Calcul du rayon de Schwarzschild

[papy-alain]

Bonjour à tous.

Le calcul du RS d'un objet est directement relié à la masse de cet objet et ne s'applique donc pas uniquement aux trous noirs. Par exemple, le RS du Soleil est de 2950 m, celui de la Terre est de 9 mm, etc.
Partant de là, a-t-on une idée de la masse de l'univers observable et donc de son RS ? Et en fonction de cette réponse, à quel moment de son histoire l'univers observable a-t-il dépassé la taille de son RS ?

Merci par avance à tous ceux qui auront la gentillesse d'apporter des éléments de réponse.
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[invite80fcb52e]

Partant de là, a-t-on une idée de la masse de l'univers observable et donc de son RS ? Et en fonction de cette réponse, à quel moment de son histoire l'univers observable a-t-il dépassé la taille de son RS ?

Rayon de l'univers observable: 47 GAL, densité de matière: 27% de la densité critique, soit 2,6.10^-27 kg/m³. La masse contenue dans le rayon de l'univers observable est donc d'environ 10⁵⁴ kg.
RS de cette masse: 160 GAL.

Attention aux interprétations que je vois venir gros comme une maison!!

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
gros comme une bulle d'univers même

Comment se fait il que la densité de matière soit de 27% celle de la densité critique et qu'on trouve un Rs>au rayon de l'univers observable?
tu m'airais dit quelque chose comme 31.73 GAL (47* 0.27^0.3) j'aurais compris, mais là je suis étonné.
Cordialement,
Zefram

[papy-alain]

Attention aux interprétations que je vois venir gros comme une maison!!

M'enfin ! Je ne suis pas qualifié pour interpréter quoi que ce soit, je laisse ça aux spécialistes.
Mais le résultat est interpelant, non ? 160 GAL, c'est beaucoup plus que la taille actuelle de l'univers observable. Quelque chose m'échappe dans ce résultat, car on n'est pas dans un TN, tout de même ! La définition du RS est justement que tout objet plus petit que son RS devient inévitablement un TN. Je ne comprends pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite80fcb52e]

Erratum: RS est plutot 150 que 160. C'est important pour ma démonstration...

Comment se fait il que la densité de matière soit de 27% celle de la densité critique et qu'on trouve un Rs>au rayon de l'univers observable?

Parce que le rayon de l'univers est plus grand que le rayon de Hubble, à cause de l'expansion. Sans expansion et pour seulement de la matière on aurait Ru=RS, avec Ru rayon de l'univers.

En effet, on va faire faire un peu de calcul avec les mains.

Soit


et



le rayon de Schwarzschild et le rayon de l'univers observable respectivement, avec RH le rayon de Hubble qui vaut 13,7 GAL.

On sait que (47 GAL / 13,7 GAL).

La densité de matière est donnée par:



avec et .

Si on remplace dans Rs, et après simplification on trouve:



c'est à dire



Avec les valeurs des deux constantes on obtient , soit Rs=150 GAL.

Si l'univers est dominé que par la matière, , on aurait et donc Rs serait de 423 GAL.

Si on néglige l'expansion, on a et Rs=Ru, ce qui n'est pas surprenant car les équations de Friedmann tout comme le rayon de Schwarzschild peuvent être retrouvé en mécanique newtonienne, et il est donc logique que la mécanique newtonienne ne donne pas 2 résultats différents.

La définition du RS est justement que tout objet plus petit que son RS devient inévitablement un TN. Je ne comprends pas.

Mais le rayon de l'univers observable n'est pas celui de l'univers. Et quand bien même ce serait le cas, on aurait pas une métrique de Schwarzschild mais de Friedmann, c'est à dire homogène.

Là où on deviendrait un trou noir c'est si en dehors de l'univers observable il n'y a que du vide.

[papy-alain]

Là où on deviendrait un trou noir c'est si en dehors de l'univers observable il n'y a que du vide.

Je comprends de moins en moins. En dehors de chaque TN il n'y a pas que du vide. Alors pourquoi ce qui est vrai à l'échelle du TN ne l'est plus à l'échelle de notre petite bulle d'univers observable ? De plus, si l'univers est fini ET qu'il a la topologie de l'univers chiffonné de JP Luminet, il devrait se transformer en TN. Or, dans ses exposés, Mr. Luminet n'évoque jamais cette notion qu'il ne peut pourtant ignorer. D'où viennent ces contradictions ?

