Démonstration

[invite1ff1de77]

bonjour
comment démontrer que pour tout:n>=1
n^4+6n-1 est divisible par 9
j'ai essaayé de démontrer par recurrence mais ca n'a pas l'air de fonctionner
pouvez vous m'aider
merci d'avance
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[invite1294afe6]

Ca me parait normal que tu n'arrives pas à le demontrer car ce n'est vrai que pour queque valeurs de n

probable erreur d'enoncé ;

Zaron

[invite1294afe6]

Il y a par contre une singularité que je vous livre

Cette proposition est vraie pour

n = 2 + 9q
n = 4 + 9q

ce qui devrait se demontrer assez facielement !

Zaron

[invite1ff1de77]

je suis désolé
l'expression exacte est
4^n+6n-1
a démontrer qu'elle est divisible par 9 pour tout n>=1
je m'excuse
merci a tous

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite980a875f]

Salut,
déjà pour n=2 ça ne marche pas essaye toi-même tu verras!

[invite1294afe6]

Bonjour,

je propose une idee de demonstration par recurrence

pour simplifier je note Un = 4^n + 6n - 1

si Un est multiple de 9

Un+1-4*Un est aussi multiple de 9

il se trouve que Un+1-4Un se reduit à 9*(2n+1) !

Cela revient donc à demontrer que si

p-4q et q sont multiple de 9 alors p est multiple de 9
ce qui me parait bcp + facile

Merci de vos commentaires

Zaron

[shokin]

Tu peux utiliser la relation de congruence :

a est congruent à b modulo c si et seulement si (a-b)/c est entier

Par exemple 3 est congruent à 7 modulo 4.

Avec certaines de ses propriétés.

Pour démontrer que cette expression est toujours multiple de 9, tu vas utiliser cette relation modulo 9.

Il y aura donc 9 classes, 9 groupes de nombres congruents entre eux modulo 9, dont les représentants sont les nombres entiers de 0 à 8. Il s'agit de démontrer que cette expression est congruente au représentant 0 modulo 9.

Je suppose que tu dois démontrer que 4^n+6n-1 est multiple de 9 pour tout entier supérieur ou égal à 1, tout entier naturel non nul, car pour n=1.5 par exemple ça ne marche pas.

1. Démontrer que 4^(n+3) est congruent à 4^n modulo 9 pour tout n élément de N*.

2. Démontrer que 6(n+3) est congruent à 6n modulo 9 pour tout n élément de N*.

3. Démontrer que 1 est congruent à 1 modulo 9 pour tout n élément de N* (cela va de soi).

Donc 4^(n+3a)+6(n+a)-1 est congruent à 4^n+6n-1 modulo 9, avec a entier (la congruence est associative, commutative et distributive par rapport à l'addition).

Par conséquent, il reste à examiner l'expression 4^n+6n-1 en trois cas :

celui où n=1, celui où n=2 et celui où n=3

Et tu démontres dans chacun des cas (en remplaçant n respectivement par 1, 2 et 3) que l'expression est congruente à 0 modulo 9 (càd, tu obtiens des multiples de 9).

CQFD

Shokin

[yat]

Une autre récurence :

En prenant le même Un que zaron, je calcule U_n+1=4ⁿ⁺¹+6(n+1)-1
Soit U_n+1=4(4ⁿ+6n-1)-18n+9
Ou U_n+1=4U_n+9(1-2n)
Du coup, comme n est entier, et que U_n est multiple de 9, U_n+1 est lui aussi multiple de 9.

Or U₁=9...

[shokin]

Salut,
déjà pour n=2 ça ne marche pas essaye toi-même tu verras!

ça marche pourtant : 4^2+6*2-1=16+12-1=27 qui est bien un multiple de 9.

Shokin

[shokin]

La démo de Yat par concurrence est aussi juste, plus simple que la mienne peut-être.

Shokin

[invite980a875f]

Oulah désolé je ne sais plus calculer moi!
En effet ça marche pour les premières valeurs, pour les reste je n'ai pas le niveau!

[invite1ff1de77]

merci a tous!!!!!!!!!

[invite8f53295a]

Voici encore une solution (qui je pense ne recoupe pas les précédentes) :
4^n+6n-1=(4-1)x(1+4+...+4^(n-1))+6n
=3(1+4+...+4^(n-1)+2n)
Or 4 est congru à 1 modulo 3, donc 1+4+...+4^(n-1) est congru à n modulo 3 et quand on lui rajoute 2n, congru à 3n et donc 1+4+...+2n est divisible par 3, le tout l'est donc par 9.