Bonsoir,
Pour ce que je comprends il s'agit de la surface ou du volume de l’univers, c'est a dire qu'on imagine que l'on peut explorer tout l'univers avec un vaisseau, la question est alors qu'allons nous trouver ? un bord, on va revenir au point de départ, une exploration sans fin. A mon avis La question sous-jacente plus formelle est quel est la géométrie qui modélise correctement l’univers observable.
La logique est une méthode systématique d’arriver en confiance à la mauvaise conclusion.
Surement, mais serais incapable de l'exprimer proprement(c'est tellement flou...).Envoyé par Amanuensis
Localement homéomorphe à R^4, pas globalement.
Ceci dit, même globalement homéomorphe à R^4, un espace-temps pourrait être de type "Univers fini". Dépend de la définition
Bah, là encore....A priori, la notion de finitude dépend de la métrique (à confirmer une fois proposée une définition). Prenons un exemple de dimension plus faible. Si on prend l'intervalle réel ]0, 1[, il est bien globalement homéomorphe à R^1, et si on le munit de la métrique usuelle dx², il sera considéré comme fini, non ?, voilà ou j'en suis....au espaces fermés bornés, espaces ouverts, j'essaye de comprendre tout ça(les histoires d'adhérences, les limites, se servir des boules ect...)bref, suis perdu et comme on peut s'en rendre compte,tout se mélange, mais comme je suis pessimiste, je me dis que ça se mettra en ordre un jour
.
Sinon, ce que dit Misspacman, me "parle", fini= compact(je préssent borné, fermé), infini= ouvert, non borné, mais là encore c'est plus intuitif qu'autre chose.
Voili voilo, aucune compréhention, juste des bribes d'indice.
Je vais interrompre mes interventions "foireuses" sur ce fil, que je lirais avec interet.
Cordialement,
Bon, une dernière.....
Un espace métrique est est un espace topologique ou cette drenière est définie par une distance(intervalle?)(enfin je crois...).Le contraire n'est donc pas correct?
Merci.
Cordialement,
C'est une forme de finitude. Mais cela exclut par exemple ]0,1[ avec la métrique dx², qu'au moins certains considéreraient fini. Et plus bizarre cela exclut les "sous-espaces-temps", les variétés ouvertes sous-variétés d'un compact. Peut-on accepter qu'une partie d'un "Univers fini" soit "infinie" ?
Les variétés à bord ne donnent pas un modèle physique pour l'espace-temps (à mon humble avis) et je les ai éliminées explicitement dans le message #1.Vient ensuite la notion avec ou sans bord différent de infini/fini. il existe des variétés non compactes à bord.
J'aurais pu mettre "fini" dans la question-titre, cela aurait été la même question, non ?Si l’infini se définit comme ce qui n’est pas fini, ne faut-il pas pour le comprendre commencer par préciser ce dernier terme ?
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Cela semble être l'idée.
Un espace seulement topologique est moins "structuré". S'il accepte au moins une (pseudo-)métrique (c'est le cas des modélisations usuelles d'un espace-temps), il en accepte plein, lui conférant des propriétés très différentes. Un "espace métrique" est un espace topologique + le choix d'une métrique (ou plus exactement d'un champ de métrique, dans le cas d'une variété différentielle).
[Vocabulaire très loin du formel, c'est juste pour essayer de répondre à l'idée.]
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Oui, mais même cette notion qui intuitivement semble plus proche des perceptions de nos sens commun, en se focalisant dessus on prend conscience qu'elle n'est pas si simple que cela à capturer.
Bref, « fini » ne signifie pas « concevable », ni même « ayant un sens physique ».
Patrick
Je suis d'accord que c'est une piste. Maintenant comment la formaliser ? Comment l'exprimer en termes mathématiques, permettant de déterminer sans ambiguïté si fini ou infini. Par exemple, dans la description citée, c'est quoi, formellement "l'Univers" (le modèle générique, décrit message #1, ne le définit pas) ?
C'est un autre sujet, il me semble. L'Univers observable est relatif, il dépend de l'événement "observant". Et on ne peut pas limiter le modèle de l'espace-temps à ce qui est observable d'ici et de maintenant, simplement parce qu'on cherche à savoir ce qu'il va se passer plus tard, et l'Univers observable sera alors plus grand. Le modèle d'espace-temps se doit d'inclure l'observable ici et maintenant, et un peu plus, non ?A mon avis La question sous-jacente plus formelle est quel est la géométrie qui modélise correctement l’univers observable.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
A l'exception du mot "univers" (qu'il faudrait définir), en math il me semble que oui ; une suite infinie dans un espace fini ne pose pas de problème.