[invite80fcb52e]

Il existe 2 solutions particulièrement simple aux équations d'Einstein.

La première c'est de prendre un espace vide sauf à un endroit (il n'y a pas plus hétérogène), où on considère une masse à symétrie sphérique. C'est la solution de Schwarzschild. Et il existe une valeur particulière du rayon (on parle de rayon car on est à symétrie sphérique), le rayon de Schwarzschild, qui fait que toute masse dont sa taille est inférieure à ce rayon est un trou noir. Ce rayon détermine la limite de l'horizon des évènements.

La deuxième c'est de prendre tout le contraire, c'est à dire de la masse partout (homogène) et toujours à symétrie sphérique ce qui implique l'isotropie. C'est la solution de Friedmann. Il existe une valeur particulière de la densité (avant on parlait de masse et de distance, car seuls ces paramètres définissent le champ extérieur, ici on parle seulement de densité) qui fait que l'espace est courbe ou non, en expansion ou en contraction etc...

Ce sont 2 modèles très simple et des cas idéaux car tu te doutes bien qu'en réalité il n'y a jamais une masse et que du vide ou un univers totalement homogène. Mais l'approximation par ces modèles peut facilement être utilisée.

Pour en revenir au calcul. Dans le cas de la métrique de Friedmann, il n'y aura jamais de trous noirs car c'est le total opposé (hétérogénéité versus homogénéité). Mais comme on parle toujours de gravitation avec la relativité générale, il y a des similitudes dans les grandeurs en jeu mais elles ne sont pas comparables car chacune appartient à son modèle propre et pas à l'autre!

C'est pour ça que je dis que pour que l'univers observable s'effondre en trou noir il faut qu'il y ait du vide autour pour qu'on rentre dans le modèle de Schwarzschild et qu'on puisse l'utiliser à bon escient son rayon! Et si tu fais ça tout ce que tu as fait avant en utilisant les résultats du modèle de friedmann deviennent faux! Mais on ne fait pas les deux!

Faire de la physique c'est savoir utiliser les bons modèles dans les bonnes situations, si on ne respecte pas ça on peut faire dire tout et n'importe quoi et on fait tout sauf de la physique!

[stefjm]

Si on néglige l'expansion, on a et Rs=Ru, ce qui n'est pas surprenant car les équations de Friedmann tout comme le rayon de Schwarzschild peuvent être retrouvé en mécanique newtonienne, et il est donc logique que la mécanique newtonienne ne donne pas 2 résultats différents.

Dans ce cas, a-t-on pour une masse de ? (obtenu par AD évidement...)

Mais le rayon de l'univers observable n'est pas celui de l'univers. Et quand bien même ce serait le cas, on aurait pas une métrique de Schwarzschild mais de Friedmann, c'est à dire homogène.

Là où on deviendrait un trou noir c'est si en dehors de l'univers observable il n'y a que du vide.

S'il y a le même rapport de densité la matière ordinaire et le proton qu'il y a entre l'univers observable et le reste, c'est plausible. Non?
A-t-on une idée de ce rapport de densité?

Cordialement.

[papy-alain]

Bonjour Gloubi, bonjour à tous.

Je te remercie pour ces explications détaillées, mais j'ai encore besoin d'une petite précision...
Si j'ai bien compris, le RS n'est valable que pour des objets compacts et isolés. Je peux donc calculer le RS du Soleil, de la Terre ou même de mon stylo, mais pas celui du système solaire ou de la Galaxie, c'est bien ça le principe ?

[Gilgamesh]

Bonjour Gloubi, bonjour à tous.

Je te remercie pour ces explications détaillées, mais j'ai encore besoin d'une petite précision...
Si j'ai bien compris, le RS n'est valable que pour des objets compacts et isolés. Je peux donc calculer le RS du Soleil, de la Terre ou même de mon stylo, mais pas celui du système solaire ou de la Galaxie, c'est bien ça le principe ?

Non.

Solution de Friedmann : l'ensemble de l'espace forme un milieu homogène de densité constante. Ca correspond bien à l'univers sous l'hypothèse cosmologique.

Solution de Schwarzschild : concerne une masse entourée de vide "à l'infini". Ca correspond à toutes les structures de l'univers réunies par la gravité : étoile, galaxie, amas...

[papy-alain]

Non.

