Vitesse d'un corps sous l'attraction d'un trou noir

[Zefram Cochrane]

Salut,
c'est justement la distinction que je cherche à établir entre "référentiel" et "système de coordonnée"
Dans un référentiel inertiel, c'est confondu car je peux disposer des horloges synchronisées en tout point du référentiel.

Dès lors qu'il y a accélération , je peux régler ces horloges de ma corde de manière à ce qu'elles affichent une date, mais après elles seront désynchronisées.

Je peux toujours tricher pour simuler une synchronisation me semble t'il.

Cordialement,
Zefram
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[invite06459106]

Alors autant poser clairement la question sans passer par un exemple.
D'autres te répondront plus clairement que moi, mais déjà dire "dans un référentiel"....ce n'est pas un lieu (je pense que tu confonds ici avec repère), mais un outil qui permet de parler (définir) l'état de "mouvement" d'un truc (par ex un objet matériel étendu), SANS chercher à repérer un point spécifique de l'objet étendu(par ex l'avant et l'arrière d'un train, d'une fusée, d'un ascenseur).

Le système de coordonnées est l'outil qui sert à parler (positionner) les évènements dans un espace-temps
Comme d'hab' attendre confirmation ou infirmation.
Cordialement,

[invite06459106]

Pour essayer d'appuyer, et être critique pour montrer là ou ça ne va pas (pour moi hein).

Dans un référentiel inertiel, c'est confondu car je peux disposer des horloges synchronisées en tout point du référentiel

Prends le référentiel héliocentrique...va pas être simple de faire ce que tu dis, et pire encore en prenant un référentiel galactique(avec TN, étoile à neutron, ect...) dans le sens que tu fais
Cordialement,

[Zefram Cochrane]

Je suis d'accord sur la définition du système de coordonnées.

Je pense plutôt confondre repère avec système de coordonnées plutôt que repère avec référentiel.

Cordialement,

[invite06459106]

Je pense que la confusion est entre les trois.
Cordialement,

[Deedee81]

Je vais faire un mélange, de la bouillie sûrement, le fait de prendre une corde comme le fait Zefram(on va dire un solide) comme référence conserve la métrique, si au lieu d'une corde, je prends( et c'est là la bouillie, méca des fluides) je prends donc un fluide, là la métrique (spatiale) n'est plus conservée, non? (je n'ai pas la certitude, tout ça c'est flou)

Je ne sais pas trop ce que tu veux dire par "conservation de la métrique".

Ceci dit, corde et fluide, même combat : la rigidité infinie n'existe pas (c'est même incompatible avec la relativité) et avec un TN ce n'est pas une mince affaire. Mais au moins pour la définition des longueurs on peut considérer une corde sans traction : on la laisse filer ou on la tend si les extrémités se déplacent. Pour des observateurs en chute libre, cela correspond à une métrique un peu particulière (qui dépend du choix des corps en chute libre). Pour des photons en chute libre c'est celle de Eddington-Finkelstein.

Je ne sais pas si c'est cela que tu voulais dire.

[Amanuensis]

La vitesse de libération est définie me semble t'il en RG par
r et dr étant "mesurés" à l'oo et d\tau étant la durée propre de l'observateur en chute libre.

Comme d'hab, on peut définir ce que l'on veut. Mais il s'agit là d'une "vitesse propre", qui mélange une coordonnée et une durée propre. On peut voir cela aussi comme la vitesse dans la base (=repère vectoriel local) définie par (d\tau, dr, d\theta, d\phi), mais c'est un choix de base ad hoc, dont l'emploi reste à justifier. Du coup, la signification physique n'est pas claire, si tant est qu'il y en ait une.

Le reste est à l'avenant. On peut toujours faire des tas de calculs, la question n'est pas leur validité, mais leur intérêt, leur signification physique. Cela illustre-t-il quelque concept illuminant, permettant de mieux comprendre?

[Amanuensis]

la notion de référentiel ne doit pas y être rattachée.

Si on définit un référentiel comme c'est fait le plus couramment, comme une référence pour le mouvement, il y a nécessairement une relation avec la métrique.

