force gravitationnelles ou distorsion de l'espace-temps ?

[Amanuensis]

Je comprends ton argument, disons pour être plus rigoureux que cette égalité est vraie "en valeur", cela peut paraître problématique et cela a fait couler pas mal d'encre, mais les coordonnées n'ont aucun caractère physique, elles ne servent qu'à faire un repérage des points (4D) de l'espace-temps pour décrire des objets géométriques (courbes, vecteurs, tenseurs,...) en travaillant en géométrie analytique.

Le point n'a rien à voir avec le caractère physique, il est bêtement mathématique. Le genre d'un vecteur ou d'une forem indépendant du choix de coordonnée.

Le calcul du ds² n'impose pas qu'il doit y avoir partout une coordonnée de type temps et trois d'espace pour décrire le tenseur métrique.

Où aurais-je fait soupçonner que je pensais cela? Rien à voir avec le point soulevé.

En fait la singularité décrite par la solution de Schwarzschild est fictive.

Pour cela que je préfère celles de Kruskal pour comprendre ce qu'il se passe dans la partie intérieure...

Le changement de genre sur l'horizon est révélateur d'un certaine phénoménologie qui est physique

Ben non. Comme indiqué dans le message même, "les coordonnées n'ont aucun caractère physique", et donc leur genre ou chnagement de genre n'a aucun caractère physique!

: A l'extérieur il est possible d'être statique, à l'intérieur, non, mais cela se fait sans discontinuité, à condition d'utiliser des coordonnées qui n'imposent pas des contraintes qui n'ont pas lieu d'être.

Oui, celles de Kruskal! Pas de singularité de métrique, pas de changement de genre, pas de termes croisés. Voilà qui évite bien des tracas...

Ce qui est essentiel, car physique c'est que le vecteur tangent à la géodésique suivie par l'observateur, dans la base de vecteurs tangents localement aux coordonnées, soit de type temps, son temps propre (on lui associe un référentiel minkowskien dont le vecteur temps est le temps propre).

C'est une tautologie, car on appelle "observateur" uniquement une ligne de genre temps, géodésique ou non. C'est à dire dont le vecteur tangent est partout de genre temps. Et on se fiche de "la base de vecteurs tangents localement aux coordonnées", être de genre temps est indépendant de tout choix de coordonnées, ou de base ; et aussi indépendant du choix de paramétrage.
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[Amanuensis]

PS: Ce qui m'intéresserait de contempler et étudier est le changement de coordonnées entre Painlevé et Kruskal, en particulier sous l'horizon.

Déjà rien que la question du domaine commun n'est pas évidente.

(Par exemple, les points u=v non nuls en coordonnées de Kruskal n'ont pas de coordonnées de Schwarschild. Le domaine couvert par les coord. de Schw. est strictement plus petit que celui couvert par celles de KS. Qu'en est-il des coordonnées de Painlevé?

L'un des gros intérêt de KS est que son domaine est maximal ("maximally extended"). Est-ce le cas des coord. de Painlevé, i.e., même domaine?

[Amanuensis]

Déjà rien que la question du domaine commun n'est pas évidente.

Mon idée pour le moment est que les coordonnées de Kruskal couvrant les régions I, II, III et IV, les coordonnées de Schwarzschild couvrent (sans singularité, soit r>r_s) la région I, et les coordonnées de Painlevé couvrent les régions I et II.

À confirmer.

Et, contrairement à ce que j'ai proposé à un moment, le changement de signe du terme croisé dans la métrique de Painlevé ne correspond pas au passage extérieur/intérieur, mais permettrait d'obtenir la région IV (par exemple régions I et IV, ou interprétables comme régions III et IV), c'est à dire le "trou blanc".

[ordage]

Mon idée pour le moment est que les coordonnées de Kruskal couvrant les régions I, II, III et IV, les coordonnées de Schwarzschild couvrent (sans singularité, soit r>r_s) la région I, et les coordonnées de Painlevé couvrent les régions I et II.

À confirmer.

Et, contrairement à ce que j'ai proposé à un moment, le changement de signe du terme croisé dans la métrique de Painlevé ne correspond pas au passage extérieur/intérieur, mais permettrait d'obtenir la région IV (par exemple régions I et IV, ou interprétables comme régions III et IV), c'est à dire le "trou blanc".

Bonjour

Effectivement, la forme de Painlevé (en signature (-,+, +,+) avec +dr.dt correspond au régions I et II, avec -dr.dt aux régions III et IV (il me semble que c'est ce que je t'avais dit).

La relation entre les coordonnées T, R de Kruskal et t, r de Schwarzschild est la suivante (les coordonnées angulaires sont identiques sauf que, chez Kruskal, r n'est pas une coordonnée mais une fonction implicite définie, en posant c =1, par:

T² -R² = (1- r/2GM)exp(r/2GM)

Quant aux coordonnées elles mêmes elles sont définies par:

T = (r/2GM - 1)^(1/2) . exp(r/4GM) . sinh(t/4GM)
R =(r/2GM - 1)^(1/2) . exp(r/4GM) . coshh(t/4GM)

Je ne trouve pas leur interprétation physique très évidente.

