Notion de temps en RG

[papy-alain]

Bonjour à tous et bonne semaine.

Je reviens sur une discussion qui s'est ouverte la semaine dernière de manière embryonnaire dans un autre topic, et qui me laisse perplexe, car j'y vois un paradoxe que je ne parviens pas à résoudre.
Le problème est le suivant : en RG, le temps s'écoule plus lentement si la gravité locale augmente. Donc, si je prends deux horloges atomiques identiques, l'une restant sur Terre et l'autre placée sur la Lune, je constaterai que le temps s'écoule plus vite sur la Lune que sur Terre.
D'autre part, on sait que c est constant dans tous les référentiels. Donc, si je mesure depuis la Terre le temps que met un signal laser pour faire le trajet aller-retour Terre-Lune-Terre, cela va me donner la distance du trajet de manière très précise. Mais si j'effectue la même mesure depuis la Lune, je vais trouver une plus grande distance, vu que le trajet mesuré est le même, mais qu'il s'y est écoulé plus de temps entre l'émission et la réception du signal. Deux résultats différents pour la même expérience, selon la position de l'observateur ! Où est l'erreur ?
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[Amanuensis]

Pourquoi y aurait-il une erreur ?

(Il y en a bien une : le titre. La question devrait être "Notion de distance en RG"...)

[invite6d525980]

Deux résultats différents pour la même expérience, selon la position de l'observateur ! Où est l'erreur ?

Ce n'est pas la "même" expérience, puisque l'observateur n'est pas situé au même endroit dans les deux cas...

(Rappel, les conditions qui déterminent une expérience incluent le dipositif observationnel, "observateur" inclus, et pas seulement l'objet observé...).

[papy-alain]

Ce n'est pas la "même" expérience, puisque l'observateur n'est pas situé au même endroit dans les deux cas...

(Rappel, les conditions qui déterminent une expérience incluent le dipositif observationnel, "observateur" inclus, et pas seulement l'objet observé...).

Ce ne sont pas, en effet, les mêmes conditions d'observation, mais le paramètre commun est qu'il s'agit du même trajet de la lumière. Et pour un même phénomène, on ne peut avoir de mesures différentes en fonction de la position de l'observateur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
J'avoue que malgré les explications d'Amanuensis et d'autres, je suis dans le même état de désarroi que papy-Alain.

Je pense que ce limiter à la dimension du temps ne nous permetra pas de sortir de notre mécompréhension de la relativité, d'où la remarque d'Amanuensis je pense.
Dans le cadre de la RR. si je me limite à une dimension spatiale r et au temps t
Puis-je écrire ?
ds² = c²dt² - dr²

Quel est le sens physique de cette formule?
Zefram

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
J'avoue que malgré les explications d'Amanuensis et d'autres, je suis dans le même état de désarroi que papy-Alain.

Je pense que ce limiter à la dimension du temps ne nous permetra pas de sortir de notre mécompréhension de la relativité, d'où la remarque d'Amanuensis je pense.
Dans le cadre de la RR. si je me limite à une dimension spatiale r et au temps t
Puis-je écrire ?
ds² = c²dt² - dr²

Quel est le sens physique de cette formule?
Zfram

[invite6d525980]

Et pour un même phénomène, on ne peut avoir de mesures différentes en fonction de la position de l'observateur.

Bien sûr que si... Même en simple RR, un phénomène (par exemple, une simultanéité de deux événements) ne vaut que du point de vue d'un repère...

[invite7ce6aa19]

Bonjour,
J'avoue que malgré les explications d'Amanuensis et d'autres, je suis dans le même état de désarroi que papy-Alain.

Je pense que ce limiter à la dimension du temps ne nous permetra pas de sortir de notre mécompréhension de la relativité, d'où la remarque d'Amanuensis je pense.
Dans le cadre de la RR. si je me limite à une dimension spatiale r et au temps t
Puis-je écrire ?
ds² = c²dt² - dr²

Quel est le sens physique de cette formule?
Zfram

Le sens de cette formule est de donner la distance entre 2 points A et B d'espace-temps dont les coordonnées sont:

A [t, r]

B[(t+dt), (r +dt)]

C'est justement cette notion de distance qui mathématiquement se manipule comme la distance euclidienne usuelle(le théorème de Pythagore) mais qui physiquement nous amène à faire des considérations non réductibles à notre intuition usuelle.

