Continuité

[invite97a92052]

Hello,


J'avais juste une petite question sur la notion de continuité... (petite mise au point avant le bac !)

Définition de la continuité : (je recopie mot pour mot mon bouquin)

Dire que est continue au point , c'est dire que est définie sur un intervalle ouvert contenant , et qu'elle admet une limite en ce point : cette limite est :

Et, 3 pages plus loin :

La fonction est définie et continue sur (avec )

... ce qui implique que la fonction racine n-ième est continue en 0.
Or, la fonction racine n-ième n'est définie sur aucun intervalle ouvert contenant 0, donc j'en crois qu'elle n'est pas continue en 0 !

Ou est le truc ?


Merci !
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[invite21126052]

Or, la fonction racine n-ième n'est définie sur aucun intervalle ouvert contenant 0, donc j'en crois qu'elle n'est pas continue en 0 !
Ou est le truc ?

bah... tu viens de le dire le truc! la fonction racine n-ième est définie pour x=0! elle est définie sur un intervalle fermé contenant 0: sur IR+, dérivable sur IR+*
pour x et y de IR+, x^n=y est équivalent à x= racine n-ième de y...

par ailleurs, la racine n-ième, c'est la puissance 1/n pour x>0, et 0 si x=0...

enfin, je ne fais que recopier du livre tout ça! y a pas de problèmes....?

[invite97a92052]

elle est définie sur un intervalle fermé contenant 0

Je suis tout à fait d'accord, sur un intervalle fermé ça marche parfaitement, mais sur un intervalle ouvert, ça ne marche plus ! Or la définition que j'ai parle d'un intervalle ouvert...

[EDIT : D'ailleurs pour mon premier post, c'est pas Z mais bien Z privé de 0 et de 1, pour n]

[invite8f53295a]

Oui avec cette définition la fonction racine n'est pas continue, c'est très maladroit comme formulation. C'est inutile de parler d'intervalle ouvert, mais je suppose que cela dépend de la définition de la limite qui précède... Comment l'ont-ils définie ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite97a92052]

Voici la définition d'une limite réelle en un réel, d'après le même bouquin :

et

Dire que f admet pour limite L en a, c'est dire que f(x) peut être rendu aussi proche que l'on veut de L à condition que x soit suffisamment proche de a.
On écrit : ou encore

si la définition de la continuité est réellement fausse, est-ce que tu pourrais m'en proposer une correcte ?

merci !

[invite8f53295a]

Bon en fait tu vois qu'a priori la définition de limite ne fait pas vraiment référence à un intervalle ouvert, encore que tout réside dans le sens que l'on veut bien donner à "suffisamment proche"...
Tu vois bien que si tu retires la condition d'être défini sur un intervalle ouvert, la fonction racine est continue. Le truc est qu'en terminale on ne voit que des fonctions définies sur des intervalles ouverts, mais malheureusement aussi sur des demi-intervalles comme ils l'ont oublié... Mais la continuité peut-être définie pour d'autres fonctions.
Je te conseille cependant de consulter d'autres livres et d'essayer de voir ce qui te paraît le plus conforme au programme tout en restant sensé.

[invite97a92052]

Je te conseille cependant de consulter d'autres livres et d'essayer de voir ce qui te paraît le plus conforme au programme tout en restant sensé.

Ok, mais on, j'ai plus trop le temps d'aller chercher des bouquins ailleurs...

Mais sinon, je dirais simplement :
f est continue en a ssi f est définie en a et


Par contre, si f n'est pas définie sur un intervalle ouvert ayant a pour borne supérieure (ou inférieure), on ne prend en compte que la limite à droite (ou à gauche) vu que l'autre n'existe pas... c'est là que la continuité sur un intervalle fermé, ça me paraît bizarre... parce que si f est définie sur un intervalle ouvert contenant a, on prend en compte les 2 limites (à droite et à gauche, qui doivent être égales à f(a) pour que f soit continue en a)

Exemple qui me torture l'esprit :

x->E(x) étant la fonction partie entière, on définit la fonction g par :
Si E(x) est pair, g(x) = E(x)
(et sinon, g n'est pas définie)

On a donc ici aussi un ensemble de définition qui est une union d'intervalles semi-ouverts

De la même façon que la fonction racine n-ième, la fonction g est donc continue partout sur son ensemble de définition, alors que si on définit g(x) = E(x) pour tout réel x, g n'est donc plus continue partout ce que je comprends tout à fait.

