Loi de composition des vitesses : PROBLEME

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

J’ai un problème avec la loi de composition des vitesses.

Je considère trois observateurs O , O’ et O’’

O est stationnaire.
À t =t’ = 0
O’ s’éloigne de O à W = 0,8c pendant Tw = 30s et, rebondit contre O’’ à U = 0,6c
et revient vers O pendant Tu = 40s.

La durée de l’aller et retour dure donc pour O*: To = Tw + Tu

O’ tracte un ruban qui se déploit selon O à W =0,8c. Sur toute la durée To du voyage O verra donc se déployer 56s.l du ruban de O’.
Quand O’ rebondit sur O’’, le ruban va s’infléchir. Mais, du fait que la vitesse après rebond de O’ n’est plus W mais U, le point d’infléxion va s’éloigner de O d’une vitesse I et au bout de To = 70s,
le point d’inflexion sera distant de 28s.l de O.

de Tw = 30s à To = 70s, O’’ positionné au niveau du point d’inflexion du ruban s’éloignera de lui à la vitesse de 0,1c selon O

Donc, par appliquation de la loi de composition des vitesses, O’ s’éloignera de O’’ à la vitesse I’ = 0,66s.


J’applique le même raisonnement pour O’ s’éloignant de O à U pendant Tu et revenant à W pendant Tw.

Je trouve qu’à partir de Tu = 40s jusqu’à To = 70s, O’’ se rapproche de O de 3s.l soit une vitesse relative J d’approche de 0,1c et la vitesse correspondant J’ = 0,76c.

Là est le problème car théoriquement I’ devrait être égale à J’*; pour O les bandes du ruban O’ devraient venir à lui à la même vitesse qu’elle en repartent.

J’ai fait le calcul de la vitesse K, j’ai trouvé la relation*:



cela me donne une équation du second degré et une vitesse K de 0,2c et une vitesse K’ = 0,71c dans les deux cas.

Cordialement,
Zefram
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[mach3]

très nébuleux tout ça... j'essaie de résumer pour éclaircir et voir si j'ai bien compris la situation. Je décris dans le référentiel de O avec pour évènement origine le départ de O' et en écrivant sous forme (position,temps) en seconde-lumière et seconde respectivement. O' rencontre O'' à (40,50) (son temps propre marque alors 30s depuis son départ), puis repart dans l'autre sens et s'arrête à (10,100) (son temps propre marque alors 70s depuis son départ).

Si ça c'est OK, maintenant le plus nébuleux, l'histoire du ruban. Déjà, gros problème, quelles sont les propriétés mécaniques de ce ruban? en RR on ne peut pas supposer d'objet infiniment rigides (entendre inétirable dans le cas du ruban) sous peine de paradoxes. Un objet infiniment rigide ne voit jamais sa forme changer sous l'action d'une accélération, il accélère en bloc, ce qui suppose une propagation du son à vitesse infinie dans l'objet : impossible. Au mieux la vitesse du son dans l'objet est c, et en réalité c'est bien inférieur. Le problème est donc très difficile à traiter car on ne sait pas exactement de quel manière le ruban va se comporter après une accélération infinie de O' quand la vitesse passe de 0 à 0,8c. Il va subir une contrainte et donc s'allonger, mais de combien?

Sachant cela, ne vous étonnez pas d'avoir un paradoxe si vous faites la supposition implicite que le ruban ne change pas de longueur propre...

Supposons que la vitesse du son dans le ruban soit de 0,5c (ce qui est énorme!!!), du point de vue de O, quand O' sera en (40,50), seules les 25 premières secondes-lumières du ruban (longueur au repos) seront "au courant" du fait que O' s'est mis en mouvement (l'information O' se met en mouvement aura atteint le point (-25,50). Si le ruban n'a pas cassé, alors à ce moment là ces 25 secondes-lumières de ruban se sont dilatées jusqu'à la taille de 65 secondes-lumières pour O (elles s'étendent de (-25,50) à (40,50). Si on avait disposé des marqueurs sur le ruban au repos tous les secondes-lumières, O n'en aurait vu passé vraisemblablement qu'une quinzaine (15/25~40/65, j'ai fait l'hypothèse que la déformation est homogène, ce qui est loin d'être fondé...).

