Relation Rs Rt

[Mailou75]

Bonsoir,

Pour definir le declage temportel entre un observateur a la surface d'une planete et un observateur a l'infini,
en utilisant le modele de Schwarchild on trouve :

1-racine(1-(Rs/Rt))

en s/s, ou rien.. avec
Rs rayon de Schwarchild
Rt rayon de la Terre (par exemple)

Et par une autre methode (classique ?) on trouve :

Rs/(2.Rt)

En application numérique ca donne 0,0000601617... microseconde/Jour
a partir des points de suspention les chiffres divergent,
cette precision partielle est elle due au fait que la Terre n'est pas un objet relativiste ?

Toutefois, ils semblent rester "cohérents" jusqu'aux environs de 10Rs
quand la masse de la Terre est concentree dans un rayon de 10cm pour un Rs à 8mm, pour l'image
Connait on de tels objets, de 10Rs ? Une etoile a Neutrons c'est combien de Rs environ svp?

Merci d'avance
Mailou
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[Calvert]

Salut !

Une etoile a Neutrons c'est combien de Rs environ svp?

Quelques, genre entre 4 et 10.

[mach3]

1-racine(1-(Rs/Rt))

en s/s, ou rien.. avec
Rs rayon de Schwarchild
Rt rayon de la Terre (par exemple)

Et par une autre methode (classique ?) on trouve :

Rs/(2.Rt)

c'est juste une approximation de la première via un développement limité.

le développement limité de au voisinage de zéro est, au premier ordre, , c'est à dire que pour x petit, on a . Du coup, .

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Salut, c'est la même erreur que j'avais faite dans ma discussion:
http://forums.futura-sciences.com/as...mporelles.html
Pour info
Dans un article de 1911 : http://www.relativitybook.com/resour...n_gravity.html
Einstein avait pris cette approximation classique du ptotentiel gravitationnel pour calculer la réfraction gravitationnelle de la lumière d'une étoile rasant la surface du Soleil et avait trouvé un angle de moitié a celui observé du fait que Phy=c²*(Rs)(2R).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mailou75]

Bonjour et merci pour vos réponses,

je vais essayer de voir comment je peux retrouver le même résultat.
J'aurais bien émis un doute sur nos connaissances des étoiles à neutrons
mais la remarque de Zef m'oblige a croire que c'est le seul résultat possible.
Ou alors il faut expliquer ce facteur 2...

Encore merci
Mailou

[Nicophil]

Bonjour,

1-racine(1-(Rs/Rt))

(Cette formule n'est elle-même qu'une approximation par rapport à celle de Schw. : https://en.wikipedia.org/wiki/Time_d...otion_together .)


Je préfère exprimer le redshift RG ainsi :
d'où approximativement

De même que le redshift RR :
d'où approximativement

Cumulés :
d'où approximativement

[Mailou75]

Bonsoir,

La divergence significative n'apparaissant que sur les étoiles à neutrons (4/10Rs) sur lesquelles nous avons peu d'infos, je reste donc sur mes positions et définit un Zo=Rs/2Ro qui sera la valeur de référence pour tous les calculs sur la figure.

Donc on lui trouve bien deux axes de temps propre principaux et égaux To pour deux observateurs diamétralement opposés sur un objet,
Ce que nous dit la figure c'est que la "courbure" est le trajet de la lumière
ou l'espace dé-synchronisé* ce qui revient au même pour les z+1 si la lumière va à la même vitesse partout.
(*tout s'y passe "en même temps" mais cette fois avec un temps propre inégal suivant la position)
Les lignes d'univers sont rayonnantes et sont graduées par le "temps constant" (l'équivalent des hyperboles chez Minkowkski)
On voit que quand l'observateur central compte 4, bleu ne compte que 2, mais rouge 6, bleu et rouge sont évidement shiftés.
La valeur du blueshift de bleu doit être Zo/z+1 ou plus simplement Zo/r
On peut imaginer la relation inverse : bleu observerait noir redshifté, il n'y a donc pas de symétrie.
En violet j'ai mis la RG pour cet objet de 2Rs, comme je le disais plus haut, c'est pas rédhibitoire...