Je ne sais pas si j'exprime bien ce que j'ai dans la tête, mais je ne comprends pas d'où vient cette notion de "continuité" sur des intervalles fermés, qui n'est pas très intuitive... (vu que la fonction ne "continue" rien du tout, elle démarre ou s'arrête en ce point)

[invitec314d025]

Très bien cet exemple avec les parties entières.
Voici une manière de voir les choses (pas rigoureuse)
Considérons la fonction g dont l'ensemble de définition D est l'union des intervalles [2n;2n+1[ avec n entier naturel (ou relatif comme tu veux).
Si tu prends un intervalle ouvert I de plus en plus petit mais contenant toujours la valeur 2, l'image de l'intersection de I et D va "tendre" progressivement vers l'ensemble {2}

Si tu fais la même chose avec la fonction partie entière, tu auras l'ensemble "limite" {1;2}

[invite8f53295a]

En fait dans la définition de limite il y a sous-entendu : suffisamment proche, mais dans l'ensemble de définition, c'est à dire : si l'on peut. Pour s'en sortir, il faudrait faire les choses plus formellement. Disons que x est t-proche de a (avec t > 0) su |x-a| < t. Remplaçons la définition de la limite par celle-ci (qui est plus rigoureuse) :

Dire que f admet pour limite L en a, c'est dire que pour tout t > 0, il existe t' > 0, tel que si x est t' proche de a et dans l'ensemble de définition de f, f(x) est t-proche de L.

Là c'est clair, pour la fonction racine par exemple, x est t-proche de 0 ET dans l'ensemble de définition si x est dans ]-t,t[ (t-proche) et dans l'ensemble de définition [0,+infini[, c'est à dire dans [0,t[.

Et la notion de limite à droite se formulerait de même en remplaçant dans l'énoncé t'-proche par t'-proche à droite, qui signifierait 0 < x-a < t' etc...

[invite6acfe16b]

En fait dans la définition de limite il y a sous-entendu : suffisamment proche, mais dans l'ensemble de définition, c'est à dire : si l'on peut. Pour s'en sortir, il faudrait faire les choses plus formellement. Disons que x est t-proche de a (avec t > 0) su |x-a| < t.

Salut à tous,

juste pour mettre mon grain de sel, il y a un moyen de définir un ouvert qui peut résoudre l'ambiguité.
En topologie générale, on dit qu'une fonction est continue au point , si pour tout ouvert inclu dans tel que , on a que est ouvert. Maintenant, il faut savoir ce que sont les ouverts de l'intervalle . En fait, ce sont les ouverts de intersecté avec . Donc, avec cette définition l'intervalle est ouvert et cela résoud le problème.

EDIT : je n'arrive pas à faire des crochets ouverts à droite en tex, cela n'est pas \[ ?

[invite0f5c0a62]

Or, la fonction racine n-ième n'est définie sur aucun intervalle ouvert contenant 0, donc j'en crois qu'elle n'est pas continue en 0 !
Ou est le truc ?

Un intervalle ouvert contenant 0 c'est par exemple ]-1,5[ ou ]-(10^-100);infini[ ou comme tu peux le voir ça craint un peu au niveau des négatifs.

peut être confonds tu avec ]0,infini[ qui n'est pas un intervalle ouvert contenant 0 (puisque justement il ne contient pas 0...)

voilà, faut pas trop se casser la tête, il suffit de lire et d'écrire simplement les définitions. En l'occurrence celles de la continuité et de la racine énième sont très bien, pour t'en convaincre reafit quelques exemples (que tu auras surement dans tes exercices)

Si ça peut te rassurer, la topologie ne sera pas au sujet du bac

[invitec314d025]

En topologie générale, on dit qu'une fonction est continue au point , si pour tout ouvert inclu dans tel que , on a que est ouvert. Maintenant, il faut savoir ce que sont les ouverts de l'intervalle . En fait, ce sont les ouverts de intersecté avec . Donc, avec cette définition l'intervalle est ouvert et cela résoud le problème.

EDIT : je n'arrive pas à faire des crochets ouverts à droite en tex, cela n'est pas \[ ?

Salut Sylvestre, on est évidemment d'accord, mais j'ai l'impression que tu n'as pas vu que l'explication s'adresse à des Terminales. Or dans cette définitin on ne peut pas remplacer ouvert par intervalle ouvert ...
Pour les crochets, il suffit d'écrire [ et pas \[

[invite6acfe16b]

Salut Sylvestre, on est évidemment d'accord, mais j'ai l'impression que tu n'as pas vu que l'explication s'adresse à des Terminales. Or dans cette définitin on ne peut pas remplacer ouvert par intervalle ouvert ...

Désolé, je n'avais pas vu à quel niveau la discussion se situait.

[invitee65b1c3d]

voilà, faut pas trop se casser la tête, il suffit de lire et d'écrire simplement les définitions. En l'occurrence celles de la continuité et de la racine énième sont très bien, pour t'en convaincre reafit quelques exemples (que tu auras surement dans tes exercices)

En fait, ici il y a un problème de définition, puisqu'avec les définitions de continuité et de racine énième on montre que la fonction racine carrée n'est pas continue en 0.
Le problème viens d'une mauvaise définition dela continuité.

[invitec314d025]

Mais sinon, je dirais simplement :
f est continue en a ssi f est définie en a et


Par contre, si f n'est pas définie sur un intervalle ouvert ayant a pour borne supérieure (ou inférieure), on ne prend en compte que la limite à droite (ou à gauche) vu que l'autre n'existe pas...

Pour le Bac, je pense que tu peux t'en tenir à ça, effectivement.

[invite97a92052]

Ok, hé bien merci à tous !