Coordonnées de Kruskal-Szekeres

[Mailou75]

Une métrique en dt²-dx² permet directement un passage en "coordonnées trigonométriques", ce n'est pas spécifique aux coordonnées de KS.

Je ne parle pas du repère 3D de Schwarzschild mais d'une carte trigo où intérieur et extérieur seront "continus" et le TN sera circulaire, enfin tu me diras ce que tu en pense
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[Amanuensis]

Je ne parle pas du repère 3D de Schwarzschild mais d'une carte trigo où intérieur et extérieur seront "continus" et le TN sera circulaire, enfin tu me diras ce que tu en pense

Je ne parle de Schw, mais de KS. La métrique de Schwa n'est pas avec un terme dt²-dx², celle de KS si.

[Mailou75]

Changement de coordonnées de Kruskal vers Schwarzschild

On cherche à savoir comment transposer un évènement quelconque de coordonnées (X;T) dans repère de KS, vers un repère de Schw où il aura des coordonnées (r;t). Cet évènement est le point rose repéré par X et T, il se trouve aussi à l'intersection entre la droite de temps synchronisé à t (l'espace) et l'hyperbole "r constant". Comment obtenir r et t en fonction de X et T ?

Repartons des équations initiales et
Pour t=0 on obtient T=0 et (1) qui est la coordonnée du point d'intersection entre l'axe des X et une hyperbole "r constant".
On peut donc écrire les équations initiales sous la forme et
Soit (2) et
et comme t(X)=t(T) on en déduit que
or on peut écrire soit
qui donne rapidement que l'on réinjecte dans (2) pour trouver :



On connaît donc sur quelle horizontale va se trouver l'évènement "point rose" en coordonnées de Schw uniquement en fonction de X et T. Mais par contre pour connaître la verticale c'est moins facile... car l'équation (1) qui donne Xr en fonction de r : Xr=f(r) n'admet pas de réciproque et on ne saurait trouver d'écriture analytique pour r=f^-1(Xr). J'ai donc pris le parti de tracer cette fonction et de la lire à l'envers, de façon graphique mais aussi précisément que possible (~0,000001 pour Rs/c=1). On reporte donc la valeur de Xr sur la courbe qui va nous donner r. L'évènement est à l'intersection de r et t !

Et 1344 points plus tard ( ) on a une petite idée que ce à quoi ressemble le quadrillage de KS vu dans Schw. Il est amusant de voir comme les intersections de X et T qui ont lieu sur l'horizon chez KS sont reportées à l'infini du temps chez Scwh. Et il y a sans doute beaucoup plus à en dire... bon mal de crâne à tous !

Perso j'ai l'espoir que les verticales (bleues) de KS soient des trajectoires de chute libre, parce qu'elles y ressemblent beaucoup, mais il parait que ce n'est pas le cas... snif. Je vais quand même essayer de vérifier par curiosité

Merci d'avance pour vos réactions
Mailou

[mach3]

Sympa!

Pour les trajectoires de chute libre, il va falloir, je le crains, se mettre à potasser l'équation des géodésiques. Cela dit, les géodésiques de la solution de Schwarzschild ayant déjà été étudié en long en large et en travers pendant près d'un siècle, un peu de recherche documentaire devrait permettre d'éviter de les redémontrer dans un premier temps (redémontrer ne sera pas sans intérêt, mais c'est très très très fastidieux, il y a quand même des dizaines de termes à calculer pour établir les symboles de Cristofel...).

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
Déjà bravo pour le travail.
Je suis quand même un peu étonné de voir que dans le diagramme KS les verticales de bleues touchent l'horizon en T=Xr tandis que sur le diagramme de Schwarzschild, les lignes bleu se rejoigne à t=+oo

Plus précisément sur le diagramme KS : ->

????

Je suis du même avis que toi , je ne comprends pas pourquoi tu dis que les verticales bleues ne serait pas des trajectoires de chute libre.

