Rs = Horizon des evènements pour qui ?

[Zefram Cochrane]

Désolé
Ce n'est pas r' c'est l
Zefram
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[Mailou75]

Salut,

Ensuite je voudrais que Mailou trace la tangente en un point de coordonnée (r , r' ) avec comme vecteur unitaire

la longueur de la règle de l'observateur local.

Traduction ?

Déja j'essaye de décripter la formule de Vincent, je suis obligé de fixer r1 ou r2 pour faire une courbe, ce qui la rendrait extrêmement dépendante de l'observateur... en plus pas moyen de prendre Rs comme origine puisque y tend vers l'infini, et surtout ça donne une courbe en fonction de r2 (si on fixe r1~Rs) mais pas du tout une courbe sur laquelle on doit pouvoir mesurer , à savoir la figure 9.2

Donc là je suis perplexe, alors perso "je voudrais" déjà savoir comment faire la première avant de tracer des tangentes !
(J'imagine que c'est celles de ton schéma 3D)

La fonction recherchée est bien :

On dirait celle de Vincent pour r1=0 mais pas tout à fait, c'est quoi r et r' ?... ça voudrait dire quoi 0 dans ton intégrale, un des observateur est au centre du trou noir ?

Merci, à suivre...
Mailou

[Zefram Cochrane]

Salut Mailou,
il faut oublier r' et le remplacer par
où et sont des paramètres dont le sens physique m'échappe.

Je ne sais pas comment du fait pour trouver que pour car même si cela est cohérent d'un point de vue physique, car tend vers l'oo.
Moi je trouve avec la formule de Vaincent :

La logique de ce résultat m'échappe aussi parce que tend vers l'oo.

Un fois ces interrogations levées,
correspond à la somme des segments entre et de longueur
c'est à dire la longueur d'une corde tendue entre et du point de vue de l'observateur à l'oo dans le sens où la corde une fois tendue est amenée à l'observateur à l'oo qui la mesure avec sa règle de longueur dr.

Pour déterminer et , l'observateur prend une photo grandeur nature de la scene et mesure la distance séparant et du centre de la sphère de masse M.

effectivement, sur mon dessin 3D ce sont les tangentes qui sont tracées en orange le segment rouge correspondant à la longueur d'une règle dr'; a savoir que si pour l'observateur local, sa règle mesure un mètre, pour l'observateur à l'oo, la règle de l'observateur local ne mesurera pas un mètre mais en la comparant avec la sienne, il trouvera que localement une règle mesure



Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

la longueur d'une corde tendue entre et

Plutôt de quelque chose résistant à la compression!

à l'observateur à l'oo qui la mesure avec sa règle de longueur dr.

Pas besoin, suffit d'utiliser un étalon de longueur universel le long de l'objet.

Pour déterminer et , l'observateur prend une photo grandeur nature de la scene et mesure la distance séparant et du centre de la sphère de masse M.

Ça c'est plus dur! Une photo fait intervenir le temps de propagation de rayons lumineux...

[Amanuensis]

Ceci dit, la question intéressante est celle de la synchronisation.

Si on suppose un objet dont la trajectoire des extrémités est t -> (t, r1, 0, 0) et (t, r2, 0, 0) respectivement, en coordonnées de Schw., on impose une notion de synchronisation particulière qui ne correspond à rien de particulier pour l'objet même.

Pourquoi sa longueur serait-elle la longueur du chemin x -> (t, x, 0, 0) à x parcourant r1 à r2, plutôt que (au hasard) celle du chemin du chemin x -> (t+kx, x, 0, 0) à x parcourant r1 à r2? La stationnarité de la métrique implique qu'aussi bien l'une que l'autre est indépendante de t.

Bref, je me permets de douter de la signification physique comme celle de la "longueur" d'un objet.

Cela ne change pas la définition claire comme la longueur du chemin (de genre espace) x -> (t, x, 0, 0) à x parcourant r1 à r2 en coord. de Schw.

[Mailou75]

C'est quoi une métrique stationnaire ?

[Zefram Cochrane]

Plutôt de quelque chose résistant à la compression!