Ce qui se passe ensuite est très difficile à décrire. Que se passe-t-il quand O' fait brusquement demi-tour? la partie du ruban qui le suivait ne va apprendre que progressivement le demi-tour, elle a de l'inertie mais elle est peut-être aussi sous contrainte élastique. Très dur de prédire ce qui va arriver...

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

Bien entendu, nous sommes dans un cadre théorique car dans la réalité, un rebond parfait n’existe pas.

Dans le cas où la vitesse au retour est égale à la vitesse à l’aller, lorsque O’ fait demi-tour, en
X = 24s.l de O, le ruban qu’il tracte subit une torsion mais ne subit pas de tension longitudinale ( on est encore ici dans un cadre théorique) parce qu’au niveau du point de torsion ( je vais employer ce terme plutôt qu’inflexion) la vitesse des bandes du ruban de O’ en approche du point de torsion ( matérialisé par O’’ qui s’y trouve) est égale à celle des bandes du ruban de O’ qui s’en éloignent.

Nous pourrions considérer également que la bande est constituée de grains de sable indépendants les uns des autres en train de rebondir contre O’’

Pour étudier le cas où la vitesse après rebond de O’ n’est pas la même qu’à l’aller et pour contourner le problème lié à la tension longitudinale (en compression ou en extension ) qui s’opérerait sur le ruban si le point de torsion devait rester en X = 24s.l, c’est le point de torsion que j’ai fait déplacer.

Si la vitesse d’éloignement est W = 0,8c et la vitesse au retour est U = 0,6c
Selon O
O’’ va donc s’éloigner de O à partir de Tw = 30s à une vitesse I = 0,1c
les bandes du ruban de O’ devraient défiler à 0,7c au niveau du point de torsion.

Si la vitesse d’éloignement est U = 0,6c et la vitesse au retour est W = 0,8c
Selon O
O’’ va s’approcher de O à partir de Tu = 40s à une vitesse J = 0,1c
et les bandes du ruban de O’ devraient également défiler à 0,7c au niveau du point de torsion.

Je fais les calculs de I’ et J’grâce à la loi de composition des vitesse*:
I’ = (U + I) / (1 + U.I) = 0,66c
J’ = (W - J) /(1 - W.J) = 0,76c

Je trouve donc des valeurs différentes. Or elle devraient l’être puisque dans un cas comme dans l’autre I’ et J’ sont sensées les vitesses à laquelle les bandes du ruban s’approche et s’éloignent et inversement du point de vue O’ et O’’.

J’ai fait le calcul de la vitesse K que devrait avoir ces bandes du point de vue de O’ et O’’*:
j’ai posé*:



d’où



Ici on reconnaît à gauche la loi de composition des vitesses (V) pour W-U selon O et à droite la loi de composition des vitesse pour 2K selon O.

On résoud l’équation du second degré en K*: V.K² - 2K + V = 0
et ou trouve pour W = 0,8c et U = 0,6c*: K = 0,2c
( le fait que K = 2.I est propres aux valeurs de vitesse de W et U)

On applique la loi de composition des vitesses*:


et on trouve une vitesse commune K' = 0,71c

Il semblerait qu’on ne puisse plus appliquer la loi de composition des vitesses dans cet exemple, mais quelles sont les considérations à retenir et à rejeter*? Et pourquoi*?


Cordialement,
Zefram

[mach3]

Bon, on se comprend pas, tant pis...