[mach3]

On peut commencer par regarder ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics , où on trouve la relation entre r et t (coord. de Schwarzschild) pour une géodésique radiale de genre temps : https://wikimedia.org/api/rest_v1/me...079cfd87d50473
Ensuite on peut rentrer ça dans la définition de la coordonnée X de KS et vérifier si on peut obtenir une valeur constante pour X (en jouant sur la constante dans l'expression de la géodésique radiale)... Je ne parierais pas de dessus, mais bon, si quelqu'un à le courage de se farcir des maths bien féroces...

m@ch3

[Amanuensis]

Je suis quand même un peu étonné de voir que dans le diagramme KS les verticales de bleues touchent l'horizon en T=Xr tandis que sur le diagramme de Schwarzschild, les lignes bleu se rejoigne à t=+oo

Où est le problème? Ce sont deux systèmes de coordonnées différents, et ce qui se passe à un infini de coordonnées n'est pas nécessairement "physique".

Je suis du même avis que toi , je ne comprends pas pourquoi tu dis que les verticales bleues ne serait pas des trajectoires de chute libre.

Je le dis parce que le calcul de l'accélération propre pour X constant montre qu'elle n'est pas nulle (sauf le cas très très particulier X=0).

[Zefram Cochrane]

J'aimerais bien avoir le détail de ce calcul s'il te plait.
Si je me réfère à Rindler et par équivalence avec KS, les verticales des point A B C sur le premier schéma de Mailou, correpondent à des observateurs en chute libre depuis A B et C à T=t=0s, et les courbes de A (Xa ; Ta) B(Xb ; Tb) et C (Xc ;Tc ) aux observateurs stationnaires dans le champ de gravitation.

Ce qui m'étonne c'est que les coordoonées KS (X;T) soient issues des coordonnées de Schwarschild (r;t), qu'elle prédisent un passage à l'horizon pour t fini et que si on établit les coordonnées de Schwarzschild (r;t) à partir de KS (X;T) On ne retrouve pas ce passage à l'horizon?

[Amanuensis]

J'aimerais bien avoir le détail de ce calcul s'il te plait.

avec

[Fallait pas demander si le calcul mis comme ça ne dit rien...]

Ce qui m'étonne c'est que les coordoonées KS (X;T) soient issues des coordonnées de Schwarschild (r;t), qu'elle prédisent un passage à l'horizon pour t fini

Ben non, elles ne "prédisent" rien de tel. Elles sont telles que pour un passage de l'horizon T est fini (T en KS, pas le t en Schw.).

et que si on établit les coordonnées de Schwarzschild (r;t) à partir de KS (X;T) On ne retrouve pas ce passage à l'horizon?

Ben non, on ne le retrouve pas, parce que les coordonnées de Schw ne couvrent pas les événements "passage de l'horizon". Le changement de coordonnées KS vers Schw diverge pour X=+/-T, car e^{-t} = (T+X)/(T-X) en région I.

[mach3]

Ce qui m'étonne c'est que les coordoonées KS (X;T) soient issues des coordonnées de Schwarschild (r;t), qu'elle prédisent un passage à l'horizon pour t fini et que si on établit les coordonnées de Schwarzschild (r;t) à partir de KS (X;T) On ne retrouve pas ce passage à l'horizon?

complétement dans les choux... Dans les coordonnées de Schwarzschild, l'horizon est franchi pour une coordonnée t (CE N'EST PAS LE TEMPS) infini, mais qui correspond à une durée propre finie pour l'objet. Dans les coordonnées de KS, on n'utilise plus la coordonnée t, mais une autre T (CE N'EST TOUJOURS PAS LE TEMPS) et le changement de coordonnée fait que l'horizon est franchi pour une coordonnée T fini. t et T sont des étiquettes arbitraires.

m@ch3

[Zefram Cochrane]

avec

[Fallait pas demander si le calcul mis comme ça ne dit rien...]