Rappelons qu'à droite et a gauche on est en pseudo-Minkowski (les courbes changent de fonction)
et au centre en pseudo- RR trigonométrique (je n'ai pas encore eu le temps de regarder.. )
(pour mémoire entre Minko et trigo : les hyperboles deviennent des droites, les droites des cercles et le cone passé une lentille)

En fait j'ai l'impression que de la même façon que Rindler utilise les hyperboles "a" constant pour donner des vitesses le long de la courbe
ici le long de la "courbure" on va trouver des accélérations, vu que la courbe en classique vaut -GM/r et qu'en x on a r,
je suppose qu'on va trouver GM/r² en y, l'accélération locale (On est en "newton relativiste" en fait )
Sinon comme le montre la mesure en haut à droite, la valeur Zo/z+1 nous donne toujours Gamma lib -1, et donc la vitesse de libération.

En vert on trouve l'espace euclidien de l'observateur, qui doit y projeter le cone passé je ne sais pas trop comment..
Bref, y'a encore du taf !

Merci pour vos réactions
Mailou

[Mailou75]

Il faut noter que toutes les calculs restent justes dans tout le domaine classique : la figure prend une valeur une fois qu'on y introduit la masse (via Rs) et le rayon (Ro) de l'objet, les mêmes paramètres qui permettent de tracer la courbure RG. Elle n'a donc aucune échelle a priori et elle fixe pourtant des relations invariantes "universelles". Par exemple, le facteur d'écoulement du temps propre entre un observateur à Ro et un autre à 2Ro vaudra toujours 2 quels que soient la masse et le rayon de l'objet.

A bientot
Mailou

[Mailou75]

Alors déjà erratum, pour le rapport cité plus haut : si l'observateur a Ro compte 1-Zo/Ro alors celui a 2Ro comptera 1-Zo/2Ro (quand l'observateur a l'infini compte 1)

Et je me rend compte la représentation du "shift" n'est pas évidente (et semble meme inversée):
Noir compte donc 1-Zo/Ro et bleu 1-Zo/2Ro, bleu compte donc plus (temps propre)! Noir voit donc bleu évoluer plus vite que lui même, il voit bleu bluesifté

Ps : merci à la modération pour la validation de mes schémas "border charte"

[Mailou75]

Einstein avait pris cette approximation classique du ptotentiel gravitationnel pour calculer la réfraction gravitationnelle de la lumière d'une étoile rasant la surface du Soleil et avait trouvé un angle de moitié a celui observé du fait que Phy=c²*(Rs)(2R).

Etant donné que le soleil est loin d'etre un objet relativiste et que la difference entre les formules n'apparait que dans le domaine relativiste, quelqu'un saurait l'expliquer d'où peut bien provenir l'erreur ??

Merci d'avance
Mailou

[Amanuensis]

Etant donné que le soleil est loin d'etre un objet relativiste et que la difference entre les formules n'apparait que dans le domaine relativiste, quelqu'un saurait l'expliquer d'où peut bien provenir l'erreur ??

Je soupçonne que ZC fait une confusion. Newton avait calculé un angle moitié, en considérant la lumière faite de particules de masse non nulle allant à la vitesse de la lumière.

Et la lumière est relativiste.

Si on regarde les formules, il y a en gros deux termes égaux à la déflexion, l'un qu'on pourrait appeler "spatial", et qu'on peut retrouver "classiquement", l'autre un effet temporel, que Newton ne pouvait pas imaginer ou calculer.