OK

Solution de Friedmann : l'ensemble de l'espace forme un milieu homogène de densité constante. Ca correspond bien à l'univers sous l'hypothèse cosmologique.

OK

Solution de Schwarzschild : concerne une masse entourée de vide "à l'infini". Ca correspond à toutes les structures de l'univers réunies par la gravité : étoile, galaxie, amas...

Comment peut on considérer qu'une étoile ou une galaxie puisse être entourée d'un vide infini ?

[Gilgamesh]

OK

OK

Comment peut on considérer qu'une étoile ou une galaxie puisse être entourée d'un vide infini ?

Disons que c'est une approximation correcte, vu le contraste de densité.

[Mailou75]

Bonjour,

J'aurais une ou deux questions par rapport au calcul de Gloubi :

- Comment est déterminée (densité massique critique)?

- La densité massique =2,7.10^-27kg/m³ est, j'imagine une densité moyenne dans le "Toy Friedmann" (M=V.)
Mais prend elle en compte les zones de l'univers dans l'état observé (horizon particule à 13.7GAL), dans l'état supposé (horizon particule à 47GAL) ou est-ce une extrapolation de moyennes "locales" (amas proches) étendues à l'univers, puisque les zones lointaines sont forcément vues trop denses pour participer à une moyenne... ou rien de tout ça ?
A partir du moment ou on mêle des densités qui ne font par référence au même "age de l'espace", que signifie une densité moyenne ?

-La constante de Hubble Ho=73km/s.Mpc peut aussi s'exprimer en Hertz (Ho=2,32.10^-18/s) comment interpréter ceci ?

Merci d'avance
Mailou

[papy-alain]

Bonjour à tous et merci à Gilgamesh & Gloubi pour leurs explications.
Juste une dernière question : comment se fait-il que le RS soit proportionnel à la masse alors que l'effet gravitationnel décroît proportionnellement au carré de la distance ?

[invite80fcb52e]

- Comment est déterminée (densité massique critique)?

C'est relié au taux d'expansion:



où H est le paramètre de Hubble. Si tu prends H₀ la valeur aujourd'hui, ça te donne la valeur numérique que j'ai donné.

- La densité massique =2,7.10^-27kg/m³ est, j'imagine une densité moyenne dans le "Toy Friedmann" (M=V.)

Oui puisque ça découle d'un modèle dont l'hypothèse de départ est univers homogène, donc par définition y a qu'une densité, qui est la densité de l'univers.

Mais prend elle en compte les zones de l'univers dans l'état observé (horizon particule à 13.7GAL), dans l'état supposé (horizon particule à 47GAL) ou est-ce une extrapolation de moyennes "locales" (amas proches) étendues à l'univers, puisque les zones lointaines sont forcément vues trop denses pour participer à une moyenne... ou rien de tout ça ?
A partir du moment ou on mêle des densités qui ne font par référence au même "age de l'espace", que signifie une densité moyenne ?

C'est la densité au temps t. De même que H est le taux d'expansion au temps t. Si je prends t=t₀, ça me donne les valeurs aujourd'hui.

Attention à ne pas mélanger ce qu'on calcule et ce qu'on observe. La densité critique n'est jamais mesurée, c'est une valeur particulière qui sert de référence et de transition (entre espace fermé, plat, ouvert). Ce qu'on mesure c'est H₀, et avec ça on calcule la densité critique.

-La constante de Hubble Ho=73km/s.Mpc peut aussi s'exprimer en Hertz (Ho=2,32.10^-18/s) comment interpréter ceci ?

Si je prends 1Mpc, compte tenu de la vitesse d'expansion, mon Mpc aura doublé (variation égale à sa valeur) en un temps 1/H₀. Cette fréquence est simplement la fréquence à laquelle les distances varient de leur valeur. C'est l'échelle de temps caractéristiques sur laquelle l'expansion d'une distance n'est pas négligeable, car de l'ordre de grandeur de la distance elle même.

Juste une dernière question : comment se fait-il que le RS soit proportionnel à la masse alors que l'effet gravitationnel décroît proportionnellement au carré de la distance ?

La force est inversement proportionnelle à la distance au carré. Mais le potentiel est inversement proportionnel à la distance. C'est le potentiel qui détermine la vitesse de libération. D'où le 1/r.

[papy-alain]

La force est inversement proportionnelle à la distance au carré. Mais le potentiel est inversement proportionnel à la distance. C'est le potentiel qui détermine la vitesse de libération. D'où le 1/r.