Mais je pense que le commentaire doit être lu comme disant que la notion de référentiel n'est pas attaché à la forme de la métrique, à la manière dont elle est représentée dans un système de coordonnées (genre diagonale, orthonormée, etc.). À ce sens, oui, un référentiel au sens référence pour le mouvement, est indépendant de la métrique. (Et même est parfaitement défini--avec la même définition qu'en théories relativistes-en classique, cas où il n'y a pas de métrique au sens d'une forme bilinéaire symétrique définie.)

[Amanuensis]

c'est justement la distinction que je cherche à établir entre "référentiel" et "système de coordonnée"
Dans un référentiel inertiel, c'est confondu car je peux disposer des horloges synchronisées en tout point du référentiel.

Non. La notion de référentiel est distincte de celle de système de coordonnées, que le référentiel soit inertiel ne change strictement rien. Et manifestement, il y a un mélange avec les aspects de synchronisation.

1) Un système de coordonnées est un simple étiquetage. À chaque événement est associé un quadruplet de réels, et tout ce qu'on demande c'est la continuité (la différentiabilité plutôt) et l'unicité: pour une carte donnée, un quadruplet donnée désigne un événement unique.

Tout est libre en dehors de cela. En particulier, il n'y a pas nécessairement une des coordonnées qui représente un "temps". Par exemple les coordonnées de Schwarzschild n'ont pas de coordonnée partout temporel si on les utilise à la fois au-dessus, sur, et sous l'horizon. Alors qu'elles respectent toutes les propriétés exigées par ailleurs.

2) Un référentiel est une référence pour le mouvement. Au minimum, un référentiel permet de parler de l'immobilité. Et donc il est licite de dire "un référentiel dans lequel tel observateur est immobile". Mais ce minimum n'inclut même pas une coordonnée temporelle. I.e., un référentiel défini au minimum ne rend pas licite une phrase genre "dans tel référentiel les horloges A et B sont synchrones".

On peut enrichir un référentiel de différentes façons, et certaines définitions demandent certains enrichissements. Trop lon,g à détailler...

3) En pratique, ce qui est utilisé dans les cas "simples" , ce sont des systèmes de coordonnées ayant la particularité d'avoir une coordonnée temporelle et trois spatiales (ce qui se définit à partir de la métrique). Cela définit un référentiel (l'immobilité est alors définie comme la constance des coordonnées temporelles). Cela définit une simultanéité (sont simultanés deux événements de même coordonnée temporelle). Cela définit une base (un repère) qvectorielle en chaque événement, par (dt, dx, dy, dt), et cela permet de parler de la vitesse d'une trajectoire en un événement (par (dx(t)/dt dy(t)/dt, dz(t)/dt)). Et cela permet d'exprimer la métrique comme une forme bilinéaire exprimée dans la base à 10 éléments dt²...dz², dtdx...dydz.

Bref, dans un tel cas, on a tout ce qui est utile!

Mais parler de référentiel ne donne pas grand chose dans la définition minimale, et bien moins que ci-dessus même avec quelques enrichissements.

[Amanuensis]

Alors autant poser clairement la question sans passer par un exemple.
D'autres te répondront plus clairement que moi, mais déjà dire "dans un référentiel"....ce n'est pas un lieu (je pense que tu confonds ici avec repère), mais un outil qui permet de parler (définir) l'état de "mouvement" d'un truc (par ex un objet matériel étendu), SANS chercher à repérer un point spécifique de l'objet étendu(par ex l'avant et l'arrière d'un train, d'une fusée, d'un ascenseur).

Le système de coordonnées est l'outil qui sert à parler (positionner) les évènements dans un espace-temps
Comme d'hab' attendre confirmation ou infirmation.

D'accord sur tous les points.

[Amanuensis]

Je pense plutôt confondre repère avec système de coordonnées

Le terme "repère" est utilisé (constat dans mes lectures) de manière assez lâche.

Perso, je le réserve à la notion de repère vectoriel, tel que présenté en géométrie euclidienne analytique au lycées. Soit un triplet ou un quadruplet de vecteurs permettant de désigner un vecteur (un quadri-vecteur) quelconque par des coordonnées.

Attention, il ne s'agit pas là des coordonnées au sens utilisé précédemment: la notion de coordonnées d'un événement est différente de celle de coordonnées d'un vecteur.

(Cette différence est manifeste quand on dérive...)

Un système de coordonnées des événements implique en chaque événement un certain système de coordonnée pour les qvecteurs définis en l'événement considéré.