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[Zefram Cochrane]

Salut,
J'ai réécrit mon message pour essayer de clarifier les points nébuleux justement

très nébuleux tout ça... j'essaie de résumer pour éclaircir et voir si j'ai bien compris la situation. Je décris dans le référentiel de O avec pour évènement origine le départ de O' et en écrivant sous forme (position,temps) en seconde-lumière et seconde respectivement. O' rencontre O'' à (40,50) (son temps propre marque alors 30s depuis son départ), puis repart dans l'autre sens et s'arrête à (10,100) (son temps propre marque alors 70s depuis son départ).

moi j'ai pris dans mon exemple des distances aller et retour égales (24s.l); vous, vous avez pris des durées aller et retour égales (50s).
En 100s, pour une vitesse de 0.8c, O' déroule une longueur (mesurée dans le référentiel de O) de 80s.l, cela veut dire que O'' se trouve à t=100 à (80+10)/2 = 45s.l
donc depuis le point de rencontre avec O', O'' s'est éloigné de 5s.l en 50s soit une vitesse d'éloignement de I = .
Pour une vitesse aller de 0.6c, O' rencontre O'' en ( 30, 50) . En 100s , O' déroule une longueur de ruban de 60s.l O' se trouvant à la coordonnée (-10, 100),
O'' se trouve à t = 100 : (-10 + 60)/2 = 25s.l . O'' s'est donc rapproché de 5s.l en 50s soit une vitesse relative d'approche J = 0.1c

Si ça c'est OK, maintenant le plus nébuleux, l'histoire du ruban. Déjà, gros problème, quelles sont les propriétés mécaniques de ce ruban? en RR on ne peut pas supposer d'objet infiniment rigides (entendre inétirable dans le cas du ruban) sous peine de paradoxes. Un objet infiniment rigide ne voit jamais sa forme changer sous l'action d'une accélération, il accélère en bloc, ce qui suppose une propagation du son à vitesse infinie dans l'objet : impossible. Au mieux la vitesse du son dans l'objet est c, et en réalité c'est bien inférieur. Le problème est donc très difficile à traiter car on ne sait pas exactement de quel manière le ruban va se comporter après une accélération infinie de O' quand la vitesse passe de 0 à 0,8c. Il va subir une contrainte et donc s'allonger, mais de combien?

Sachant cela, ne vous étonnez pas d'avoir un paradoxe si vous faites la supposition implicite que le ruban ne change pas de longueur propre...

Je suis d’accord qu’on est dans un cadre purement théorique.

J’avais pris comme vitesse de transmission de l’accélération le long du ruban la vitesse de la lumière.
Donc en reprenant mon exemple initial , et en imaginant que la torsion du ruban se fasse en X = 24s.l de O ( O’’ garde alors une position fixe), la vitesse du ruban ne devait devait passer de 0,8c qu’à 0,6c qu’au bout de 54s.
O voit donc défiler le ruban de O’ à la célérité 4c/3 pendant 54s puis à la célérité 3c/4 pendant 16s. Soit une longueur de ruban pour O’ de 72 + 12 = 84s.l ( c’est le nombre de bandes d’1s.l du ruban de O’ que O voit défiler sous ses yeux).

Selon O’ la vitesse apparente d’éloignement est de 4c/9 ( pour 0,8c ) et la vitesse d’approche est de 3c/2 ( pour 0,6c). La distance parcourue est selon lui de de 18*4/9 + 32*3/2 = 8 + 48 =56 s.l
Mais si la vitesse d’éloignement est de 0,6c ( vitesse apparente d’éloignement de *: 3c/8)
pendant la phase d’éloignement, il va parcourir 32s*3c/8 = 12s.l
Il va s’approcher de O pendant une durée propre de 18s avec une vitesse apparente d’approche de 4c ce qui donne 72s.l
et 72 + 12 = 84s.l

Avant de tenter de répondre à ce genre de question et de valider ce genre de considération, j’aimerai bien résoudre mon paradoxe.

Cordialement,
Zefram

[mach3]

moi j'ai pris dans mon exemple des distances aller et retour égales (24s.l); vous, vous avez pris des durées aller et retour égales (50s).

au temps pour moi, j'ai mal interprété votre énoncé. Depuis le temps vous devriez avoir l'habitude des ambiguïté dans les énoncés de relativité... Quand vous écrivez :

O est stationnaire.
À t =t’ = 0
O’ s’éloigne de O à W = 0,8c pendant Tw = 30s et, rebondit contre O’’ à U = 0,6c
et revient vers O pendant Tu = 40s.