Bonjour,
Je ne vois pas ce que tu veux dire, pourrais tu développer?

Pas besoin, suffit d'utiliser un étalon de longueur universel le long de l'objet.

ici itou, quelle différence entre un étalon de longueur universel et une longueur absolue (une notion bannie en relativité non? ) ?

Ça c'est plus dur! Une photo fait intervenir le temps de propagation de rayons lumineux...

non, tu peux imaginer que perpendiculairement, à la ligne formée par le centre de la sphère, R1 et R2, en ces point un faisceau laser soit émis perpendiculairement, et que les faisceaux atteignentperpendiculairement toujours un écran géant situé au niveau de l'observateur à l'oo ( à des milliards de milliards de kilomètres si le terme oo te dérange, vu que l'univers de Schwarzschild est oo ).

Cordialement,
Zefram

[Zefram Cochrane]

Mais il faut prendre en compte la déviation de la trajectoire des faisceaux

[Amanuensis]

C'est quoi une métrique stationnaire ?

Une métrique dont tous les termes, dans un certain système de coordonnées composé d'une composante temporelle et de trois composantes spatiales, sont indépendants de la composante temporelle.

[Amanuensis]

Je ne vois pas ce que tu veux dire, pourrais tu développer?

Si on met sur la surface de la Terre un objet vertical qu'on veut ensuite déplacer en gardant ses dimensions, on ne prend pas un élastique! Et plus il est haut, plus il est en compression, la base supportant le poids de ce qu'il y a au-dessus.

Pour garder un objet à une coordonnée r1 fixe dans un SC de Schw., il faut l'accélérer vers le haut...

ici itou, quelle différence entre un étalon de longueur universel et une longueur absolue (une notion bannie en relativité non? ) ?

Non. La longueur propre d'un chemin de genre spatial est "absolue" dans l'espace-temps de Minkowski, au sens où ce n'est pas une longueur dépendant
d'un choix de référentiel ou de système de coordonnées.

L'étalon du mètre défini dans le système SI actuel est universel ; comme il est défini par une expérience locale, il ne dépend pas d'un référentiel ou d'un système de coordonnées.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

on peut régler ce problème comme suit, on prend un pylonne d'une certaine hauteur à la surface d'une sphère de masse m, le diamètre de la sphère est grand devant Rs de manière à ce que l'expérience se déroule dans un champ faible et surtout de façon à ce que l'on puisse considérer une règle de 1 mètre comme étant égale à dr'.

à l'oo, une série de règles de couleur différentes sont fabriquées elles sont étalonnées à un mètre ( règle de l'observateur à l'oo).

Elles sont ensuite collées bout à bout le long du pylonne.

il a y a n règles de collées ( n n'étant pas forcément entier)

Oo ( lo'bservateur à l'oo) constatera que s'il voit n règles disposées le long du pylonne, la règle de O2 (situé au sommet du pylonne) est plus grande que la sienne et que la règle de O1 ( situé à la base du pylonne) est plus grande que celle de O2.


Tout le monde voit donc N règles, mais de tailles différentes. Le problème est donc de touver un protocole pour comparer la longueur des règles à distance ( l'effet Shapiro me parait être un bon candidat)

Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

Pas besoin de fabriquer les étalons à un endroit puis les déplacer, suffit de mettre une expérience étalon à chaque endroit. (Une expérience étalon pour le SI est une horloge au césium + ce qu'il faut pour concrétiser la longueur d'onde.) Quand on parle de métrique, on parle de cela: des étalons de longueur et de durée locaux.

Déplacer un objet impose un "postulat" supplémentaire, celui que le déplacement ne le modifie pas.

C'est de l'ordre du détail, on parle bien dans les deux cas du mètre tel que défini localement à chaque endroit.

Quand à la longueur apparente "pour un observateur", c'est sujet à convention. On n'a pas décollé d'un pouce de la question de base: définir correctement les référentiels pour les "observateurs" dont il est question.

[Zefram Cochrane]

On peut reprendre les conditions d'expériences dans mon message 101.

on peut mettre à chaque extrémité des règles un stroboscope qui émet 299 792 458 pulsions chaque seconde.