Maintenant il y a ce foutu mot "univers" qui me gâche le plaisir.
On parle de 2 choses différentes, toi de métrique locale, moi de métrique globale(modèle cosmologique et métrique de FRLW). Mais effectivement je pensais qu'Amanuensis parlait d'un modèle cosmologique, et non d'une structure locale de l'espace-temps.
Ca c'est bien vrai. MissPacMan a compris, elle, le sujet du fil.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Mis dans une phrase
Univers : Objet d'étude/Concept du domaine de la physique/astrophysique
Est : recherche d'une modélisation
Infini/Fini : Objet d'étude/Concept du domaine des mathématiques
Il faut, en mon sens, préciser au préalable cette notion, la cadrer, pour pouvoir exprimer ensuite dans un formalisme mathématique une modélisation.
Patrick
Juste pour essayer de faire avancer la discussion, on trouve aisément une catégorie de modèle d'espace-temps dans la littérature qui est présentée comme "d'Univers fini". Ce sont ceux de la forme {t | t in R+*} x Σ, avec Σ un espace 3D compact de courbure uniforme indépendant de t, et de métrique dt²-a(t)²dΣ², avec a(t) différentiable et strictement positive (en reprenant à peu près les notations de http://en.wikipedia.org/wiki/Friedma...General_metric.
Note: Le choix de restreindre t à R+* n'a rien de générique, suffit que t parcoure un intervalle ouvert de R choisi arbitrairement, et d'adapter a(t) selon le choix.
[C'est bien une variété 4D sans bord (et non compacte), de métrique partout lorentzienne. Reste à vérifier la condition supplémentaire indiquée message #1, mais il me semble que c'est bien le cas.]
[Comme l'indique MissPacMan cela contient même (mais pas que) un cas d'espace-temps plat, en prenant pour Σ un tore 3D et a(t) une fonction constante.]
C'est quand même une classe très restreinte, et elle ne contient aucun modèle qui serait plausible pour l'espace-temps tel qu'observé (à cause de la non uniformité de la courbure à petite échelle, entre autres).
On pourrait évidemment restreindre la notion de "Univers infini" à cette classe, mais cela ne permet pas bien de comprendre les discussions parlant d'Univers fini ou non, puisque cette classe ne peut pas donner un modèle conforme aux observations.
Ma question au fond est si on peut trouver un critère permettant d'aller plus loin que cette classe trop restreinte, et pourquoi pas "capturer" la vision intuitive derrière l'opposition "Univers fini" vs. "Univers infini".
Pour donner maintenant un exemple de piste, un critère pourrait être que toute sous-variété de genre espace soit "finie" au sens d'une borne supérieure à la longueur minimale d'un chemin entre deux points de la sous-variété (borne pouvant dépendre de la sous-variété). Je ne suis même pas sûr que la classe que je mentionne dans les paragraphes précédents respecte cette propriété.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Bonjour,
un univers à courbure sphérique
qui serait en expansion au cours du temps (rayon de la sphère) et dont les point opposés s'éloignerait à c
ne forme t'il pas un univers fini comme tu le recherche?
Zefram
je peux croire que je sais, mais si je sais que je ne sais pas, je ne peux pas croire
Heu, non je ne parle pas de structure locale, je parle bien d'une métrique globale.
Salut
La clé du problème est de définir ce qu'on entend par univers infini en relativité générale et de donner un critère "physique" qui caractérise cette définition.
Souvent on se réfère au caractère fini ou infini de la "section spatiale" ce qui n'a pas de sens physique puisque celle ci est arbitraire (dépend du feuilletage qu'on fait).
Une bonne définition se doit d'être covariante.
En général cette notion d'infini se réfère au (hyper)volume. Mais parler d'un hyper-volume spatio-temporel de la variété qui serait fini ou infini n'est pas simple compte tenu de la structure "hyperbolique" de l'espace-temps et de la nature de l'intégrale donnant l'hypervolume spatio-temporel 4D dont l'élément infinitésimal d4x est une 4-forme différentielle fait que cet hypervolume n'est pas simple à interpréter.