Je pourrais avoir une appliquation numérique STP
J'aimerai faire un diagramme

[Amanuensis]

J'ai oublié...

La question est si est une géodésique... Réponse, non car l'accélération propre est non nulle si X_0 non nul.

[Amanuensis]

Je pourrais avoir une appliquation numérique STP
J'aimerai faire un diagramme

Je ne comprends pas. Suffit de remplacer les variables par des valeurs numériques.

Affecter une valeur numérique à X_0, une à T, et utiliser les formules données pour avoir l'accélération propre.

[Zefram Cochrane]

complétement dans les choux... Dans les coordonnées de Schwarzschild, l'horizon est franchi pour une coordonnée t (CE N'EST PAS LE TEMPS) infini, mais qui correspond à une durée propre finie pour l'objet. Dans les coordonnées de KS, on n'utilise plus la coordonnée t, mais une autre T (CE N'EST TOUJOURS PAS LE TEMPS) et le changement de coordonnée fait que l'horizon est franchi pour une coordonnée T fini. t et T sont des étiquettes arbitraires.

m@ch3

Tu es en train de me dire que la coordonnée t qu'on trouve dans X(r,t) et T(r,t) est la durée de chute libre d'un objet depuis une altitude r? et non pas le t de (1-Rs/r)cdt² - dr²/(1-Rs/r) ?
C'est à se demander à quoi correspond alors la coordonnée r qui ne correspond pas j'imagine à r dans l'équation de la métrique de Schwarzschild non plus?

[Amanuensis]

complétement dans les choux... Dans les coordonnées de Schwarzschild, l'horizon est franchi pour une coordonnée t (CE N'EST PAS LE TEMPS) infini, mais qui correspond à une durée propre finie pour l'objet. Dans les coordonnées de KS, on n'utilise plus la coordonnée t, mais une autre T (CE N'EST TOUJOURS PAS LE TEMPS)

Rien n'est LE TEMPS, alors préciser que quelque chose ne l'est pas n'est pas très utile.

Par contre t et T sont bien des temps, comme toute coordonnée temporelle de n'importe quel système de coordonnées, à l'instar de t dans les coordonnées de Minkowski ou le temps comobile (qu'il y ait coïncidence dans ces deux cas avec un temps propre des immobiles est accessoire, pas suffisant pour distinguer LE TEMPS et un temps).

[Amanuensis]

Tu es en train de me dire que la coordonnée t qu'on trouve dans X(r,t) et T(r,t) est la durée de chute libre d'un objet depuis une altitude r? et non pas le t de (1-Rs/r)cdt² - dr²/(1-Rs/r) ?
C'est à se demander à quoi correspond alors la coordonnée r qui ne correspond pas j'imagine à r dans l'équation de la métrique de Schwarzschild non plus?

Complètement à l'ouest.

Faudra un jour que certains passent le pas et arrêtent d'essayer de faire de la RG en attribuant des significations "classiques" aux coordonnées. Cela s'applique au t des coordonnées de Schw, mais s'applique tout autant au "r" des coordonnées de Schwarzschild: non, ce n'est pas une distance au centre. (La meilleure définition est que 4π r² est l'aire de la surface t et r fixés et θ, φ variables. Cela a un sens physique, la distance au centre n'en a pas.)

[mach3]

Rien n'est LE TEMPS, alors préciser que quelque chose ne l'est pas n'est pas très utile.

Ben si, c'est utile, vu que certains lecteurs/participants pourraient penser que le t de schwarzschild est LE temps... par mauvaise habitude Newtonienne (voire Aristotélicienne...) notamment.

Par contre t et T sont bien des temps, comme toute coordonnée temporelle de n'importe quel système de coordonnées, à l'instar de t dans les coordonnées de Minkowski ou le temps comobile (qu'il y ait coïncidence dans ces deux cas avec un temps propre des immobiles est accessoire, pas suffisant pour distinguer LE TEMPS et un temps).