Vu les conditions d'expérience pour une règle de 1 mètre orientée radialement, on peut calbrer l'expérience de façon à ce que cette désynchronisation soit d'une milliseconde pour un mille ans, pour l'observateur à la surface de la sphère. On peut aussi calibrer la durée de l'expérience sur la dasynchronisation des horloges.

Pour pouvoir effectuer des mesures précis chaque obserateur dispose d'une horloge atomique.

Grâce à l'effet doppler relativiste (décallage d'Einstein)

l'observateur à l'oo peut déterminer la distance r qui sépare chaque extrémité de règle du pylonne du centre de la sphère.

Ensuite par le calcul il peut déterminer la longueur d'une règle locale en appliquant la formule


si nous reprenons nos observateur
soit O l'observateur à l'oo
soit O' l'observateur à la surface de la sphère
soit O" l'observateur au sommet du pylonne.

On sait que pour O'
r' est la coordonnée r de O' du point de vue de l'observateur O à l'oo.


pour l'observateur O"
r'' est la coordonnée r de O'' du point de vue de l'observateur O à l'oo.


Normalement on peut faire les calculs suivants :





Je ne sais pas exactement ce que tu recherches.
Dans le livre l'évolution des idées en physique (1936) L. INFELD et A.Einstein en page 221, il y est écrit :
Dans un SC arbitraire,nous ne pouvons pas déterminer le point et l'instant où un événement se produit au moyen de barres rigides et d'horloges rythmique synchronisées, comme dans le SC d'inertie de la relativité restreinte. Nous pouvons toujours ordonner les événements au moyen de nos règles non euclydiennes et de nos horloges dont le ryrhme à changé. Mais les mesures réelles, qui exigent des règles rigide et des horloges parfaitement rythmique et synchronisées, ne peuvent être effectuées que dans les SC d'inertie locaux.

Pour cela, toute la théorie de la relativité restreinte est valable, mais notre "bon " SC est seulement local, son caractère d'inertie étant limité dans l'espace et le temps.

Même dans notre SC arbitraire, nous pouvons prévoir les résultats des mesures effectuées dans le SC d'inertielocal.Mais pour cela, nous devons connaître le caractère géométrique de notre continuum espace-temps.

A suivre...

Cordialement,
Zefram

[invite60be3959]

Salut,

La logique de ce résultat m'échappe aussi parce que tend vers l'oo.

C'est tout simplement dû au fait que existe. Autrement dit, ce n'est pas parce que l'intégrant diverge en certaines valeurs, que l'intégrale, elle aussi diverge.


Quant à la signification de la formule, il n'y a pas à chercher très loin. On peut l'illustrer grâce à la figure 9.2, en remplaçant ds par une portion plus longue de longueur , et où son projeté sur l'espace-plat (flat-space) possède les extrémités r1 et r2(au lieu de dr).

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
je trouvais la valeur pour un peu particulière
mais si a un sens physique , ou n'en a peu être pas.

Mais si la projection de sur le SC d'inertie de l'observateur à l'oo donne
Son projeté sur le SC d'inertie local à r, l'espace-plat tangent à la courbe (vue de l'observateur à l'oo ) devrait donner

Ma vision euclidienne RR semble être en phase avec celle d'Albert Einstein ( voir la citation plus haut) mais il se peut aussi qu'elle ne corresponde pas à une vision plus moderne de la RG.

Cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Re,

J'ai essayé de faire le point sur cette affaire

Selon ce que j'ai compris de Susskind (http://www.youtube.com/watch?v=BdYtfYkdGDk vers 20:00), la longueur propre du chemin parcouru par un photon entre Rs et r mesure



soit :

(1)

(on m'a aidé http://www.wolframalpha.com/input/?i...%29%29%29%29++)

et donc entre deux points R₁ et R₂ de coordonnées r₁ et r₂ (r₂>r₁) je peux faire la soustraction L=l₂-l₁ soit



et avec la propriété du logarithme népérien on trouve que



qui est la même formule que celle de Vaincent, au signe près...* citée en référence !
*(ce qui est étrange c'est que si je calcule l1 et l2 puis fait la soustraction pour trouver L je tombe sur le résultat de la formule de Vaincent... je dois me tromper dans la dernière formule, peu importe)

Mais par contre au niveau compréhension, y'a pas mal de trucs qui me chiffonnent

1- Depuis quand une intégrale mesure-t-elle la longueur de la courbe comme dessiné sur fig9.2 ? Pour moi une intégrale mesure la surface entre l'axe des x et la courbe entre deux valeurs r₁ et r₂, c'est ce qu'on m'a appris en tout cas...

