C'est du a peu pres... Pour les vrais chiffres faut aller dans un observatoire et mesurer soi-même.

1UA = 149 597 870,7 km sur wiki

Bonne soirée

[invite62e1e8a6]

Code C a partir des vecteurs vitesse a partir de TransX dans Orbiter:

GLVECTOR3 vPosOrbit=vObjectBis-tShip.vP;
GLVECTOR3 vVelOrbit=tShip.vV;

GLVECTOR3 vVectorPlane =vPosOrbit.Cross(vVelOrbit);
double dMomentAngulaire=vVectorPlane. Dot(vVectorPlane);
double dVitesseAuCarre =vVelOrbit.Dot(vVelOrbit);
double dRayon =vPosOrbit.Longueur();
GLVECTOR3 vVectorEcc =(vPosOrbit*(dVitesseAuCarre-dGM/dRayon)-vVelOrbit*vPosOrbit.Dot(vVelOr bit))*(1/dGM);
double dSemiMajeur =dGM/(dVitesseAuCarre-((2*dGM)/dRayon));
double dEccentricite =vVectorEcc.Longueur();
GLVECTOR3 vVectorAxeMaj =vVectorEcc;
vVectorAxeMaj.Normalise();
GLVECTOR3 vVectorAxeMin =vVectorPlane.Cross(vVectorAxe Maj);
vVectorAxeMin.Normalise();

double dCosThi =vPosOrbit.Dot(vVectorAxeMaj)/dRayon;
double dSinThi =vPosOrbit.Dot(vVectorAxeMin)/dRayon;
double dInclinaison =acos(vVectorPlane.y/vVectorPlane.Longueur());
GLVECTOR3 vVectorAN (-vVectorPlane.z,0,vVectorPlane. x);
double dArgumentP =acos(vVectorAN.Dot(vVectorEcc )/(vVectorAN.Longueur()*vVectorE cc.Longueur()));
if(vVectorEcc.y<0)
dArgumentP=6.28318530717958647 6925286766559-dArgumentP;

double dAnomalieVrai =acos(vVectorEcc.Dot(vPosOrbit )/(vVectorEcc.Longueur()*vPosOrb it.Longueur()));
if(vPosOrbit.Dot(vVelOrbit)<0)
dAnomalieVrai=6.28318530717958 6476925286766559-dAnomalieVrai;
double dC=(dSemiMajeur*dEccentricite) ;
GLVECTOR3 vVectorCenterAxe=vVectorAxeMaj *dC;
double dSemiMinor=sqrt((dSemiMajeur*d SemiMajeur)-(dC*dC));

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gilgamesh]

Bonjour,

Je voudrais savoir comment calculer la circonférence de l'ellipse décrite par la Terre en une année. On peut la calculer approximativement en prenant l'orbite de la Terre égale à un cercle mais je préfère l'autre solution. En recherchant sur internet j'ai vu que la réponse était 40 000 km à l'équateur. Et pour calculer la circonférence d'une ellipse on a la formule de Ramanujan: C = pi * (3(a+b) - sqrt(3a+b)(a+3b)

où a= la demi-longueur du grand axe et b= la demi-longueur du petit axe.

==> http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipse...%A9matiques%29

Sauf que le problème est que je n'ai pas les longueurs a et b.

J'ai vu qu'il y avait déjà eu des discutions sur cette question mais je n'arrive pas à trouver ma réponse.

Cordialemen, 08dy

Oui, la question a été posée il y a peu de temps.

Réponse ici.

repost :

En adaptant la formule de Ramanujan le périmètre de l'ellipse peut s'exprimer comme :



avec :

a le demi grand axe de l'orbite terrestre = 1UA
a= 149 597 870 691 m

e l'excentricité orbitale de la Terre
e=0,01671022

P = 9,39886.10¹¹ m

A compararer avec la formule du périmètre d'un cercle de rayon a:


P = 9,39951.10¹¹ m

soit une différence relative de 7.10^-5 entre les deux.

a+

[invite2ac35bda]

Re,

Merci pour toutes tes réponses, en ce qui concerne l'approximation des données, c'est pas du tout grave étant donné que je ne suis qu'un lycéen ... Trois décimales après la virgule suffisent amplement !!! Mais merci c'est gentil d'apporter une réponse précise. En fait, je ne voulais juste pas me contenter de calculer l'orbite de la Terre avec la circonférence d'un cercle mais tenter un calcul plus conséquent.

Donc, merci pour les données, et oui j'ai réussi le calcul et c'est bon j'ai le même résultat que toi, merci skyzboob !

[invite2313209787891133]

Bonjour

Re,

Merci pour toutes tes réponses, en ce qui concerne l'approximation des données, c'est pas du tout grave étant donné que je ne suis qu'un lycéen ... Trois décimales après la virgule suffisent amplement !!!