Par exemple effectue le calcul de la longueur d'une courbe entre 2 points éloignés:


1- En géométrie euclidienne.

2- En géométrie de l'espace-temps (géométrie de Minskovski)

[invite7ce6aa19]

Pour comprendre la différence entre géométrie euclidienne (la géométrie de notre vie quotidienne) et géométrie de Minkowski (la géométrie de la RR):


1- Géométrie euclidienne.


Soit dans un plan un point A de coordonnées (x,y).

Est-ce que j'ai le droit de dire que A est au point x?

Bien sur que non. c'est le couple (x,y) qui définit la position du point.

Est-ce que j'ai le droit de dire que le point A est caractérisé par le couple (x,y)?

Oui et non car ce couple est attaché à un repère. Dans un autre repère le même point A aura pour couples par exemple (x',y').


Moralité: Il existe une infinité de couples pour définir le point A. Un couple est déterminé par un choix de repère.


2- Géométrie de Minkovski.


Le raisonnement est le même que précédemment. La différence est qu 'un point A est appelé événement et a pour coordonnées: (t,x)


Est-ce que j'ai le droit de dire que A est au point x?

Bien sur que non. c'est le couple (t,x) qui définit la position du point.


Est-ce que j'ai le droit de dire que le point A est caractérisé par le couple (t,x)?


Oui et non car ce couple est attaché à un repère. Dans un autre repère le même point A aura pour couples par exemple (t',x').


Moralité: Il existe une infinité de couples pour définir le point A. Un couple est déterminé par un choix de repère.


Conclusion: On ne peut pas dire que tel évenement s'est produit à l'instant t et au point x. C'est le point de vue d'un observateur (cad un repère) alors qu un autre observateur (un autre repère) dira que le même évenement s'est produit au temps t' et au point x'.


Les lois de la RR permettent de mettre en rapport les 2 points de vue par une transformation mathématique qui s'appelle transformation de Lorentz.


En plus comme indiqué précédemment le passage de la géométrie euclidienne à la géométrie de Minkovski s’accompagne non seulement de l'intégration de l'espace et du temps mais aussi d'un changement de la forme de la distance entre 2 points, cad la métrique.

Géométrie euclidienne: ds2 = dx2 + dy2

Géométrie de Minkowski : ds2 = c2dt2 - dx2

avec les notations ci(dessus.

[papy-alain]

Cela signifie-t-il que la distance entre la Terre et la Lune est variable, selon qu'on la mesure depuis la Terre ou depuis la Lune ?

[Zefram Cochrane]

Merci pour ta réponse,
jusqu'ici, ça va.
J'ai lu que l'on pouvait passer du repère (t,x) à (t',x') par une rotation des axes.
Pourrais-tu m'expliquer la manip?
Sinon, qu'est-ce qu'une ligne d'univers dans la géométrie de Minkowski?

[invite7ce6aa19]

Cela signifie-t-il que la distance entre la Terre et la Lune est variable, selon qu'on la mesure depuis la Terre ou depuis la Lune ?

Bonjour,

Personne n' écrit cela, me semble-t-il!

[invite7ce6aa19]

Merci pour ta réponse,
jusqu'ici, ça va.
J'ai lu que l'on pouvait passer du repère (t,x) à (t',x') par une rotation des axes.
Pourrais-tu m'expliquer la manip?

C'est une matrice 2*2 (transformation linéaire) où les élements de matrices dépendent de la vitesse relative des 2 repères. Cette matrice s"appelle transformation de Lorentz.

Sinon, qu'est-ce qu'une ligne d'univers dans la géométrie de Minkowski?

Ligne d'univers est tout simplement synonyme de: courbe passant entre 2 évenements dans l'espace-temps.

Cette courbe a une propriété intrinsèque qui est sa longueur et que l'on exprime en unité de temps. On appelle cette longueur temps propre parce que c'est le temps mesuré par une horloge qui suit cette ligne d'univers.

Important: Par 2 événements il existe une infinité de lignes d'univers et chaque ligne d'univers à son propre temps propre.

Remarque: Il ne faut pas confondre le temps coordonnée d'un événement qui dépend du repère avec le temps propre d'une ligne d'univers qui elle ne dépend pas de aucun repère.