Les durées Tw et Tu, elles sont prises dans quel référentiel? moi j'ai cru que c'était pour O', vu qu'après vous dites :

La durée de l’aller et retour dure donc pour O*: To = Tw + Tu

en lisant vite j'ai pris le symbole * pour ' et j'ai cru que vous parliez de O'.

Ca ne change pas grand chose au problème de toutes façons.

Par contre l'état de mouvement de O' avant t=0 n'est pas clair. Je pensais qu'il était immobile en O et qu'il partait à 0,8c à t=0. Mais il se pourrait que ce ne soit pas le cas et la ça change tout sur le début du problème. Je comprend un peu mieux ce que vous racontez si je considère que O' se déplaçait déjà à 0,8c avant t=0 et que t=0 est juste le moment où il passe devant O, donc je suppose que ce doit être ça.

Faites vraiment un effort de précision la prochaine fois, vos énoncés sont trop vagues, il y a toutes les chances pour que personne ne comprenne les situations que vous exposez.

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

Bien entendu, nous sommes dans un cadre théorique car dans la réalité, un rebond parfait n’existe pas.

Dans le cas où la vitesse au retour est égale à la vitesse à l’aller, lorsque O’ fait demi-tour, en
X = 24s.l de O, le ruban qu’il tracte subit une torsion mais ne subit pas de tension longitudinale ( on est encore ici dans un cadre théorique) parce qu’au niveau du point de torsion ( je vais employer ce terme plutôt qu’inflexion) la vitesse des bandes du ruban de O’ en approche du point de torsion ( matérialisé par O’’ qui s’y trouve) est égale à celle des bandes du ruban de O’ qui s’en éloignent.

Nous pourrions considérer également que la bande est constituée de grains de sable indépendants les uns des autres en train de rebondir contre O’’

Pour étudier le cas où la vitesse après rebond de O’ n’est pas la même qu’à l’aller et pour contourner le problème lié à la tension longitudinale (en compression ou en extension ) qui s’opérerait sur le ruban si le point de torsion devait rester en X = 24s.l, c’est le point de torsion que j’ai fait se déplacer.

Si la vitesse d’éloignement est W = 0,8c et la vitesse au retour est U = 0,6c
Selon O:
O’’ va donc s’éloigner de O à partir de Tw = 30s à une vitesse I = 0,1c,
les bandes du ruban de O’ devraient défiler à 0,7c au niveau du point de torsion.

Si la vitesse d’éloignement est U = 0,6c et la vitesse au retour est W = 0,8c
Selon O:
O’’ va s’approcher de O à partir de Tu = 40s à une vitesse J = 0,1c
et les bandes du ruban de O’ devraient également défiler à 0,7c au niveau du point de torsion.

Je fais les calculs de I’ et J’grâce à la loi de composition des vitesses:
I’ = (U + I) / (1 + U.I) = 0,66c
J’ = (W - J) /(1 - W.J) = 0,76c

Je trouve donc des valeurs différentes. Or elle devraient l’être puisque dans un cas comme dans l’autre I’ et J’ sont sensées les vitesses à laquelle les bandes du ruban s’approche et s’éloignent et inversement du point de vue O’ et O’’.

J’ai fait le calcul de la vitesse K que devrait avoir ces bandes du point de vue de O’ et O’’:
j’ai posé:



d’où



Ici on reconnaît à gauche la loi de composition des vitesses (V) pour W-U selon O et à droite la loi de composition des vitesse pour 2K selon O.

On résoud l’équation du second degré en K: V.K² - 2K + V = 0
et ou trouve pour W = 0,8c et U = 0,6c: K = 0,2c
( le fait que K = 2.I est propres aux valeurs de vitesse de W et U)

On applique la loi de composition des vitesses:


et on trouve une vitesse commune K' = 0,71c

Il semblerait qu’on ne puisse plus appliquer la loi de composition des vitesses dans cet exemple, mais quelles sont les considérations à retenir et à rejeter? Et pourquoi?