Mais on peut définir des repères (et donc des coordonnées de qvecteurs) indépendamment de tout système de coordonnée pour les événements. Un repère est aussi appelé une tétrade (locale), et on peut s'intéresser à des champs (différentiables) de tétrades locales, ce qu'on appelle par abréviation une "tétrade", et qu'on pourrait appeler un repère.

Une tétrade générale ne permet pas de définir un système de coordonnées des événements (i.e., il existe des tétrades qu'on ne peut pas faire découler d'un système de coordonnées des événements), et encore moins une simultanéité (une coordonnée temporelle).

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Bref, la principale conclusion de cette série de commentaires est que pour les exercices faits dans ce fil (et d'autres), il serait mieux de s'en tenir à définir des systèmes de coordonnées avec une coordonnée temporelle et trois spatiales et travailler avec, et d'oublier le terme "référentiel". Le terme de référentiel n'est (assez) clair que dans le cas des référentiels inertiels de l'espace-temps de Minkowski (1), et ne peut être utilisé sans précaution que dans ce cadre.

(1) Et il ne l'est que parce qu'un référentiel est alors défini par un et un seul qvecteur, qu'on peut synchroniser tous les temps propres des immobiles, et que cela définit donc canoniquement une coordonnée temporelle. Mais il s'agit d'une exception, et que c'est une erreur grossière que de traiter d'autres cas comme si ces propriétés s'appliquaient.

[Zefram Cochrane]

Comme d'hab, on peut définir ce que l'on veut. Mais il s'agit là d'une "vitesse propre", qui mélange une coordonnée et une durée propre. On peut voir cela aussi comme la vitesse dans la base (=repère vectoriel local) définie par (d\tau, dr, d\theta, d\phi), mais c'est un choix de base ad hoc, dont l'emploi reste à justifier. Du coup, la signification physique n'est pas claire, si tant est qu'il y en ait une.

Le reste est à l'avenant. On peut toujours faire des tas de calculs, la question n'est pas leur validité, mais leur intérêt, leur signification physique. Cela illustre-t-il quelque concept illuminant, permettant de mieux comprendre?

si je définis dans le cadre de la métrique de Schwarzschild :

est aussi une vitesse propre qui me paraît plus pertinente que parce que
correspond à quelque chose que je peux identifier : c'est la vitesse à laquelle défile la corde sous les yeux de l'observateur en chute libre.

Par ailleurs localement, au niveau de l'horizon et
et pour la "vitesse propre" :





Si je prend comme principe le rapport entre "la vitesse propre" et la vitesse coordonnée en RR,
Je voudrais pouvoir affirmer que et que
quel que soit l'altitude de départ de l'observateur en chute libre ( et à priori même si à un moment de la chute, sa vitesse propre
est supérieure à la vitesse de libération.

Question 1 : Puis je le faire sans induire en erreur?
Question 2 : Comment définierais tu ma corde munies d'horloges ?
Ce serait un repère ? ( je voudrais employer des termes corrects)

Cordialement,
Zefram

[invite06459106]

Mais je pense que le commentaire doit être lu comme disant que la notion de référentiel n'est pas attaché à la forme de la métrique, à la manière dont elle est représentée dans un système de coordonnées (genre diagonale, orthonormée, etc.). À ce sens, oui, un référentiel au sens référence pour le mouvement, est indépendant de la métrique.

Oui, désolé, c'est vrai qu' a relire j'aurais dû préciser parce que là......
Merci.
cordialement,

[Amanuensis]

si je définis dans le cadre de la métrique de Schwarzschild :

Si on note (t, r, \theta, \phi) les coordonnées de Schw., l'idée est d'utiliser (t, r', \theta, \phi). Le résultat est que la métrique devient

(1- r/rs)dt² - dr'² - f(r')(d\theta²+sin²\theta d\phi²)

est aussi une vitesse propre qui me paraît plus pertinente que

On peut voir cela comme un changement de coordonnées, qui va dépendre de la trajectoire de chute radiale choisie.

parce que
correspond à quelque chose que je peux identifier : c'est la vitesse à laquelle défile la corde sous les yeux de l'observateur en chute libre.