Mais, par exemple on pourrait dire qu'un univers est infini s'il existe des lignes d'univers (4D) géodésiques ou non, de type temps, telles qu'elles comportent des points qui depuis un point quelconque arbitraire ne peuvent pas être atteintes en un temps propre fini.
Cordialement
Ok, à prendre avec précaution alors, merci pour l'éffort.
Cordialement,
On est bien dans ce que je cherche à discuter. Pour les sections spatiales, on peut obtenir un critère covariant si on prend toutes les sections spatiales possibles, mais cela rend l'usage pratique du critère difficile, il me semble.
C'est exactement le genre de piste au sujet desquelles j'aimerais en savoir plus. À la fois formel et se rapprochant de quelque chose de "pratique", de parlant sans trop de maths.Mais, par exemple on pourrait dire qu'un univers est infini s'il existe des lignes d'univers (4D) géodésiques ou non, de type temps, telles qu'elles comportent des points qui depuis un point quelconque arbitraire ne peuvent pas être atteintes en un temps propre fini.
J'ai un problème avec le mot "point". Si je le comprends comme événement, cela donne (pour fini) :
Pour toute ligne L de genre temps, pour tout événement A sur cette ligne, et pour tout événement B de l'espace-temps, il existe un chemin de genre temps joignant B à au moins un événement de L postérieur à A.
Est-ce une bonne traduction ?
[Si oui, le critère pose un problème, assez général d'ailleurs, dans le cas d'un espace-temps E "incomplet", c'est à dire possédant des lignes de genre temps de longueur (durée) finie, et qui seraient "prolongeables" en prenant un espace-temps plus grand, tel que E en soit un sous-espace-temps. Par exemple, l'espace-temps de Schwarzschild (au sens limité à r>r_s, pour que la métrique respecte les critères) n'est pas complet à ce sens. Ne le sont pas plus, en général, des ouverts quelconques connexes d'un espace-temps E, alors qu'ils respectent tous les critères dès lors que l'espace-temps E les respecte. Cette même difficulté apparaît avec "section spatiale compacte", indépendamment de l'aspect non covariant du critère.]
Question : est-ce que ce critère est respecté dans le cas d'un espace-temps FLRW hypersphérique et a(t) très rapidement croissante ?
Dernière modification par Amanuensis ; 21/02/2013 à 13h30.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Salut
1-Oui- Point sur la géodésique défini par une valeur du paramètre affin" temps propre" infinie sur la géodésique (à partir d'une origine affine arbitraire).
2- Une géodésique peut être incomplète (cf Hawking-Penrose) (exemple géodésiques radiales dans Schwarzschild), mais être infinie (concept de demi-droite).
3- En expansion accélérée oui: un photon émis à t = 0+ ne nous atteindra jamais (à plus forte raison une particule réelle ne nous atteindrait pas en un temps propre fini).
Mais se méfier des représentation type "univers en expansion", résultant d'un certain feuilletage de la variété (même sympathique) qui ne sont pas covariantes, (on peut en faire bien d'autres qui conduisent à des représentations différentes).
En raisonnant avec des lignes d'univers nulles ou de type temps (4D) on est sûr d'être covariant.
Cordialement
Je ne rentrerai pas dans ce type de polémique puérile, du genre "lui ou elle a compris, pas toi. Et toc!".(qui découle semble-t-il d'une certaine rancoeur. Peut-être à cause d'une arrogance mal maitrisée, comme l'a aussi noté didier)
Au fait, MissPacMan n'est pas que "elle", elle est aussi "lui" parfois.
Si l'image est souvent utilisée pour représenter le "fini sans bord" j'ai l'impression qu'on se limite souvent à caractériser l'espace (2D ici).
Malheureusement je craint qu'on ne s’intéresse jamais à l'espace-temps (aux caractéristiques Minkowskiennes) que cette représentation définit.
S’intéresser à l'espace seul c'est dangereux... Ce qui est important est de savoir ce que voit l'observateur dans un tel espace temps !
Une remarque en passant... quand on parle d'espace temps 4D "infini" il faut voir que seules les 3 dimensions d'espace sont infinies,
car la 4ème, le temps, possède une origine, elle n’est donc pas "permutable" avec les dimensions d'espace comme chez Minkowski (hypercube).
