Salut,
si on a un champ X de vecteurs définis sur la sphère unité, alors il existe au moins un élément p tel que X(p)=0. (c'est une conséquence directe du théorème de Gauss-Bonnet, qui lie topologie et champ de vecteurs)
Les "applications" courantes de ce théorèmes sont celles ci:
-Il existe toujours un point du globe où le vent est nul (ou dirigé verticalement).
-Il est impossible de se coiffer sans épis (sauf calvitie), bien que ce ne soit pas tellement crédible puisque ce n'est vrai que si notre corps est réduit à une seule tête poilue en tout point.
Depuis hier je me demande si celà n'est pas applicable pour démontrer le théorème de Picard, cependant je trouve des résultats bizarres, donc il y'a une erreur quelque part.
Le théorème de Picard dit ceci:
Soit f une fonction entière non constante, alors il existe un point complexe a tel que f soit surjective sur C-{a} ou C.
Mon idée était celle ci:
On considère la sphère de Riemann Coo.
On considère une fonction holomorphe sur Coo\{oo}, et telle que f' se prolonge en l'infini. (Je pense que ca a véritablement un sens ici)
On choisit un complexe z et on construit un champ à partir de f-z, et on applique le théorème de la boule chevelue. Notamment on montre que f-z s'annule, et donc f atteint z, pour z choisit au hasard.
Cependant je n'arrive pas à aller plus loin que ces idées de base, ni à vraiment me convaincre que ca marche.
Si quelqu'un a une idée je serai preneur.
Je sais que la démo classique de ce théorème se fait en trois lignes en passant par les revêtements et en utilisant le théorème de Liouville, mais j'aurai aimé en trouver une par la boule chevelue et Gauss-Bonnet.
Si ca intéresse quelqu'un, Martini, Matthias, CB, BS, les autres?
Merci,
amicalement,
Quinto
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Envoyé par Quinto 
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