Je n'ai pas compris de quelle corde il s'agit. Cela ressemble à un solide "synchronisable" alors qu'il a une extension radiale. Comme chaque sphère est synchronisable, cela indiquerais un ensemble de trajectoires couvrant l'espace temps au-dessus de l'horizon et synchronisable. Je serais intéressé par la formule donnant la trajectoire de chaque point de la corde..

Par ailleurs localement, au niveau de l'horizon

C'est quoi t'?

Question 2 : Comment définierais tu ma corde munies d'horloges ?

N'en comprenant pas le but ou l'intérêt, difficile de proposer quoi que ce soit.

Ce serait un repère ?

Même sans comprendre, je ne trouve pas ce terme approprié.

A priori, vu la symétrie de l'espace-temps de Schw, cela devrait se définir comme un système de coordonnées, qui éventuellement (à vérifier) aurait comme référentiel correspondant un tel que la corde y est immobile.

(L'ensemble des chutes libres radiales "partant de l'infini" forme un référentiel--les trajectoires en question sont les immobiles. Peut-être la corde se définit-elle comme ce référentiel (1)? Je ne connais pas par cœur tous les systèmes de coordonnées publiés, mais il doit y en avoir auquel ce référentiel correspond? À trouver...

(1) Parler de la vitesse, dans un système de coordonnées (1,3), d'un référentiel en un événement a un sens: c'est la vitesse dans le système de coordonnées de l'unique trajectoire immobile du référentiel en l'événement considéré. Peut-être la corde en question est un cas où on peut parler rigoureusement d'un référentiel. Seulement, il n'est pas question de synchronisation entre les horloges immobiles... )

[Zefram Cochrane]

Bonsoir,
Soit O en haut d'un mat très très loin d'une sphère de masse M. O a construit par assemblage de bandes de 3mètres un ruban qu'il déroule jusqu'à la surface d'une sphère de Rs = 2000 m et de rayon R =15km ( dans le référentiel de O ?)
Soit un mobile en chute libre depuis O
à la coordonnée Ro ( dans le référentiel de O) se trouve O' au milieu d'une bande de 3m

nus avons
la vitesse moyenne coordonnée v' va etre définie comme
où est la durée que met le mobile à parcourir la bande mesurée par deux horloges situées aux bornes de cette bande.
et est la célérité (vitesse propre) du chuteur.

Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

Bonsoir,
Soit O en haut d'un mat très très loin d'une sphère de masse M. O a construit par assemblage de bandes de 3mètres un ruban qu'il déroule jusqu'à la surface d'une sphère de Rs = 2000 m et de rayon R =15km ( dans le référentiel de O ?)

Cela correspond à étiqueter par une "distance propre" (paramètre affine, similaire au temps propre pour les lignes temporelles) les lignes (r -> (t, r, 0, 0)) en coordonnée de Schw. Le paramètre affine est r' comme défini précédemment. Le "ruban" est marqué par r', donc.

Soit un mobile en chute libre depuis O
à la coordonnée Ro ( dans le référentiel de O)

Beurk... (Pour le terme référentiel)

se trouve O' au milieu d'une bande de 3m

nus avons

En tout point de la ligne. C'est la notion de paramètre affine: pour deux points de la ligne, |r'1-r'2| est la longueur propre de la partie de la ligne entre les deux points.

la vitesse moyenne coordonnée v' va etre définie comme
où est la durée que met le mobile à parcourir la bande mesurée par deux horloges situées aux bornes de cette bande.

Là il y a un os. Les deux horloges sont a priori indépendantes, et alors la différence de leurs indications vues par le mobile n'a aucun sens. Faut préciser la relation entre les horloges. Or elles ne sont pas synchronisables...

En d'autres termes, t' n'est pas suffisamment bien défini, il me semble.

[Zefram Cochrane]

soit O’’ au pied du mât (R = 15km)
soit O au sommet du mât on va dire à un parsec de O’’ ( longueur du ruban 100 000 000 s.l)

Naturellement, les horloges battent 10^16 tics ( 100 000 000^2) toutes les secondes; et toutes les secondes elles émettent un éclat lumineux (stroboscope).

Pour des raisons pratiques, ce sera l’horloge la plus basse, celle de O’’ qui sera prise en référence.