Le vecteur 4D, de norme c, d'un objet comobile dans un tel espace temps (hypersphère) a toujours pour origine la singularité (=centre de la sphère 2D+t)
Mais bon... la dernière fois que j'ai essayé de vous vendre ma tambouille je me suis à moitié fait insulter, pour ça que j'ai abandonné le sujet,
et aussi parce que je vous ai déjà fait part de toutes mes conclusions
Dernière modification par Mailou75 ; 21/02/2013 à 15h39.
Trollus vulgaris
Exactement. C'est ce qu'on appelle la relativité générale.
Z'êtes pas à la page. Faut lire un peu plus les rubriques people sur FS.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Doit y avoir un problème de compréhension. Il me semble que la justification est pour la réponse "non", à savoir un espace-temps FLRW hypersphérique n'est pas "fini" au sens du critère indiqué.
D'où problème puisqu'il me semble que dans les usages qu'on voit un peu partout un espace-temps hypersphérique est considéré comme présentant "un Univers fini". (Je précise que ce n'est pas un problème pour moi, ni même un problème en soi ; ma question de base est juste de voir si, et comment, on peut mathématiser l'idée de "Univers fini" de manière qui colle à peu près aux usages qu'on peut en constater. Perso, l'idée que "Univers fini" se limite" à droite temporelle x compact spatial (1) --et sous-variétés desdits-- est suffisante, même si très limitée dans son application.)
(1) Qui est un critère covariant, car global ; c'est "il existe au moins une décomposition de ce genre".
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Le lien physique - mathématique pour construite une interprétation "univers fini/infini" reposerait en fait sur quoi, de telle sorte que "l'on puisse mathématiser l'idée de "Univers fini" de manière qui colle à peu près aux usages qu'on peut en constater" ?
Autrement dit le discours purement mathématique comment se rattache t-il au "sens physique" pour construire une interprétation, qui colle avec la construction de nos "observations", de l'énoncé "univers fini/infini" ?
Patrick
Salut
j'ai donné un critère d'univers infini qui est physique (Il existe des points dans son "futur"(1) qu'on ne peut pas atteindre en un temps fini). C'est lié à la notion d'Horizon qui lui même est variable dans les modèles dynamiques du modèle FLRW.
Les critères géométriques sont sujet à interprétation.
Ainsi, un cas simple d'univers dont les sections spatiales (dans la représentation par la métrique RW) sont des hypersphères est l'univers de De Sitter (vide avec constante cosmologique).
Si on considère la courbure 4D (le scalaire de Ricci), il est constant (un rayon de courbure 4D constant) . Peut on en déduire que cet univers est fini ou infini (les sections spatiales varient de l'infini à une valeur finie minimum).
Si on imbrique une telle géométrie dans un univers à 5 dimensions elle est définie par : -u² + x²+y²+z²+w² = constante.
Je suppose que le critère géométrique serait la valeur de l'hypersurface 4D (dans cet espace 5D) de cette géométrie 4D ? Est-elle finie ou infinie?
Mais comment le relier au caractère physique énoncé en premier.
(1) dans le "cône de lumière global" du futur.
Cordialement
Oui, c'est une reformulation de la problématique que je me pose.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Pour ce cas là, je pars de l'idée qu'il est classé "à Univers fini". Pas par un choix de ma part, simplement parce que c'est ce que je comprends de l'usage "Univers fini" dans les discussions "usuelles".
Je présume qu'on parle alors de "l'hyper-aire" de l'hypersurface au sens de la métrique euclidienne, à savoir l'intégrale de la 4-forme w sur la variété 4D telle que *w soit nulle sur la droite orthogonale au sens euclidien à la variété 4D au point considéré ? [En espérant ne pas me gourer sur le vocabulaire et la notation, MissPacMan?]Si on imbrique une telle géométrie dans un univers à 5 dimensions elle est définie par : -u² + x²+y²+z²+w² = constante.
Je suppose que le critère géométrique serait la valeur de l'hypersurface 4D (dans cet espace 5D) de cette géométrie 4D ?