Cordialement,
Zefram

Bonsoir,
Il me semble que dans le traitement classique du paradoxe des jumeaux avec une vitesse constante à l'aller comme au retour, la RR ne donne pas d'indications pas sur le comportement de O' avant t' = 0 ni à la fin quand il rejoint O. Que O' soit initialement stationnaire en O, s'en éloigne à v constant où que O' soit inertiel en passant au niveau de O et puis après rebond, soit de nouveau inertiel par rapport à O, les calculs donnent le même résultat ( normalement) .

Le problème des * est que dans les copiers-coller que je fais lorsque je dois rédiger des messages un peu longs vient d'une mauvaise retranscription des deux points : qui deviennent *:

Probablement, la source du paradoxe est que ce n'est qu'au moment où O' atteint O'' que ce dernier se met en mouvement relatif par rapport à O.


Cordialement,
Zefram

[mach3]

Il me semble que dans le traitement classique du paradoxe des jumeaux avec une vitesse constante à l'aller comme au retour, la RR ne donne pas d'indications pas sur le comportement de O' avant t' = 0 ni à la fin quand il rejoint O. Que O' soit initialement stationnaire en O, s'en éloigne à v constant où que O' soit inertiel en passant au niveau de O et puis après rebond, soit de nouveau inertiel par rapport à O, les calculs donnent le même résultat ( normalement) .

oui, sauf que la il y a votre ruban, et son état de mouvement par rapport à O avant t=0 a toute son importance. Si O' se met en mouvement par rapport à O à t=0 et qu'il était immobile avant, alors il va falloir un certain temps pour que le mouvement se propage au ruban (et il va s'allonger ou se rompre) et du coup ce ne sera a priori pas du tout le même résultat que si O' était déjà en mouvement quand il croise O à t=0 (le ruban le suit alors dans son ensemble dès le départ). Cela impacte ce qui se passe en O''.

je reviendrais sur votre problème ultérieurement, manque de temps.

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

Je ne dis pas le contraire, je dis juste que le cas où O' est inertiel par rapport à O ( et normalement O'') avant et après son rebond contre O'' me parait plus abordable dans un premier temps. Si on arrive à résoudre le paradoxe des jumeaux, on pourrait peut être donner une modélisation pertinente de ce qui se passerait pour un passage intantanné d'une vitesse nulle à V de O' par rapport à O.

J'ai trouvé une vitesse intéressante H ( je commence à manquer de lettre)


J'espère que le tableau est lisible. Elle dit que
que si je somme (avec la loi de composition des vitesse) I et H, j'obtiens la vitesse K
et si je somme I' et H, j'obtiens K'
et si je somme K' et H, j'obtiens J'

Il serait bon, je pense, de donner une interprétation de cette vitesse H.

Cordialement,
Zefram

P.S le cas en dessous est pour vérifier que ça marche pour toutes les vitesses W et U

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

soit O un observateur inertiel O’’’ à Xo’’’ = 24s.l de O ,
à t=t’=t’’=t’’’= 0

Xo’ = 0
O’ passe le travers de O à V = 0,8c et se dirige vers O’’’.

O’ tracte un ruban derrière lui et O’’ , dont l’horloge est synchronisée avec O’ se trouve à X’o’’ = 72s.l de O’.
Quand O’’ lit H = H’ = 0 sur l’horloge de son horloge indique H’’ = 72s.l.

Quand O voit O’ rebondir contre O’’’ il s’est écoulé T = 64s pour O et T’’ = 90s pour O’’ et tous deux lisent sur l’horloge de O’: H’ = 18s et sur l’ohrloge de O’’’: H’’’= 6s.

Quand O’ rebondit contre O’’’, O’ est âgé de T’ = 18s et il peut lire sur l’horloge de O’’’: H’’’=30s
O’ lit sur l’horloge de O: H = 6s et sur l’horloge de O’’: H’’ = -54s.

Calcul du croisement de O’ et O’’
En 24s, temps mis par la lumière pour franchir 24s.l, O’ a franchit la distance à U =0,6c de
14,4s.l, il restera donc t = 9,6s à O’ pour rejoindre O. O’ et O’’ se croiseront à une distance de 5,49s.l de O. Pour franchir cette distance à 0,8c, il va s’écouler une durée t = 6,86s.