2- De toute façon ça ne marche pas quand on fait les calculs nulériques... d'autant que, comme je le faisais remarquer plus haut l'axe des x a une unité, le mètre par exemple alors que l'axe des y n'en a pas, z+1 est un facteur, donc la déformation entre courbe et projection va dépendre directement de l'échelle donnée à z+1, donc c'est nawak...

3-Zef, à priori les tangentes que tu cherches on pour fonction la dérivée au point r si je ne me trompe pas soit

(cf http://www.wolframalpha.com/input/?i...28R%2Fx%29%29+)

4-Donc au mieux je peux tracer ne fonction qui donne en fonction , la (1), mais encore une fois je ne mesurerait pas sur la courbe puisque se sera sur laxe des y...

Bref, je ne sais pas où vous m'emmenez, mais j'ai l'impression qu'on est très loin de la question initiale !

A suivre...
Mailou

[Mailou75]

En fait ça doit être

comme vous le disiez... (la courbe qui tend vers oo en Rs pas celle qui tend vers 0) et donc

(http://www.wolframalpha.com/input/?i...%29%29%29%29++)
ce qui résout la question du signe, mais n'enlève rien aux questions 1,2,3,4...

[Mailou75]

3-Zef, à priori les tangentes que tu cherches on pour fonction la dérivée au point r si je ne me trompe pas soit
(cf http://www.wolframalpha.com/input/?i...28R%2Fx%29%29+)

Finalement je doute que ceci soit une droite...

[invite60be3959]

Salut,
je n'ai pas beaucoup de temps en ce moment, donc je vais juste répondre à la question 1 :

1- Depuis quand une intégrale mesure-t-elle la longueur de la courbe comme dessiné sur fig9.2 ? Pour moi une intégrale mesure la surface entre l'axe des x et la courbe entre deux valeurs r₁ et r₂, c'est ce qu'on m'a appris en tout cas...

L'intégrale ne mesure pas une surface, mais une aire ! On parle de l'aire d'une surface ou de l'aire d'un domaine. C'est précisément cette dernière aire qui nous concerne pour l'intégrale. L'aire du domaine délimité par la courbe d'une fonction, l'axe des abscisses, et les droites d'équations x= a et x=b est par définition égale à . La dimension de l'intégrale est la même que le produit f(x)dx, or si f(x) est sans dimension(et dx une longueur), alors l'intégrale mesure une longueur. Ce qui est notre cas ici.

[Amanuensis]

On part d'une question sur la solution de Schwarzschild à un système de 10 équations différentielles couplées non linéaires
sur une variété pseudo-riemannienne, et on en arrive à avoir à expliquer qu'une intégrale a d'autres utilités que l'évaluation d'une aire sous une courbe? C'est la charrue avant les bœufs sur une échelle assez incroyable.

Quand va-t-on arrêter cette farce sur un forum qui se veut scientifique?

On va encore crier à l'élitisme, mais ce n'a pas de sens d'accepter de répondre sur un forum à des questions ayant 10 ans d'études intensives de différence avec les connaissances de base du questionneur. Ce n'est plus une opération coronarienne, c'est une transplantation cardiaque en pensant que les artères véhiculent de l'air.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

Le fait est que la question porte sur la mesure de Rs par différents observateurs qu'on restreint pour l"heure stationnaires situés en différents points de la radiale.

Tracer la courbe paramétrée par :



et pour r = R ( R étant fixé ), la tengeante dont la pente est définie par


devrait nous permettre de parvenir à répondre à cette question et démontrer qu'effectivement les valeurs Rs et R sont indépendants de l'endroit fixe sur la radiale où la mesure est effectuée.