Chaque horloge va régler son stroboscope pour battre de manière synchrone avec celui de O’’ et définir une seconde virtuelle sur ce réglage.
Ainsi s’il faut 5mn pour cuire un œuf à O’’, bien qu’il faille 5mn naturelles pour O pour cuire un œuf, il faudra – de 5mn virtuelles pour que O cuise son œuf.

Ensuite, on demande au horloges d’afficher 0 et O demande à O’’ de lui indiquer qu’il voit

envoie l’information suivante aux horloges du ruban*:
dans 100 000 000 000 de secondes virtuelles
Les horloges reprendront leur marche naturelle.
Chaque horloge indiquera t=0
Je largue une capsule en chute libre.

J’ai fait des calculs sur tableur en utilisant ces formules



http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post4601825



http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post4412184

J’ai pris r1 = Rs = 2000m
et r2 = 2003 ( j’ai des valeur cohérente de Vo cohérentes jusqu’à 2000,00001 inclus)


J’obtient et
Soit

Soit une vitesse moyenne propre Vo < c d’après les calculs.

Ceci se justifie du fait que le mobile chute depuis r2 avec une vitesse initiale nulle.

Cordialement,
Zefram

Pour il serait intéressant de voir dans qu'elle mesure on aurait t1>t2

[Amanuensis]

Je ne vois pas en quoi ces calculs sont intéressants d'un point de vue physique.

[Yorffoeg]

Bonjour,

Désolé du déterrage mais je viens de voir ce topic et la réponse à la question initiale m'intéresse vraiment.
Je m'intéresse beaucoup à l'astrophysique MAIS depuis peu de temps donc ne comptez pas sur moi pour tout comprendre
Ma question est donc : vers quelle vitesse tend un objet sous l'attraction d'un trou noir? La vitesse de la lumière (ça m'étonnerait qu'il l'atteigne en tout cas puisque si l'on considère que l'objet a une masse, d'après la relativité il ne peut pas atteindre c)? La vitesse de libération du trou noir (je dois avouer que je ne comprends pas ce raisonnement, quand on tombe en chute libre sur Terre, notre vitesse ne tend pas vers 11.2 km/s)? D'ailleurs je voudrais savoir concrètement quelque chose. Souvent on dit que la lumière ne peut pas s'échapper d'un trou noir car la vlib de ce trou noir est supérieure à c, mais pour moi c'est une fausse preuve non? Car si on considère que la lumière est toujours en mouvement et à la même vitesse dans le vide, alors c'est comme si elle avait une poussée, et la vlib marche pour un objet sans force pour lui transmettre d'énergie non? Du coup la preuve serait plutôt la formule qui permet de déterminer la force nécessaire à un objet pour rester statique à une distance r du trou noir : , formule qui diverge quand r se rapproche de Rs? Merci

[Yorffoeg]

C'est encore moi, est-ce que quelqu'un saurait me répondre svp? Je ne sais pas du tout si mon raisonnement est vrai, j'aimerais avoir la réponse

[invite06459106]

j'aimerais avoir la réponse

Suffit de lire le fil....

[Yorffoeg]

Je l'ai lu et je n'ai pas vraiment eu l'impression que tout le monde était d'accord sur la vitesse d'attraction... Et je voulais surtout une réponse par rapport à mon raisonnement

[invite06459106]

Souvent on dit que la lumière ne peut pas s'échapper d'un trou noir car la vlib de ce trou noir est supérieure à c, mais pour moi c'est une fausse preuve non? Car si on considère que la lumière est toujours en mouvement et à la même vitesse dans le vide, alors c'est comme si elle avait une poussée, et la vlib marche pour un objet sans force pour lui transmettre d'énergie non?

Je ne sais pas ce qu'est une poussée pour la vitesse de la lumière.
A et sous l'horizon, la courbure de l'espace-temps ne permet plus à la lumière de s'échapper du TN (géodésique).
Cela réponds à ta question sans passer par un truc (Vlib) qui est difficile à appliquer en regard de la théorie. Dire que Vlib est = à la vitesse de la lumière (ce qui est correct) est suffisant pour exprimer l'action de la gravité ( via les géodésiques suivies).
J'ai peut-être mal compris ton raisonnement.

