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Toute courbe est-elle décrite par une équation?



  1. #1
    Sharp

    Toute courbe est-elle décrite par une équation?


    ------

    Bonjour,
    je me pose une question, qui est de savoir s'il existe ou non une équation qui correspond à chaque courbe. je m'explique plus clairement: imaginons qu'avec mon crayon, je trace une courbe au hasard sur un graphique, est-ce que cette courbe est forcément décrite par un équation (aussi complexe soit-elle)?
    Je me disais aussi que c'était peut-être indémontrable, je ne sais pas trop...
    Est-ce qu'il y a des théorèmes là-dessus?
    Merci!

    -----

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  3. #2
    qazxcv

    Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    Citation Envoyé par Sharp
    Bonjour,
    je me pose une question, qui est de savoir s'il existe ou non une équation qui correspond à chaque courbe. je m'explique plus clairement: imaginons qu'avec mon crayon, je trace une courbe au hasard sur un graphique, est-ce que cette courbe est forcément décrite par un équation (aussi complexe soit-elle)?
    Je me disais aussi que c'était peut-être indémontrable, je ne sais pas trop...
    Est-ce qu'il y a des théorèmes là-dessus?
    Merci!
    On peut tracer des courbes pour une équation très complexe en utilisant la dérivée et la dérivé seconde, mais pour le contraire je n'en ai aucune idée

  4. #3
    pi-r2

    Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    Si tu la dessines avec ton crayon, tu lui confères déjà des propriétés particulières. En particulier la distribution de Dirac ne peut pas se représenter avec un crayon.
    Ainsi, tu peux toujous découper une courbe tracée au crayon en une série de segments de courbe continus.
    Ces segments pris individuellement peuvent toujours être décomposé en série de fonctions (série de fourrier ou séries de Laplace), restreintes à l'intervalle de définition.
    Cela ne garantit en rien de trouver une expression que l'on considère comme simple.
    Les bonnes idées triomphent toujours... C'est à cela qu'on reconnait qu'elles étaient bonnes !

  5. #4
    olle

    Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    pour faire simple, on peut dire que toute fonction continue (donc l'exemple de ton crayon) peut etre décrite comme étant la somme de sinusoides et de cosinusoides d'amplitudes et de fréquences différentes.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    doryphore

    Talking Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    Pas d'accord.
    Essaies avec un cercle.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  8. #6
    Quinto

    Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    Aussi bete que cela puisse parraitre, la réponse est... oui:

    Courbe={ensemble des points qui appartiennent a la courbe}

    Par exemple quand tu traces la courbe d'une fonction f de R dans R, tu traces l'ensemble des points {(x,f(x), ou x décrit R}, c'est la définition algébrique d'un graphe d'ailleurs... ni plus ni moins.

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  10. #7
    olle

    Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    Citation Envoyé par doryphore
    Pas d'accord.
    Essaies avec un cercle.
    un cercle n'est pas une fonction, et je parle de "fonctions continues"

  11. #8
    doryphore

    Wink Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    D'accord, mais ça ne répond pas à la question initiale qui parle de courbes et non de fonctions...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  12. #9
    davidtripo

    Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    mmmh n'y a t il pas ces fameuses courbes indescriptible ou lorsque l'on zoom sur la fonction elle est tjrs de plus en plus complexes...en gros je veux parler des fonctions (dégueulasses)....

  13. #10
    doryphore

    Talking Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    Oui, mais il faut des mines de crayons infiniments petites pour faire ce genre d'horreur.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  14. #11
    davidtripo

    Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    lol oui t'as raison mdr

  15. #12
    doryphore

    Smile Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    Sinon, on peut aussi s'intéresser aux polynômes d'interpolation de Lagrange qui permettent d'approcher (et non approximer, qui n'est dans aucun dictionnaire) les fonctions continues.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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  17. #13
    davidtripo

    Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    bon en fait y a aussi les fonctions paramétriques par exemple avec des courbes qui font x boucle... ds ce genre de cas on utilise 3 coordonnée
    t x y
    t représente le temps
    donc ca veut dire que x et y sont fait en fonction de t. voila en gros pour les courbes ...

  18. #14
    Sharp

    Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    Salut,
    ok donc pour obtenir une équation de la courbe, de toutes façons il faudra la diviser en tous petits morceaux pour se ramener à des droites ou des fonctions connues.
    pour faire simple, on peut dire que toute fonction continue (donc l'exemple de ton crayon) peut etre décrite comme étant la somme de sinusoides et de cosinusoides d'amplitudes et de fréquences différentes.
    Cette somme est-elle finie ou infinie?