Maintenant une fois qu'on aura intégré ça, on pourra tenter de généraliser si le coeur t'en dit.

Cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Re et merci,

L'intégrale ne mesure pas une surface, mais une aire ! On parle de l'aire d'une surface ou de l'aire d'un domaine. C'est précisément cette dernière aire qui nous concerne pour l'intégrale. L'aire du domaine délimité par la courbe d'une fonction, l'axe des abscisses, et les droites d'équations x= a et x=b est par définition égale à . La dimension de l'intégrale est la même que le produit f(x)dx, or si f(x) est sans dimension(et dx une longueur), alors l'intégrale mesure une longueur. Ce qui est notre cas ici.

Ok si tu veux, l'aire de l'intégrale a pour unité des mètres
Il n’empêche que quand on trace la courbe 1/rac(1-Rs/r) le résultat donné par ta formule est bien l'aire entre x et la courbe, r1 et r2 (moyennant des unités particulières...)
mais ce n'est pas, comme représenté dans la fameuse figure 9.2, la longueur de la portion de courbe, ça ne peut pas être les deux à la fois !!!

.........

Tracer la courbe paramétrée par :

Oui, dès que j'ai le temps
Mais ta formule est fausse, je crois que c'est

et pour r = R ( R étant fixé ), la tangente dont la pente est définie par

t'as pas une y=f(x) ?... comme le rappelle Amanuensis mon niveau en maths est médiocre

[invite60be3959]

Ok si tu veux, l'aire de l'intégrale a pour unité des mètres

ça te parait peut-être bizarre, mais comme je l'ai précisé dans mon précédent message, "l'aire d'un domaine" n'a pas forcément la dimension d'une surface(m²). Si la "hauteur" de ce domaine est sans unité,(ce qui est le cas ici : est bien sans unité) alors l'intégrale représente bien une longueur. De façon générale, la longueur d'une courbe , est donné par où ds est l'élément de longueur infinitésimale le long de la courbe. L'intégrale est en fait juste une somme continue. La somme de tout les petits ds donne bien L. On appelle ce type d'intégrale, une intégrale curviligne.

Il n’empêche que quand on trace la courbe 1/rac(1-Rs/r) le résultat donné par ta formule est bien l'aire entre x et la courbe, r1 et r2 (moyennant des unités particulières...)
mais ce n'est pas, comme représenté dans la fameuse figure 9.2, la longueur de la portion de courbe, ça ne peut pas être les deux à la fois !!!

Selon ce que je viens d'expliquer, si, c'est bien les 2. L'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisse (ici r), et les droites d'équation r=r1 et r=r2 est précisément égale à la longueur de la courbe. Pour t'en convaincre tu peux le vérifier avec des courbes beaucoup plus simple, comme par exemple des droites horizontales. Soit le droite d'équation y=1 dans le plan 0xy. L'élément ds est égale ici à dx(// à l'axe des abscisses). Si on intègre entre a et b, cela donne :



Ce qui est bien la longueur de la droite entre a et b. La notation [] sert à y inclure la primitive(opération inverse de la dérivée, la dérivée de x est 1, donc la primitive de 1 est bien x. Ensuite on utilise : )

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

pour la tangente, dit comme cela peut être que ce sera mieux


et pour x = R ( R étant fixé ), la tengeante dont la pente est défini par




pour notre problème d'équation, il s'avère que la primitive de


peut se mettre sous la forme



K étant un nombre scalaire, K = 1 dans "ma" formule ( pour ne pas dire celle de Vaincent) et K = 2 dans la tienne.

Le hic est que

donne :



Les K se simplifiant, on arrive à retrouver notre dérivée.

Il faut donc trouver l'astuce pour déterminer la valeur de K , une condition au limite?

Cordialement,
Zefram

[invite60be3959]

Il faut donc trouver l'astuce pour déterminer la valeur de K , une condition au limite?

Tu t'égards là Zefram. La primitive fait effectivement intervenir une constante qu'il faut sortir du logarithme. Lors du calcul de l'intégrale elle disparait. Ensuite on pose r1=Rs et r2=r, d'où l'expression :

[Mailou75]

Si la "hauteur" de ce domaine est sans unité,(ce qui est le cas ici : est bien sans unité) alors l'intégrale représente bien une longueur.