Dois je comprendre par là que pour un TN supermassif, la force gravitationnelle puisse être relativement faible au niveau de l'horizon ?

[Deedee81]

Salut,

Dois je comprendre par là que pour un TN supermassif, la force gravitationnelle puisse être relativement faible au niveau de l'horizon ?

En effet. Les forces de marées (localement, le seul effet physique existant) sont faibles près d'un TN supermassif, alors qu'approcher d'un TN stellaire nous déchiquetterais avant même d'arriver à l'horizon.

Ceci dit, s'éloigner de l'horizon lorsqu'on en est tout près serait aussi difficile quel que soit le TN.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
Je dirai que l'effet marée que décrit Deedee n'est valable que si la vitesse de chute est supérieur ou égale à la vitesse de libération.
En dessous, comme la distance du point R au centre du TN d'un observateur fixe est R':

et que l'accélération ressentie est
Donc, l'accélération ressentie pour un observateur fixe aux abords du TN est nulle car R' = oo donc pas d'effet marée.

Cordialement,
Zefram

[Deedee81]

Donc, l'accélération ressentie pour un observateur fixe aux abords du TN est nulle car R' = oo donc pas d'effet marée.

Heu... Si ! Ce n'est pas les forces de marée que tu calcules là.

[Zefram Cochrane]

Tu as peut-être raison

Dans le plan tangeant au TN, il n'y a pas d'effet marée c'est certain car R'->oo si je suis "fixe" à la surface du TN, si j'écarte les bras j'ai moins d'effet marée que sur Terre. TN supermassif ou pas n'est-ce pas?

Par contre sur la radiale, il y a un effet marée plus que puissant puisque si j'avais encore des cheveux, il se redresserait sur ma tête car dR' -> oo. Mais ceci est aussi valable pour les TN supermassif que les stellaires; du moins je crois.
cordialement,
Zefram

[xxxxxxxx]

salut

a noter une curiosité : le rayon de Schwarzchild est égal au rayon de Hubble pour un univers à la densité critique quand on supose que gravitation et expansion se compensent parfaitement... http://forums.futura-sciences.com/as...de-hubble.html.

[papy-alain]

Tout de même, il y a une notion qui me dépasse. Si je me place près de l'horizon, la gravité subie est intense. Mais si je vais me placer au double de cette distance, cette gravité sera divisée par 4. Ensuite, je double la masse du TN et donc la gravité que je subis est doublée. Globalement, elle ne sera donc que la moitié de celle ressentie dans la position initiale, alors que je suis pourtant rattrapé par l'horizon. Je devrais donc pouvoir m'en extraire plus facilement, mais il paraît que ce n'est pas le cas. C'est là que ça coince dans mon petit cerveau.

[invite80fcb52e]

Tout de même, il y a une notion qui me dépasse. Si je me place près de l'horizon, la gravité subie est intense. Mais si je vais me placer au double de cette distance, cette gravité sera divisée par 4. Ensuite, je double la masse du TN et donc la gravité que je subis est doublée. Globalement, elle ne sera donc que la moitié de celle ressentie dans la position initiale, alors que je suis pourtant rattrapé par l'horizon. Je devrais donc pouvoir m'en extraire plus facilement, mais il paraît que ce n'est pas le cas. C'est là que ça coince dans mon petit cerveau.

Arrête de raisonner en terme de force. C'est pas ça qui compte. Pour sortir de l'attraction d'une masse c'est la valeur du potentiel qui joue, et pas la force.

Si tu fais une analogie avec un puit (un trou, une vallée etc....), la profondeur du puit c'est le potentiel et la pente du puit c'est la force. Une des propriétés de la force de gravité est qu'elle est dite conservative, c'est à dire que l'énergie qu'il faut fournir pour sortir du puit ne dépend pas du chemin suivi, mais seulement de la différence de potentiel (différence de hauteur) du puit. Peu importe quelle est la valeur de la force (donc de la pente), ça ne rentre pas en compte.
Ca veut dire que tu peux avoir un puit très abrupte, avec une pente très forte mais qui est pas très longue, ou un puit très doux, avec une pente tranquille mais bien plus longue. Si les deux ont la même profondeur, alors c'est la même chose en terme d'énergie qu'il faut fournir même si la valeur de la force du puit très doux est bien plus petite que celle du puit abrupte.

