Théorème de Picard

[inviteab2b41c6]

Bonjour,
j'ai été frappé par le petit théorème de Picard qui affirme que si une fonction entière n'atteint pas 2valeurs distinctes alors elle est constante. C'est une très grosse généralisation du théorème de Liouville, et je me demandais si on pouvait m'apporter des éléments de démonstration de ce théorème..

Je me demandais également si quelqu'un avait entendu parlé du grand théorème de Picard... j'imagine que s'il y'a un petit, il y'a au moins un grand... et si oui quel est il?

Sur ce, merci et bonne soirée.
Amicalement
Quinto
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[inviteca3a9be7]

Salut Quinto,

http://www.bibmath.net/dico/index.ph.../p/picard.html

[inviteab2b41c6]

Salut, merci bien.
Ce résultat m'étonne, cela voudrait dire qu'un polynome prendrait toutes les valeurs une infinité de fois sauf 0? Ou alors je ne pige pas tout...

[invite206bb45f]

Effectivement, ce resultat est faux. Par contre, le paragraphe du dessous dans le lien qui dit que le resultat est vrai au voisinage d'une singularite essentielle est juste, et constitue le grand theoreme de Picard.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteab2b41c6]

Salut,
ca me rassure bien, je me disais que je ne comprenais pas...
Je ne sais pas ce qu'est une singularité essentielle, mais je verrais ca la prochaine fois, donc merci bien.

Sinon si quelqu'un connait le squelette de la démo du petit théorème de Picard, je suis preneur.

Bonne soirée.

Quinto

[invite206bb45f]

Les fonctions analytiques sur C prive d'un nombre fini de points (mettons 1 seul point pour simplifier, qu'on prend egal a 0 sans perte de generalite) ont plusieurs types de singularites. D'abord, il se peut que la fonction admette une limite en 0, et qu'en la prolongeant par continuite on obtienne une fonction analytique en 0. Outre ces singularites peu interessantes, il y a les poles : f a un pole en 0 si fz^n est analytique en 0 pour un certain n, appele ordre du pole. Autrement dit, la fonction f s'ecrit localement comme une somme de a_i z^i, ou a_i est nul si i<n. Les fonctions dont toutes les singularites sont des poles sont dites meromorphes, et forment un corps, qui est le corps des fractions de l'anneaux des fonctions holomorphes. Si f a un pole d'ordre n en 0, l'image par f d'un petit cercle de rayon r centre en 0 est un grand cercle de rayon inversement proportionnel a r centre en 0, parcouru n fois (du moins pour r tendant vers 0). Ceci montre que le grand theoreme de Picard ne peut pas marcher, puisque l'image du voisinage d'un pole n'est parcourue que n fois (avec les mains). Pour toutes les autres singularites, appelees essentielles, l'image d'un voisinage de la singularite est C moins au plus un point, parcouru une infinite de fois (gd th de picard). Exemple : exp(1/z). Il est clair que cette fonction est analytique sauf en 0, et qu'en la multipliant par z^n, elle n'aura pas de limite en 0 quelque soit n, donc 0 n'est pas un pole. Il est facile de voir que cette fonction envoie tout voisinage de 0 sur C* une infinite de fois. En effet, l'image par 1/z d'un petit disque U de rayon r contient tous les points dont le module est > 1/r. En particulier, il contient une infinite de bandes verticales disjointes de largeur 2pi, et comme l'image par exp de chacune de ces bandes est C*, le grand theoreme de Picard est verifie. Maintenant le preuve dans le cas general est difficile, et depasse mes connaissances malheureusement. La preuve du petit theoreme de Picard est assez compliquee aussi je crois. A ce niveau, si tu n'as pas de reponse d'un membre du forum, je te suggere un bouquin d'analyse complexe, Conway par exemple.

[invite206bb45f]

Autrement dit, la fonction f s'ecrit localement comme une somme de a_i z^i, ou a_i est nul si i<n.

Plutot si i<-n.

[inviteab2b41c6]

Salut,
merci pour cette réponse complete.

Pour ce qui est du théorème de Picard, on en a démontré une version très faible:

L'image de C par une fonction entière est dense dans C.
En réalité, ca laisse supposer que le nombre de points qui ne sont pas atteints peut etre infini... ce qui est loin du petit théorème de Picard, mais déja pas si mal quand on y pense...