O verra donc O’ et O’’ se croiser au bout de Tx = 12,34s.
O’ s’approchant à U=0,6c de O, le temps paraît s’écouler 2 fois plus vite pour O’ que pour O. Donc O voit O’ vieillir de t’ = 24,69s et lit sur son horloge H’= 42,69s.
O’’ s’éloignant à V = 0,8c de O, Le temps paraît s’écouler 3 fois moins vite pour O’’ que pour O*; O va voir vieillir O’’ de 4,11s et lira sur son horloge H’’=94,11.
Cela nous permet de vérifier que [ 94,11 - (-54) = 6 * 24,69 ]

A T’’ = 108s, O’’ voit lit sur les horloges de O et O’ les heures H = 60s et H’ = 45s et se trouve à X = 24s.l de O.
Quand O voit O’’ à 24s.l de lui, O est âgé de T = 108s. C’est normal vu que O’’ avait 90s et O 54s lorsque O’’ est passé à son travers et que 54s se sont écoulées pour O contre 18s pour O’’.
Quant à O’, il voit O’’ âgé de 108s à T’ = 126s et lit également sur l’horloge de O: H = 108s.

Au lieu de rebondir à 24s.l de O ( T = 60s), O’’’ s’éloignant de O depuis que O’ a rebondit sur lui, il va continuer à s’éloigner de lui jusqu’au moment du rebond. Deux cas sont éventuellement à envisager:
celui où la vitesse d’éloignement est I=0,1c
celui où la vitesse d’éloignement est K = 0,2c

CAS 1: I=0,1c.

Pendant T = 30s, O’’’ s’est éloigné de 3s.l de O et la vitesse d’approche de O’’ de O’’’ est selon O 0,7c soit une durée t de 4,29s ce qui représente une distance parcourue par O’’ de 3,43s.l selon O.
La célérité est Yv.V = 4c/3*; 3,43 / (4c/3) = 2,57s
O’’ atteindra donc O’’’ à T’’ = 110,57s
et O’ verra O’’ rebondir contre O’’’ à 126 + 2,57*6 soit T’ = 141,43s.

Donc O’ verra O’’ avec un décallage de 30,86s ce qui est différent de 72s.
A prioris le CAS 1 n’est pas valable.

CAS 2: K = 0,2c
Pendant T = 30s, O’’’ s’est éloigné de 6s.l de O et la vitesse d’approche de O’’ de O’’’ est selon O 0,6c soit une durée t de 10s ce qui représente une distance parcourue par O’’ de 8s.l selon O.
La célérité est Yv.V = 4c/3*; 8 / (4c/3) = 6s
O’’ atteindra donc O’’’ à T’’ = 114s
et O’ verra O’’ rebondir contre O’’’ à 126 + 6*6 soit T’ = 162s.

Donc O’ verra O’’ avec un décallage de 48s ce qui est différent de 72s.

Il semblerait que le CAS 2 ne soit pas valable non plus bien qu’il fournisse des valeurs intéressantes car si je devais faire la même étude pour une vitesse déloignement de O’ de O initiale à U = 0,8c,
Je devrais placer O’’ à 48s.l de O pour que à T = 64s et T’’ = 80s, O et O’’ voient O’ rebondir sur O’’’ à 24s.l de O à T’ = 32s.


Bien évidemment, dans les 2 cas O'' et O' sont sensés être séparés par 72 bande du ruban tracté par O'
Cordialement,
Zefram

[Zefram Cochrane]

Bonsoir,

Soit O un observateur inertiel, O' est l'observateur qui est situé au niveau du point d'inflexion.

A t =t' = 0, O' est au niveau de O, et O' est parcouru par un ruban infini venant de l'axe positif des x à U = 0,3c et qui repart vers l'axe positif des x à V=0,7c. A t =t' = 0, O' s'éloigne de O à la vitesse K = 0,272c
Le ruban parcourera O' à la vitesse K' = 0, 529c et les bandes du ruban sortant et entrant de O' se croiseront à la vitesse 0,826c.

Cordialement,
Zefram