Je préfère appelé t ou T des temps coordonnées que des temps "tout court". Toujours pour bien marquer la différence.

Je répète pour Zefram, parce que tout est compris de travers :
- les coordonnées de Schwarzschild sont r et t (ce n'est pas la distance au centre et ce n'est pas le temps propre d'un objet qui tombe sur l'astre)
- les coordonnées de KS sont X et T (ce n'est pas non plus une distance ou le temps d'un objet qui tombe sur l'astre)
- un objet qui tombe sur le trou noir atteint l'horizon en une durée propre finie, qui ne correspond ni à la variation de coordonnée t, ni à la variation de coordonnée T durant la chute
- quand l'objet atteint l'horizon, le temps coordonnée t est infini alors que le temps coordonnée T est fini.

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Ma question est à quelles coordonnées t et r dans KS correspondent t'elles? à quoi peut on les associer dans la métrique de Schwarzschild?

[mach3]

Je comprends même pas la question...

On reprend tout depuis le début. On considère un univers vide, sauf en un point avec une masse. On a une symétrie sphérique et la situation est statique. On résout l'équation d'Einstein et on obtient la métrique de Schwarzschild, généralement exprimée dans les coordonnées (t,r,theta,phi) de Schwarzschild, coordonnées choisies de façon à ce qu'elles ressemblent aux coordonnées sphériques classiques quand r très grand.
On étudie les géodésiques de la métrique de Schwarzschild, on trouve que les objets en chute libre atteignent la coordonnée r=rs quand la coordonnée t tend vers l'infini. On mesure la longueur de ces géodésiques (à partir d'un point de départ arbitraire of course) et on trouve une longueur (=temps propre de l'objet) finie. On est embêté par la région pour r<rs : les géodésiques arrivent de r=rs et t=infini et finissent en r=0 et t=constante finie. Le choix de coordonnées de Schwarzschild n'est pas pertinent pour les r petits. On change de système de coordonnées en définissant des coordonnées X et T, fonctions des r et t. Telle que définie, la coordonnée T a une valeur finie quand t est infini, de plus une géodésique suit les T croissants, même si elle passe l'horizon, ce qui est quand plus pratique en terme de compréhension.

m@ch3

[Amanuensis]

Ben si, c'est utile, vu que certains lecteurs/participants pourraient penser que le t de schwarzschild est LE temps... par mauvaise habitude Newtonienne (voire Aristotélicienne...) notamment.

La manière de le dire va alors à l'encontre du but. Car dire "ceci n'est pas LE TEMPS" laisse penser qu'il existe quelque chose d'autre qui est LE TEMPS. Surtout avec l'emphase donnée par les majuscules...

Je préfère appelé t ou T des temps coordonnées que des temps "tout court". Toujours pour bien marquer la différence.

La différence avec quoi, le temps newtonnien? Mais le temps newtonnien est aussi un temps coordonnée. (Il est peut-être plus, mais il est au moins un temps coordonnée...)

- quand l'objet atteint l'horizon, le temps coordonnée t est infini alors que le temps coordonnée T est fini.

(Ce n'est pas du pinaillage.) Non, le temps t n'est pas infini. "Quand l'objet atteint l'horizon" n'a pas de sens en coordonnées de Schwarzschild, et la coordonnée t tend vers l'infini sans que l'objet atteigne l'horizon. On ne peut pas jouer comme ça avec l'infini sans risque.

Par exemple, il semble que quelqu'un en tire l'idée que tous les objets atteignent l'horizon "en même temps", ce qui n'est pas le cas comme c'est parfaitement visible en coordonnées de KS. L'égalité entre deux valeurs "infinies" n'a ici pas le sens d'une égalité "physique", un piège de l'infini comme il y en a beaucoup. Les mathématiciens ont inventé la notion de "tendre vers une limite", pas pour rien.