[PlaneteF]

Bonjour,

J'ai lu que l'on pouvait passer du repère (t,x) à (t',x') par une rotation des axes.
Pourrais-tu m'expliquer la manip?

Si tu fais intervenir la notion de rapidité = argth(v/c), et que tu réécris la matrice de passage entre les 2 référentiels avec cette nouvelle variable, alors tu vois que la matrice est celle d'une rotation hyperbolique d'angle = rapidité.

A noter que la rapidité s'exprime généralement avec la lettre grecque phi.

[papy-alain]

Bonjour,

Personne n' écrit cela, me semble-t-il!

Non, mais dans ce cas, comment expliquer que le temps mesuré n'est pas le même pour un trajet identique de la lumière ?

[papy-alain]

Bonjour,

Personne n' écrit cela, me semble-t-il!

Non, mais dans ce cas, comment expliquer que le temps mesuré n'est pas le même pour un trajet identique de la lumière ?

[Amanuensis]

Sinon, qu'est-ce qu'une ligne d'univers dans la géométrie de Minkowski?

La même chose que dans toutes les modèles d'espace-temps, une suite continue d'événements intéressant un même "objet" ponctuel (un point matériel, ou le centre de masse d'un objet étendu, par exemple).

En mécanique 3D + temps, on parle de fonctions t --> P(t), où P(t) est un point de l'espace pour caractériser le mouvement d'un point matériel.

En 4D, on parle de fonctions λ --> M(λ), où λ est un paramètre et M(λ) un événement, ou encore λ --> (t(λ), P(λ)) si on fait le choix d'un référentiel (λ peut être un "temps", mais pas nécessairement). Une telle fonction est une ligne d'Univers. Cela ne se limite pas à des géodésiques.

Si la question portait sur les géodésiques (de genre temps), ce sont les mouvements inertiels en géométrie de Minkowski, les trajectoires linéaires dans un système de coordonnées inertiels, du genre λ --> (aλ+b, P0 + λv), par définition d'un système de coordonnées inertiel.

[papy-alain]

Bon, finalement, la question initiale reste sans réponse : que va mesurer l'observateur se trouvant sur la Lune par rapport à celui qui se trouve sur la Terre ?

[invite6d525980]

Non, mais dans ce cas, comment expliquer que le temps mesuré n'est pas le même pour un trajet identique de la lumière ?

Parce que le trajet mesuré n'est pas le même non plus.

[papy-alain]

Parce que le trajet mesuré n'est pas le même non plus.

Ah, ben si : le trajet aller-retour du laser est exactement le même, que ce soit depuis la Terre ou depuis la Lune.

[invite6d525980]

Ah, ben si : le trajet aller-retour du laser est exactement le même, que ce soit depuis la Terre ou depuis la Lune.

Oui, c'est le même...

Mais ici, on parle de la mesure. Ce qu'on mesure, temps, distances, dépend du repère d'où on effectue cette mesure. Ce qui reste invariant, c'est c...

[papy-alain]

Oui, c'est le même...

Mais ici, on parle de la mesure. Ce qu'on mesure, temps, distances, dépend du repère d'où on effectue cette mesure. Ce qui reste invariant, c'est c...

Mais justement, c est invariant, et c'est là le problème. Et il s'agit bien du même trajet parcouru mesuré par des horloges qui ne tournent pas au même rythme. Alors, si on me dit que, malgré cette différence, les deux observateurs chronomètrent le même temps de parcours, cela signifie qu'ils mesurent la même distance. Mais la même distance parcourue par la lumière avec une horloge qui tourne plus vite que l'autre implique qu'un mètre sur la Lune est plus petit qu'un mètre sur la Terre. Le problème est que ça, je ne l'ai jamais lu nulle part et donc, pour moi, le paradoxe reste irrésolu.

[invite80fcb52e]

Le problème est que ça, je ne l'ai jamais lu nulle part et donc, pour moi, le paradoxe reste irrésolu.

Ils ne mesurent pas le même temps. Compte tenu que le signal voyage à c pour les deux observateurs, ils n'ont pas la même distance!

Il est où le problème?

Le mètre sur la Lune et le mètre sur Terre sera le même. Ce qui change c'est la valeur en mètre de la mesure de distance entre les deux!