Si on revient à la gravité, la force (ou plutot l'accélération) c'est GM/R². Si on remplace R par Rs on trouve que la force au niveau de l'horizon est simplement c⁴/4GM. Autrement dit la force au niveau de l'horizon décroît proportionnellement à la masse, c'est ce que tu en avait déduit. Ca veut simplement dire que la pente du puit gravitationnel est bien plus douce au niveau de l'horizon pour les grandes masses que pour les petites, même si la hauteur du puit est la même. D'ailleurs on peut vérifier que la hauteur est la même. Le potentiel est GM/R, si on remplace R par Rs, on trouve que le potentiel vaut c²/2, ce qui est bien constant!

[Zefram Cochrane]

Quand tu dis que tu te place, tu te spoose fixe donc.

Au niveau de l'horizon la gravité subie est nulle (il ne faut pas confondre la gravité ou accélération subie avec la gravité ou l'accélération observée par l'observateur de référence à l'oo pour le cas le plus simple).
Par ailleurs si tu double la masse (E/C² pour être plus précis car le TN grossit aussi en absorbant des photons) du TN, tu double son rayon puisqu'il est proportionnel à la masse.
coridalement,
Zefram

[papy-alain]

Arrête de raisonner en terme de force. C'est pas ça qui compte.

Je veux bien, Gloubi, mais si je veux extraire mon vaisseau spatial de l'environnement du TN, je dois bien utiliser une force, qui sera ici la propulsion de mes moteurs. J'ai bien compris que plus le TN est massif, la puissance des moteurs peut être moindre, mais la quantité de carburant nécessaire pour s'en extraire totalement sera globalement la même, on est bien d'accords. Et pourtant, si je touche l'horizon, je ne pourrai plus m'en extraire, même avec des moteurs d'une puissance infinie. Je ne comprends pas la nécessité de faire abstraction de la force gravitationnelle en ne considérant que le potentiel.

Si on remplace R par Rs on trouve que la force au niveau de l'horizon est simplement c⁴/4GM.

Justement. Qu'est ce qui permet de remplacer R par Rs ?

[Zefram Cochrane]

simple :

mais, cela ne peut correspondre qu'à l'attraction gravitationnelle exercée sur un mobile s'échappant (ou plongeant vers) le TN à la vitesse de libération cas où dR' = dR ce qui n'a pas vraiment de sens par ailleurs car si on réfléchit un peu :
un mobile plongeant qui est en chute libre dans un champ de gravitation : soit il plonge dans le champ de gravitation et il est en apesanteur, si tu fais un saut en parachute tu t'en appercevras, l'accélération que tu ressentira sera due au frottement de l'air. Soit il remonte le champ de gravitation et dans ce cas cela dépendra de sa vitesse d'ascension. Donc à vitesse de libération,
je dis cette formule un peu au pif car je dois vous quitter.
A confirmer.
Bonne soirée
Zefram

[invite80fcb52e]

Je veux bien, Gloubi, mais si je veux extraire mon vaisseau spatial de l'environnement du TN, je dois bien utiliser une force, qui sera ici la propulsion de mes moteurs. J'ai bien compris que plus le TN est massif, la puissance des moteurs peut être moindre, mais la quantité de carburant nécessaire pour s'en extraire totalement sera globalement la même, on est bien d'accords.

Je raisonne toujours en mécanique classique, car la valeur de Rs en RG, c'est à dire l'horizon correspond au rayon où la vitesse de libération est égale à la vitesse de la lumière (en classsique).
Pour revenir sur cette histoire de vitesse de libération, c'est donnée par la vitesse nécessaire pour vaincre le puit de potentiel. En d'autres mots c'est l'énergie cinétique nécessaire pour vaincre l'énergie potentielle. Ca veut dire que peu importe dans quelle direction tu lances le projectile (sauf vers le sol évidemment) il suffit juste qu'il ait la bonne vitesse, peu importe qu'il parte perpendiculairement ou de façon tangente à la surface de l'astre (étoile, planète etc...) car seule son énergie cinétique intervient (c'est donc indépendant de la direction car c'est un nombre et pas un vecteur).