De toute façon annoncer un résultat avec autant de chiffres significatifs n'a aucun sens étant donné que les valeurs de départ ont une incertitude plus grande. C'est un truc que tu devrais apprendre bientôt au lycée justement

[Gilgamesh]

Bonjour



De toute façon annoncer un résultat avec autant de chiffres significatifs n'a aucun sens étant donné que les valeurs de départ ont une incertitude plus grande. C'est un truc que tu devrais apprendre bientôt au lycée justement

L'incertitude n'est pas si grande concernant les données de base, c'est surtout qu'on fait abstraction de la présence de la Lune. La trajectoire de la Terre effectue une oscillation sinusoïdale autours de la trajectoire elliptique du centre de gravité du système Terre-Lune et l'intégrale de son abscisse curviligne dans le repère héliocentrique est plus grand que le périmètre de l'ellipse.

a+

[invite2ac35bda]

Oui on a évoqué les chiffres significatifs un peu en cours. Mais ici il ne devrait même pas y avoir de chiffres après la virgule étant donné qu'on prend le plus petit nombre de chiffres après la virgule et là il n'y en a pas donc on arrondie à l'unité ...?

[papy-alain]

Comme le dit Gilgamesh, l'incertitude n'est pas si grande. Le problème est que dans la réalité, en plus du trajet sinusoïdal autour du barycentre Terre-Lune, il y a aussi l'influence des autres planètes qui induisent des variations certes minimes, mais qui rend le calcul théorique complètement erroné si on en arrive au millimètre près, ce qui n'a plus aucun sens.

[Amanuensis]

En adaptant la formule de Ramanujan le périmètre de l'ellipse peut s'exprimer comme :

(...)

soit une différence relative de 7.10^-5 entre les deux.

Juste un petit point. Si on prend juste le développement à deux termes, il me semble qu'on trouve 2pi a (1-e²/4).

Et e²/4, cela fait aussi 7.10^-5

Vu la faible valeur de e⁴, les formules au premier ordre en e² (genre moyenne des axes, géométrique , ou autre moyenne), on trouvera la même valeur à 10^-7 près, non ?

[inviteaf48d29f]

L'incertitude n'est pas si grande concernant les données de base

Ouais enfin Skyzboob donne le résultat à 10 zeptomètres près, c'est à dire moins que la taille d'un quark. Pour une distance à l'échelle du système solaire, ce nombre de chiffre significatifs n'a pas le moindre sens.

Oui on a évoqué les chiffres significatifs un peu en cours. Mais ici il ne devrait même pas y avoir de chiffres après la virgule étant donné qu'on prend le plus petit nombre de chiffres après la virgule et là il n'y en a pas donc on arrondie à l'unité ...?

Vous devez mettre en notation scientifique. 1,496.10⁸km.
Les "chiffres après la virgules" sont tous les chiffres à part le premier, ici j'ai mit 4 chiffres significatifs, vous en mettez autant que vous voulez, mais c'est peut probable que vous ayez besoin d'aller jusqu'au km près.

[invite2ac35bda]

Ok, merci de vos réponses

[Gilgamesh]

Juste un petit point. Si on prend juste le développement à deux termes, il me semble qu'on trouve 2pi a (1-e²/4).

Et e²/4, cela fait aussi 7.10^-5

Vu la faible valeur de e⁴, les formules au premier ordre en e² (genre moyenne des axes, géométrique , ou autre moyenne), on trouvera la même valeur à 10^-7 près, non ?

Mmmh... Je vois pas trop en fait. Et à quelles conclusions cela amènerait, au final ?

a+

[invite2313209787891133]

L'incertitude n'est pas si grande concernant les données de base, c'est surtout qu'on fait abstraction de la présence de la Lune.

Ma remarque concernait le résultat annoncé au message #2.

[Amanuensis]

Mmmh... Je vois pas trop en fait. Et à quelles conclusions cela amènerait, au final ?

Juste que la formule de Ramanujan est un overkill dans le cas d'une toute petite excentricité. L'ordre de grandeur de 7 10^-5 pour la différence avec le cercle s'obtient par e²/4, facile à mémoriser (en particulier quand on mémorise que b est à peu près 1-e²/2 fois a) et à calculer.

Je trouve que cela a un intérêt, mais c'est évidemment une opinion personnelle.

[invite8915d466]

Juste que la formule de Ramanujan est un overkill dans le cas d'une toute petite excentricité. L'ordre de grandeur de 7 10^-5 pour la différence avec le cercle s'obtient par e²/4, facile à mémoriser (en particulier quand on mémorise que b est à peu près 1-e²/2 fois a) et à calculer.

Je trouve que cela a un intérêt, mais c'est évidemment une opinion personnelle.

je la partage . A la même approximation, on peut aussi dire d'ailleurs que c'est c'est à dire prendre comme "rayon" la moyenne géométrique du petit et du grand axe, ce qui est aussi assez simple à mémoriser ....