[papy-alain]

Ils ne mesurent pas le même temps. Compte tenu que le signal voyage à c pour les deux observateurs, ils n'ont pas la même distance!

Il est où le problème?

Le mètre sur la Lune et le mètre sur Terre sera le même. Ce qui change c'est la valeur en mètre de la mesure de distance entre les deux!

Et tu trouves normal de trouver deux distances différentes pour un trajet parfaitement identique ?

[noureddine2]

Cela signifie-t-il que la distance entre la Terre et la Lune est variable, selon qu'on la mesure depuis la Terre ou depuis la Lune ?

salut , peut etre que sur la lune , on deviens anglais , on utilise le mille au lieu du km , on change d'unité de mesure

[invite6d525980]

Et tu trouves normal de trouver deux distances différentes pour un trajet parfaitement identique ?

C'est une "anomalie" qui précéde la RG, et date de la RR (1905)... La mesure de la taille (dans le sens du déplacement) du même objet change selon que celle-ci est effectuée à partir d'un repère immobile par rapport à l'objet, ou d'un repère en mouvement par rapport au même objet...

Dans le cas de la RG, c'est plus compliqué, mais ça le fait aussi : Dans un champ de gravitation, les mesures de distance et de temps sont affectées par ledit champ.

[papy-alain]

Je pousse le raisonnement un peu plus loin : puisqu'on a, pour un même trajet, deux distances différentes avec les mêmes mètres, chaque observateur se construit un bâton de longueur égale à la distance mesurée par chacun. Puis, simultanément, on les érige côte à côte. L'un est plus court que l'autre, mais ce n'est pas grave, ils coïncident chacun avec la distance mesurée. Là, on se rend compte que, finalement, il y a un gros problème quelque part.

[invite6d525980]

chaque observateur se construit un bâton de longueur égale à la distance mesurée par chacun. Puis, simultanément, on les érige côte à côte. L'un est plus court que l'autre

Ca ne marche pas... Il faut que les mesures soient faites dans des champs de gravitation différents (sur la Terre et sur la Lune), si vous mettez les batons au contact, on est dans le même repère...

Pour effectuer une expérience de pensée, il ne suffit pas de supposer une mesure dans un monde idéal, il faut imaginer le dispositif qui permette d'effectuer la mesure (comme le fait Einstein dans son bouquin où il expose la RR, avec des trains et des flash lumineux), de façon "vraisemblable", même si c'est irréalisable en fait.

Ici, les mesures de distance ne peuvent être faites qu'avec des rayons lumineux et des horloges

[papy-alain]

Ca ne marche pas... Il faut que les mesures soient faites dans des champs de gravitation différents (sur la Terre et sur la Lune), si vous mettez les batons au contact, on est dans le même repère...

Pour effectuer une expérience de pensée, il ne suffit pas de supposer une mesure dans un monde idéal, il faut imaginer le dispositif qui permette d'effectuer la mesure (comme le fait Einstein dans son bouquin où il expose la RR, avec des trains et des flash lumineux), de façon "vraisemblable", même si c'est irréalisable en fait.

Ici, les mesures de distance ne peuvent être faites qu'avec des rayons lumineux et des horloges

Je ne suis pas d'accord, car l'expérience est plausible, même si elle ne peut être réalisée qu'en pensée. Puisqu'un mètre sur la Lune équivaut à un mètre sur la Terre, chacun assemble bout à bout autant de mètres que la distance mesurée. Ensuite, rien n'empêche de dresser les deux bâtons dans la direction de l'autre observateur. Et c'est bien là que le paradoxe saute aux yeux.

[invite6d525980]

Puisqu'un mètre sur la Lune équivaut à un mètre sur la Terre

Le mètre lunaire n'est pas "équivalent", la gravité affecte les horloges et les règles...En fait, c'est la métrique d'espace-temps qui est affectée.

Moins de gravité ==> Horloges plus rapides ==> Règles plus longues (pour que l'invariance de c soit respectée).

chacun assemble bout à bout autant de mètres que la distance mesurée. Ensuite, rien n'empêche de dresser les deux bâtons dans la direction de l'autre observateur.

Les bâtons vont donc s'éloigner des champs gravitationnels lunaire et terrestre, donc vont être de même façon affectés par la modification de métrique. Et...ils vont coincider...