[Zefram Cochrane]

Salut,
Je n'ai pas fait de confusion.
Dans l'article que je cite en signature, Einstein décrit qu'un photon suivant un radiale descendante d'un champ de gravitation voit son énergie augmenter en puisant dans le champ de potentiel cette énergie d'où une augmentation de la fréquence. De là il dit que si un observateur stationnaire dans le champ de gravitation reçoit un photon blueschifte, c'est parce que le temps s'écoule moins vite pour lui que pour l'émetteur du photon. Après il en déduit rapidement (parce qu'il ne mentionne pas une éventuelle contraction des longueurs) que la vitesse de la lumière varie et par comparaison avec la réfraction lumineuse en optique, décrit la réfraction gravitationnelle.

Le seul point commun avec Newton est que le potentiel considéré est GM/R; d'où un même résultat que dans le cadre décrit par Amanuensis.

Je pense que s'il est possible de passer de la RR à la RG de manière douce comme on le fait facilement avec la gravitation newtonienne via le théorème de l'énergie cinétique, il faut expliquer pourquoi physiquement en partant de Newton g= GM/R^2 ; et de Rindler avec Rh= c^2/g ; avec Rs= 2GM/c^2 on obtient la relation R^2=(Rs×Rh)/2

[Mailou75]

(...) il faut expliquer pourquoi physiquement en partant de Newton g= GM/R^2 ; et de Rindler avec Rh= c^2/g ; avec Rs= 2GM/c^2 on obtient la relation R^2=(Rs×Rh)/2

Sans doute parce que 1+1=2 mais je m'avance peut etre...^^
Je plaisante, c'est vrai que c'est le genre d'egalité qui est soit une coincidence interessante soit une evidence

Je soupçonne que ZC fait une confusion. Newton avait calculé un angle moitié, en considérant la lumière faite de particules de masse non nulle allant à la vitesse de la lumière.

Je vais te faire confiance, desolé zef

[Amanuensis]

(...)

Je n'avais pas regardé la source, désolé. Et je n'avais pas percuté sur le fait que c'était dans un article avant 1915.

Je vais te faire confiance, desolé zef

Faut jamais faire confiance à une source unique, surtout sur ce forum.

[Nicophil]

Si on regarde les formules, il y a en gros deux termes égaux à la déflexion, l'un qu'on pourrait appeler "spatial", et qu'on peut retrouver "classiquement", l'autre un effet temporel, que Newton ne pouvait pas imaginer ou calculer.

Après il en déduit rapidement (parce qu'il ne mentionne pas une éventuelle contraction des longueurs) que la vitesse de la lumière varie et par comparaison avec la réfraction lumineuse en optique, décrit la réfraction gravitationnelle.

Si l'on en croit l'auteur des mathpages :

The difference between the 1911 and 1915 derivations is simply that in 1911 Einstein took g_xx = -1, in accord with the quasi-Minkowskian metric (1), so he only considered the part of the deflection arising from the “time-time” component of the metric, whereas in November 1915 he realized that the full metric is actually given by (2), with varying spatial coefficients.


Thus the spatial curvature doubles the amount of deflection from the naïve Newtonian prediction and Einstein’s preliminary 1911 calculation. However, this does not arise from simply doubling the rate of deflection at every point on the path. This can be seen by plotting the rates of deflection as a function of x/R for the theories of 1911 and 1915 as shown below.


People sometimes wonder how this doubling of the deflection can be reconciled with the equivalence principle and the “elevator” thought experiment on which Einstein’s 1911 calculation was based. If we imagine a ray of light entering an elevator car horizontally at the middle of one wall, and if we assume the car has a downward acceleration of m/r², then the path of the ray relative to the car (according to the equivalence principle) should be h = (1/2)(m/r²)x2 where h is the height of the ray referred to its entry height. For very small deflections we have dh/dx = tan(q) ≈ q and hence dq/dx = m/r² = m/(R² + x²) where R is the minimum distance. This applies when the acceleration is perpendicular to the ray of light, but at other locations the perpendicular component of acceleration of the elevator car must be scaled by the cosine, i.e., by the factor R/(R² + x²)^1/2. Integrating this product over all x, we have the same formula for the total deflection as given in Einstein’s 1911 derivation from Huygen’s principle (see above), yielding the result 2m/R. This is the unambiguous consequence of the equivalence principle in flat space. Since the equivalence principle still applies in the 1915 theory, how do we reconcile this with the fact that the 1915 theory predicts twice this amount of total deflection?