Elle est infinie, non ? Cela semble assez clair, puisque la coupe 1D donnée par y=z=w=0 est de longueur infinie (c'est -u²+x²=constante, une hyperbole). [Pour une démonstration plus propre, considérer le sous-ensemble de la variété 4D défini par y²+z²+w² < ε², son hyperaire va être au premier ordre la longueur de l'hyperbole fois le volume 4/3 pi ε^3]Est-elle finie ou infinie?
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
J'ai le sentiment que la situation est plus complexe que ca en fait.
Dans le cadre espace fini, Amanuensis a proprosé d'inclure les espaces du type XxR, muni d'une métrique scindé. Mais il pourrait y avoir des cas encore plus retord, par exemple sur le tore de dimension 2, on peut prendre une feuilletage irrationnel et prendre une métrique de telle sorte à ce que les géodésiques de genre temps soient exactement les feuilles du feuilletage. On a un espace temps globalement compact, mais toutes les trajectoires (de chute libre) sont définies sur R et ne s'autointersectent pas.
Il me semble que ce phénomène peut se produire en dimension supérieure (je chercherai un exemple si j'ai le temps et vu que le fibré tangent sur un tore est trivial, on peut faire à peu pres ce qu'on veut, donc ca doit pas etre difficile).
Je ne sais pas quel genre de contrainte impose de ne pas avoir de plongement de S1 qui soit de genre temps.
D'autre part, il faut pas oublier qu'en realité la métrique sur l'espace temps est censée etre singulière, et que ca amène pas mal de gens à considerer que l'espace temps n'est pas compact (mais compactfiable).
Dans ce cas la question est encore plus délicate.
Déjà arriver à une définition claire de ce qu'est l'espace ne me parait pas trivial.
Dernière modification par invite76543456789 ; 23/02/2013 à 13h49.
Cela ne semble effectivement pas trivial. Maintenant "les objets ne sont pas ceci ou cela, ils sont vus comme..." c'est à dire le point de vue cohérent que l'on s'en construit.
Dans le cadre mathématique au niveau le plus fondamental Etre fini ou infini n'est-ce pas une caractéristique d'un ensemble servent à le définir ?
PatrickLe fini est plus compliqué que l'infini !
Je vois souvent abordé ici (et ailleurs) le thème de l'infini en mathématiques (le seul domaine où je peux m'exprimer), généralement cette notion est mal connue, mal définie et mal comprise ; des trois maux qui pèsent sur l'infini découle l'impression que l'infini est plus compliqué que le fini.
En tant que logicien (et je ne parlerais ici que de logique classique du premier ordre) et plus spécifiquement modèle-théoriste, c'est exactement le contraire, mais avant d'expliquer pourquoi je vais essayer de résoudre le problème de la définition.
D'abord, je ne parlerai pas ici de l'infini potentiel tel qu'on peut le rencontrer (deux fois) dans l'expressions.
Définition 1 : un ensemble est fini si et seulement si il est équipotent à un segment initial propre de
Définition 2 (Dedekind) : un ensemble est fini si et seulement si il n'est équipotent à aucune de ses parties propres.
Définition 3 (Tarski) : Un ensemble est fini si et seulement si toute famille non vide de ses parties admet un élément minimal pour l'inclusion.
Ces trois définitions donnant des conditions nécessaires et suffisantes, elles permettent donc de définir le non-fini, c'est à dire l'infini.
La définition 1 a le défaut de nécessiter la définition de
La définition 2 a le défaut de ne correspondre à ce que nous dicte l'intuition qu'avec l'axiome du choix.
Pourquoi affirmé-je que l'infini est plus simple que le fini ?
Tout simplement parce qu'il est très facile d'écrire les axiomes imposant à une théorie de n'avoir que des modèles infinis (si elle a des modèles infinis), il est impossible d'imposer à une théorie de n'avoir que des modèles finis (même si elle en a) !
Bien sur, mais savoir ce qu'est réellement l'espace, je m'en fous un peu, par contre j'aimerai bien avoir une objet mathématique et physique que j'appelle "espace".
Si, mais je ne pense pas que quiconque envisage serieusement que l'espace (temps) soit un nombre fini de points, pour diverses raisons variées (encore que, avec des mathématiques plus riches, on peut donner des structures géométriques non triviales à des collections finies de points, mais je ne pense aps que ce genre de piste soit serieusement envisagées).Dans le cadre mathématique au niveau le plus fondamental Etre fini ou infini n'est-ce pas une caractéristique d'un ensemble servent à le définir ?