Bien que Painlevé ait montré qu'on pouvait établir directement ces formes d'une même solution générique par choix de fonctions, la relation entre la forme de Schwarzschild et celle de Painlevé est beaucoup plus simple et naturelle, voir par exemple:

http://cds.cern.ch/record/423974/files/0001069.pdf

L'interprétation de ces coordonnées est la suivante:
r coordonnée radiale en symétrie sphérique pour les deux formes, c'est une pure coordonnée sans signification physique.
t coordonnée temps de la forme de Schwarzschild: Temps propre d'un observateur statique à l'infini.
T coordonnée temps de la forme de Painlevé: Temps propre d'un observateur en chute libre radiale sans boost.

Cordialement

[Amanuensis]

L'interprétation de ces coordonnées est la suivante:
r coordonnée radiale en symétrie sphérique pour les deux formes, c'est une pure coordonnée sans signification physique.

1/2pi la circonférence de la sphère de coordonnée r donné, et t quelconque.

t coordonnée temps de la forme de Schwarzschild: Temps propre d'un observateur statique à l'infini.

C'est assez bizarre (pour moi) de le présenter ainsi. Il n'y a pas de tels observateurs. C'est une sorte de "raccourci" pour deux propriétés indépendantes.

Pour moi c'est plutôt que pour un ouvert r>R, l'espace-temps de Schw. est approchable par l'espace-temps de Minkowski, et ce d'autant mieux que R est plus grand.

(Et pour un système de coordonnées usuels de l'espace-temps de Minkowski, les lignes d'immobilité partitionnent l'espace-temps et sont synchronisables entre elles, ce qui permet de "confondre" la coordonnée temporelle avec leur temps propres.)

T coordonnée temps de la forme de Painlevé: Temps propre d'un observateur en chute libre radiale sans boost.

J'ai un petit problème avec une telle présentation. Un temps propre est propre à une ligne d'Univers. Il n'est licite (selon moi) de considérer une coordonnée comme un "temps propre" uniquement si on a un ensemble d'observateurs partitionnant l'espace-temps et synchronisables entre eux. Est-ce bien le cas ici? J'aimerais bien le vérifier.

[ordage]

1- 1/2pi la circonférence de la sphère de coordonnée r donné, et t quelconque.


2-C'est assez bizarre (pour moi) de le présenter ainsi. Il n'y a pas de tels observateurs. C'est une sorte de "raccourci" pour deux propriétés indépendantes.

3- Pour moi c'est plutôt que pour un ouvert r>R, l'espace-temps de Schw. est approchable par l'espace-temps de Minkowski, et ce d'autant mieux que R est plus grand.

4-J'ai un petit problème avec une telle présentation. Un temps propre est propre à une ligne d'Univers. Il n'est licite (selon moi) de considérer une coordonnée comme un "temps propre" uniquement si on a un ensemble d'observateurs partitionnant l'espace-temps et synchronisables entre eux. Est-ce bien le cas ici? J'aimerais bien le vérifier.

Salut

1- Si c'est parfaitement défini géométriquement dans la forme de Schwarzschild, cette courbe (la circonférence) est une ligne de type espace (à coordonnée t = constante), non mesurable directement dans un tel espace-temps par un observateur physique. Ce n'est pas parce qu'une grandeur est parfaitement défie géométriquement qu'elle est physique .
Le caractère non physique des coordonnées a fait l'objet de débats interminables et a bien perturbé Einstein dans l'élaboration de sa théorie. Dans une lettre du 26/12/1915 à Ehrenfest à propos d'un argument qu'on lui opposait, il déclare:
" ...L'apparent pouvoir contraignant de cet argument disparait dès lors qu'on considère que 1) Un système de coordonnées ne signifie rien de réel, ......"
Le but des coordonnées est juste de repérer des points 4D et de permettre des calculs de grandeurs physiques.

2- Cet espace-temps fait partie des espace-temps asymptotiquement plats. Tout le monde comprend ce qu'on entend par observateur à l'infini ....
3- Effectivement, comme j'ai eu l'occasion de le préciser cette égalité vaut en valeur car un temps propre et une coordonnée temps, si elles ont un caractère "temporel" commun ne sont pas de même nature.

Suivant qu'on est plutôt mathématicien ou plutôt physicien, (ce qui est mon cas car je peuple cet univers d'observateurs pour faire des mesures, observations et expériences), ce que les mathématiques ne requièrent pas, on a des approches différentes. Elles ne s'opposent pas, elles sont plutôt complémentaires, mais cela peut poser des problèmes de communication au delà du problème philosophique souligné par Bachelard que je trouve intéressant:

"Peut-être alors devrait-on prendre comme une première leçon à méditer, comme un fait à expliquer, cette impureté métaphysique entrainée par le double sens de la preuve scientifique qui s’affirme dans l’expérience aussi bien que dans le raisonnement, à la fois dans un contact avec la réalité et dans une référence à la raison. Cette dualité résulte du fait que la philosophie des sciences est une philosophie qui s’applique , elle ne peut garder la pureté d’une philosophie spéculative (comme les mathématiques ?). La philosophie des sciences physiques consiste à dégager la réalisation du rationnel dans l’expérience physique."

Cordialement