Oui oui j'avais compris la démonstration, je ne remets pas ça en cause, même si c'est étrange...

Selon ce que je viens d'expliquer, si, c'est bien les 2.

Je veux bien te croire mais autant j'arrive à vérifier numériquement que la valeur de l'aire correspond à la formule donnée, autant quand je mesure "l'arc" on est dans les choux...
(J'ai vérifié moult fois, si le dessin est juste pour l'aire il l'est forcément pour la courbe, donc je ne vois pas où ça cloche...)

Pour t'en convaincre tu peux le vérifier avec des courbes beaucoup plus simple (...)

Pour m'en convaincre il suffirait que ça marche

[invite60be3959]

J'ai vérifié moult fois, si le dessin est juste pour l'aire il l'est forcément pour la courbe, donc je ne vois pas où ça cloche

Il faut que tu me montres alors exactement comment tu mesures la longueur d'un arc sur la courbe 9.2

[Zefram Cochrane]

Bonsoir

Je te remercie Vaincent pour la solution, je tacherai de me souvenir de la méthode si un problème du genre apparaîtrait ultérieurement


et la fonction est finalement


et pour r = R ( R étant fixé ), la tangente dont la pente est définie par


Pour aider Mailou.
Si tu traces la droite d'équation y = 2x.

Et tu prends deux points en abscisse, exemple 7 et 11
si tu relie par des segments les points de coorodonnée
(7 ; 0 ) - (7 ; 14 ) - ( 11 ; 22 ) - ( 11 ; 0 )

tu obtiens un tétragones dont l'aire est égale à :
(11 - 7 ) * 14 + (11 - 7 ) ( 22 - 14 )/2
(4 * 14 ) + (4* 8)/2
56 + 16 = 72 unités²

la primitive de 2x est x².

La longueur de la courbe entre les points ( 7 ; 49 ) et ( 11 ; 121 )

49........64.......81.... 100.....121
......15.......17......19..... ...21
...........2!........2!......2 !

donc si tu fais la somme de tous les éléments de surface (dx * dy ) tu retrouves tes 72 unités²

Cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Il faut que tu me montres alors exactement comment tu mesures la longueur d'un arc sur la courbe 9.2

Comme ça...
Si je trace la courbe qui donne l=f(r) en vert, alors je trouve l'intervalle L sur l'axe des y
Si je trace 1/z+1 en rouge alors l'aire A est l'intégrale entre r1 et r2
Et effectivement A=L= la formule que tu as donnée
Mais on voit bien que L ne vaut pas la longueur de "l'arc" entre R1 et R2 sur la courbe rouge (ou même la bleue) !!

.........

PS @Zef, j'avais compris l'explication de Vaincent je suis nul en maths mais quand même

[invite60be3959]

On part d'une question sur la solution de Schwarzschild à un système de 10 équations différentielles couplées non linéaires
sur une variété pseudo-riemannienne, et on en arrive à avoir à expliquer qu'une intégrale a d'autres utilités que l'évaluation d'une aire sous une courbe? C'est la charrue avant les bœufs sur une échelle assez incroyable.

Quand va-t-on arrêter cette farce sur un forum qui se veut scientifique?

On va encore crier à l'élitisme, mais ce n'a pas de sens d'accepter de répondre sur un forum à des questions ayant 10 ans d'études intensives de différence avec les connaissances de base du questionneur. Ce n'est plus une opération coronarienne, c'est une transplantation cardiaque en pensant que les artères véhiculent de l'air.

Bonjour,

Personnellement, je conçois tout à fait que l'on puisse comprendre certaines parties de la RR et de la RG sans que l'on ait compris des concepts, à priori, plus simples. En effet, je ne pense pas qu'il soit spécialement difficile d'imaginer que certaines personnes ont eu des formations erratiques, qui ne correspondent pas forcément à la formation académique parfaitement chronologique et progressive qu'est la sienne. Encore faut-il avoir le recul nécessaire pour y parvenir.