[Yorffoeg]

Oui je me suis peut-être mal exprimé.
Ce que je veux dire, c'est que prouver que même la lumière ne peut sortir d'un trou noir parce que sa vlib est supérieure à c est à mon sens insuffisant.
Sur Terre la vlib est de 11.2 km/s, mais cela ne nous empêche pas de sortir de l'attraction de la Terre à moins de 11.2 km/s, il suffit pour cela d'avoir une poussée, comme le moteur d'une fusée (parce que la vlib est calculée avec la formule de l'énergie cinétique, donc sans poussée). Ainsi, si on prend l'argument de la vitesse de libération pour les trous noirs, ça voudrait dire que l'on pourrait tout à fait sortir d'un trou noir, ce qui n'est pas le cas, en ayant une poussée continue, même si la vlib est supérieure à c.

[Lansberg]

Sur Terre la vlib est de 11.2 km/s, mais cela ne nous empêche pas de sortir de l'attraction de la Terre à moins de 11.2 km/s, ...

Si on n'atteint pas les 11,2 km/s, il n'y a aucune chance de s'échapper de l'attraction terrestre !! On retombe sur Terre ou alors on est satellisé.

[Yorffoeg]

Pourquoi dont? Si on lance un objet à moins de 11.2 km/s il retombera, mais là je parle justement pas d'un objet auquel on aurait donné une énergie cinétique, je parle d'un objet auquel on aurait mis, par exemple, un moteur et qui subirait donc une poussée. On pourrait sortir de l'attraction terrestre à 1cm/s si on voulait, du moment qu'on a quelque chose pour nous donner de l'énergie, comme un moteur.

[invite06459106]

La vitesse de libération de 11.2km/s pour la Terre, c'est a niveau du sol et plus tu prends de l'altitude, plus ta vitesse de libération en rapport au point ou tu te trouve diminue (potentiel gravitationnel).
Ton objet motorisé s' éloignant de la terre à 1 cm/s arrivera donc à un moment a atteindre un point ou la vitesse de libération est de 1 m/s, et pourra en théorie sortir de l'attraction terrestre, je dis en théorie parce que le problème est de fournir l"énergie nécessaire pour avoir l' énergie cinétique suffisante, qui est égale à la différence d' énergie potentielle entre le point ou elle se trouve et l' infini(faudra de très trè très gros réservoirs).
Une autre façon de voir la vlib, c'est de se dire que ce serait la vitesse d'un truc qui partirait de l'infini à vinitiale nulle et toucherait le sol (hors frottement), donc à v 11.2km/s.
Tout ça pour revenir au TN, et je répète, se poser ce genre de question est "périlleux" car tu pars d'un raisonnement Newtonnien (et à bonne distance d'un TN ce n'est pas faux) et le pose à un TN ou il y a besoin de la RG pour définir les événements dans l'espace-temps à "proximité", c'est pour cela que je te disais de voir ça avec les géodésiques, peu importe la "poussée", la lumière suivra la déformation de l'espace-temps, et comme à l'horizon la déformation ne permet pas d'aller vers l'extérieur...(l'espace-temps est tellement courbé) contrairement à la Terre ou la déformation est suffisamment légère (courbure faible).
Une analogie (un peu pourrie), c'est comme si tu es dans un tunnel (qui représente la déformation de l'espace-temps), peu importe ta vitesse, tu peux pas sortir du tunnel .

[phys4]

Je pense que la confusion provient de la notion de vitesse de libération : il faut répéter que cette loi ne s'applique qu'en mécanique de Newton, elle n'existe plus en général. Au mieux nous pouvons dire qu'elle dépend de l'angle (ce qui n'est pas le cas en mécanique classique)
Si je prends comme vitesse la vitesse dans le repère local proche de l'objet considéré, je peux dire que la vitesse pour qu'un objet puisse s'échapper d'un TN et égale à c à la distance Rs s'il est lancé à la verticale, mais qu'il faut aussi c à la la distance 3Rs/2 s'il est lancé à l'horizontale.

[mmanu_F]

la même vitesse en racine carrée de R_S / r réapparait en RG mais elle n'est plus directement associée à l'image newtonienne de libération. ça aide à entretenir la confusion.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
J'aimerais bien savoir qu'elle vitesse sera atteinte à une altitude r pour un objet en chute libre tel qu'à une altitude z >> r , la vitesse de chute soit supérieure à la vitesse de libération en r?

Cordialement,
Zefram