Sur Terre les fusées qu'on envoie n'ont pas la vitesse de libération au décollage, mais elles exercent une force de poussée continue. Ce qui compte là ce n'est plus l'énergie cinétique de lancer mais le travail de la force de poussée. Si tu ne connais pas, le travail d'une force en physique c'est l'énergie fournie par cette force pendant son déplacement (dans les cas simples c'est la force multiplié par la longueur du déplacement). Ici ce qui compte du coup c'est le travail de cette force qui doit vaincre l'énergie potentielle.

Je trouvais ce petit rappel (ou non) important dans la compréhension. Tu as raison quand tu dis que la quantité de carburant sera la même car seule l'énergie fournie (travail d'une force ou énergie cinétique) permet de vaincre l'énergie potentielle.

Si tu as des bases de physique tu as vu que l'énergie totale d'un système est égale à l'énergie cinétique + l'énergie potentielle. L'énergie potentielle est négative. Quand ton énergie totale est négative ça veut dire que tu es "lié" gravitationnellement et que tu ne peux pas aller à l'infini. Il faut donc suffisamment d'énergie cinétique pour avoir une énergie totale positive et donc s'échapper de l'attraction d'un astre (ne plus être lié).

Et pourtant, si je touche l'horizon, je ne pourrai plus m'en extraire, même avec des moteurs d'une puissance infinie. Je ne comprends pas la nécessité de faire abstraction de la force gravitationnelle en ne considérant que le potentiel.

C'est là où la RG intervient. Car en classique même si tu n'as pas la vitesse de libération tu peux t'extraire de l'astre (voir ce que j'ai dit sur la fusée). Donc un trou noir en classique, on peut en sortir, suffit d'avoir des moteurs assez puissants et fournir le travail nécessaire.
En RG le trou noir délimite définitivement les zones de l'espace entre les particules qui pourront sortir et celles qui ne pourront jamais. C'est lié à la courbure de l'espace-temps. Il n'y a plus de force en jeu. Et il s'avère que les termes qui interviennent dans la métrique de l'espace sont le potentiel classique. Ici la courbure prend la place du potentiel en quelque sorte, mais quoiqu'il en soit la force on s'en fout. Quelqu'un plus calé en RG pourra en dire plus...

Justement. Qu'est ce qui permet de remplacer R par Rs ?

Beh tu veux calculer la force en Rs alors je pose R=Rs.

[papy-alain]

@ Gloubi : J'y vois beaucoup plus clair, à présent. Merci beaucoup pour ta patience et ton esprit pédagogique.

[Mailou75]

Salut,

@ Gloubi : J'y vois beaucoup plus clair, à présent. Merci beaucoup pour ta patience et ton esprit pédagogique.

Je me joins à papy pour les remerciements

C'est relié au taux d'expansion:

où H est le paramètre de Hubble. Si tu prends H₀ la valeur aujourd'hui, ça te donne la valeur numérique que j'ai donné.

En fait tu avais déjà donné la formule, mais j'en cherchais l'origine
Il me semble que j'ai trouvé c'est la première formule de Friedmann donnée ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89q...s_de_Friedmann
En prenant K=0 on trouve _c (enfin je crois )

Oui puisque ça découle d'un modèle dont l'hypothèse de départ est univers homogène, donc par définition y a qu'une densité, qui est la densité de l'univers.

Oui c'est le genre de question dont on se rend compte qu'elle est absurde quand on a fini de la poser, désolé

Si je prends 1Mpc, compte tenu de la vitesse d'expansion, mon Mpc aura doublé (variation égale à sa valeur) en un temps 1/H₀. Cette fréquence est simplement la fréquence à laquelle les distances varient de leur valeur. C'est l'échelle de temps caractéristiques sur laquelle l'expansion d'une distance n'est pas négligeable, car de l'ordre de grandeur de la distance elle même.

Ça c'est moins évident, je vais éditer sur la question

Encore merci,
Mailou

[invite80fcb52e]

En fait tu avais déjà donné la formule, mais j'en cherchais l'origine
Il me semble que j'ai trouvé c'est la première formule de Friedmann donnée ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89q...s_de_Friedmann
En prenant K=0 on trouve _c (enfin je crois )

Exactement! c'est la densité pour laquelle la courbure est nulle (K=0).

Sauf qu'il y a une erreur dans la formule de wiki, comme pour eux c'est la densité d'énergie, le membre de droite doit être divisée par c⁴ et non pas par c². Sinon si est la densité de matière alors la formule est exacte. Donc faut faire attention avec wikipédia, si tu as des doutes regarde celui anglais c'est plus sur.