  19. #15
    Quinto

    Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    Dans le cas général, cette somme est infinie.
    Si tu veux des infos sur le sujet, fait une recherche la dessus:

    Transformation de Fourier.
    Séries de Fourier.(développement en)
    Théorème de Dirichlet
    Noyau de Dirichlet.

  20. #16
    Slimounet

    Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    Si la courbe est une bijection (on le suppose en la traçant), alors il existe effectivement une fonction décrivant tous les points de cette courbe.

    Le problème réside dans la mesure des points.

    Dans la réalité, on découperait la courbe en tranches fines afin de l'analyser (exactement ce qu'il se passe lorsque l'on numérise du son ou tout autre signal analogique). Si l'on sait quelle est la 'fréquence' maximale de la courbe (analogie au son) on peut déterminer la taille des tranches pour arriver à un résultat approchant convenable. Il suffit de décomposer en série de fourier.
    Mais il s'agit d'une approximation, à moins que l'on ait une mesure "idéale" (à la distance de Planck).

  21. #17
    BS

    Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    Citation Envoyé par Sharp
    est-ce que cette courbe est forcément décrite par un équation (aussi complexe soit-elle)?
    Pour que l'on puisse répondre à ta question, il faut d'abord mieux situé le cadre. Qu'appelle-tu équation, qu'appelle-tu courbe ? Il n'est déjà as facile d'avoir une idée précise de ce qu'on considère...

  22. #18
    Jarod

    Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    A n points diposés d'une certaine façon dans un repère donnée peut-il correspondent plusieurs équation de courbe ?
    Moins d'énergie, moins de pollution et du mieux vivre avec negawatt dans google...

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  24. #19
    Coincoin

    Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    A n points diposés d'une certaine façon dans un repère donnée peut-il correspondent plusieurs équation de courbe ?
    Oui... si tu considères le mot "équation" au sens large (série...).
    Par contre, il y a un théorème qui dit qu'il existe un et un seul polynôme de degré strictement inférieur à n passant par n points donnés (ce polynôme est appelé polynôme d'interpolation de Lagrange). Par exemple, il n'y a qu'une seule droite qui passe par 2 points; une seule parabole qui passe par 3 points, etc...
    Encore une victoire de Canard !

  25. #20
    doryphore

    Smile Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    Moi, je pense que s'il n'y a pas de points les uns au dessus des autres, il existe une infinité de polynômes qui passe par ces n points.
    Un seul de degré strictement inférieur à n certes, mais une infinité de degré supérieur. Il suffit déjà de prendre ce qui passent par n+1 points dont n sont ceux choisis au départ.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  26. #21
    lyapounov

    Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    salut
    si la fonction n'est pas dérivable en tout point, est ce que cela ne change pas l'approche du probleme? (courbe de Peano??)
    La logique sert à prouver, l'intuition sert à créer. H Poincaré

  27. #22
    doryphore

    Smile Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    Tu veux sûrement parler d'une fonction dérivable en aucun point.
    Les techniques d'approche par convergence uniforme ont un petit problème, dans ce cas, c'est sûr. ( dont toute les approches par convergence de séries de polynôme et ou de fonctions trigo...)
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  28. #23
    Meumeul

    Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    SAlut,

    ils me manquent quelques souvenirs, mais engros, toute courbe suffisamment regulière (ie differenciable je crois) est representable par uin ensemble d'equations. Y a un theoreme qu'on voit en Math SPE qui dit ca......j'essaierai de le retrouver.

    Mais dans l'idée, tu découpes ta courbe/surface.... en bouts ou le gradient ne s'annule pas (si je me rappelle bien...) et la une un lemme dit qu'il existeuine fonction fbout de Rn dans R telle que (M dans la surface et M dans lepetit bout) equivaut a fbout(M)=0

    Rectifications avenir si j'ai distrop de betises....

  29. #24
    martini_bird

    Re : Toute courbe est-elle décrite par une équation?

    Salut,
    concernant le problème initial, étant donné qu'un tracé au crayon n'est pas une courbe , je vous rappelle que les B-splines donnent d'excellentes approximations. Pour ceux qui ne connaissent pas, les B-splines sont en gros des polynômes (en général de degré 3) raccordés de telle manière que la courbe soit deux fois continûment dérivable.

    De plus, la question Toute courbe est-elle décrite par une équation? suppose que l'on ait défini ce qu'est une courbe: qu'est ce qu'une courbe selon vous? A noter aussi que les sourbes planes sont entièrement déterminée (à isométrie positive près) par l'abscisse curviligne et la courbure en chaque point (pour l'espace, ajouter la torsion).
    Dernière modification par martini_bird ; 07/10/2004 à 11h16.

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