Intuitively, Einstein’s 1911 prediction was only half of the correct value because he did not account for the cumulative effect of spatial curvature over a sequence of small regions of spacetime, within each of which the principle of equivalence applies. This can be understood from the figure below, which depicts a ray of light passing through a sequence of “Einsteinian elevators” near the Sun.


The preceding discussion explains the meaning of Einstein’s oft-quoted comment in Appendix 3 of his 1916 book “Relativity”, where he states that “half of this deflection is produced by the Newtonian field of attraction, and the other half by the geometrical modification (‘curvature’) of space caused by the sun”. As explained in Section 8.5, Newton’s theory can essentially be expressed as a metrical theory with a line element given by (1), according to which the spatial geometry is flat, but curved in time. This leads to the Newtonian prediction 2m/R. The line element given by (2) includes the effects of spatial curvature, as indicated by the variable coefficients of the space-space components. As we’ve seen, when the effect of this spatial curvature is taken into account, the total predicted deflection is 4m/R.

[Nicophil]

Not surprisingly, this is the same deflection that is predicted based on a naïve application of Newton’s theory. This was to be expected, because Newton’s theory can be expressed in geometrical terms as just the time-time component of general relativity. (See Section 8.5 for more on this.) However, in the full theory of general relativity, completed in 1915, Einstein found that the predicted deflection is actually 4m/R, i.e., twice his earlier prediction (and twice the naïve Newtonian prediction). The reason for this doubling of the deflection is that the full theory takes into account not just the variation of the time-time component of the metric, as in equation (1), but also the variation of the spatial components.

[Amanuensis]

Important de bien lire ce qui est écrit: ce sont les variations des composantes de la métrique qui interviennent. Ce qui permet de comprendre comment une théorie avec temps absolu peut "contenir" des termes qui viennent du composant temporo-temporel de la métrique exprimée dans le référentiel idoine. L'accélération de gravitation est la variation spatiale (gradient) du potentiel, lui-même exprimable en fonction du composant temporo-temporel.

[Mailou75]

Salut,

Faut il comprendre que dès lors qu'on interprette bien le sens de la courbure (non seulement temporelle mais aussi spatiale) alors ce n'est pas la "precision" de cette courbure qui fait le resultat ? Autrement dit pour le cas du rayon lumineux rasant le soleil, approximer la courbure a sa valeur Newtonnienne (reference en surface GM/Rc² voir message #1) puisque ce n'est pas un objet relativiste, donnerait quand meme les bons resultats ?

Et par extension, existe t il des objets reels, observés et connus qui necessitent l'utilisation des formules de RG (du genre les etoiles a Neutron 4 a 10Rs sont elles suffisamment "connues" pour ne s'expliquer que par la formule RG)?

Merci d'avance
Mailou

[Nicophil]

De même que le redshift RR :

On a en fait :
1 + z_RR = 1 + E_cin/m₀c²
d'où
m₀.z_RR = E_cin/c² : valeur exacte !

Du coup, on peut penser que :
1 + z_RG = (1 - β_lib²)^-1/2 = 1 - E_gravifique/m₀c²
d'où
m₀.z_RG = -E_gravifique/c²


En tout cas, ça marche très bien pour le GPS :
1 + z_GPS = (1 - (β² + β_lib²))^-1/2
d'où
m₀.z_GPS = (E_cinétique - E_gravifique) / c²

(Et comme la durée d'un jour est peu différente de 8,98 .10¹⁶ picosecondes, c'est vraiment sympa !)