[Amanuensis]

On reprend tout depuis le début. On considère un univers vide, sauf en un point avec une masse.

Nan. Vide, point. Vide en tout événement de la variété qu'est l'espace-temps.

On a une symétrie sphérique et la situation est statique.

Pourquoi statique? (En plus ce n'est pas le cas, dans la partie intérieure, la géométrie de Schwarzschild n'est pas statique, même pas stationnaire.)

Le choix de coordonnées de Schwarzschild n'est pas pertinent pour les r petits.

Pourtant c'est présenté dans tous les textes. MTW compris (puisqu'il sert de référence...)

On change de système de coordonnées en définissant des coordonnées X et T, fonctions des r et t. Telle que définie, la coordonnée T a une valeur finie quand t est infini

Non, pas une, des.

, de plus une géodésique suit les T croissants, même si elle passe l'horizon, ce qui est quand plus pratique en terme de compréhension.

Les coordonnées KS sont bien plus que ça: elles donnent une carte complète, non extensible. Au sens où quelle que soit la ligne d'Univers (pas seulement les géodésiques), si elle atteint une limite de la carte en temps propre finie, alors c'est sur une des deux singularités de courbure. I.e., il n'y a pas de ligne d'Univers qu'on pourrait prolonger sur une autre carte.

[Mailou75]

Salut,

Sympa!

Déjà bravo pour le travail

Merci (j'avoue j'en ai bavé)

Je suis quand même un peu étonné de voir que dans le diagramme KS les verticales de bleues touchent l'horizon en T=Xr tandis que sur le diagramme de Schwarzschild, les lignes bleu se rejoigne à t=+oo

C'est très simple pourtant, dans le repère de KS ce sont les diagonales qui marquent le temps et qui s'inclinent de plus en plus, entre l'horizontale t=0 et la diagonale à 45° t=oo. Au départ l'angle est grand pour une unité de temps (Rs/c par exemple) entre deux diagonales mais il se réduit de plus en plus sans jamais être nul, alors que chez Schw les parallèles à la l'horizontale rouge sont espacées régulièrement.
Quand sur le graph de KS tu vois deux droites bleue et verte se croiser sur l'horizon (comme pour le rectangle gris en bas de la figure) c'est qu'elles se croisent à t=oo. Il est donc parfaitement normal de les supposer à l'infini vertical de l'axe t chez Schw.

Si je me réfère à Rindler et par équivalence avec KS, les verticales des point A B C sur le premier schéma de Mailou, correspondent à des observateurs en chute libre (...)

Non, stp. Il a été dit que la comparaison ne peut être que "qualitative" car le z+1 n'est pas constant chez Rindler.

Ma question est à quelles coordonnées t et r dans KS correspondent t'elles? à quoi peut on les associer dans la métrique de Schwarzschild?

r et t dans les formules de KS sont les mêmes que chez Schw
axe t (en secondes) est le temps propre de l'observateur à l'infini
axe r (en mètres) est la distance qu'il mesure entre deux évènements le long d'une droite synchronisée (= espace)
r et t constants deviennent des hyperboles et des diagonales chez KS (comme indiqué en rose pour repérer l'évènement "point rose"

Toutefois je rejoins Amanuensis sur le fait qu'en Rs il vaut mieux parler de la surface du trou noir comme 4.Pi.Rs², qui vu de l'extérieur correspondrait à une sphère de rayon Rs. Mais à l'intérieur la valeur en tant que distance n'a vraisemblablement plus beaucoup de sens..

.......

On peut commencer par regarder ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics , où on trouve la relation entre r et t (coord. de Schwarzschild) pour une géodésique radiale de genre temps : https://wikimedia.org/api/rest_v1/me...079cfd87d50473

Lourd ce lien merci, j'ai déjà croisé quelques unes de ces formules, il va falloir prendre le temps de déchiffrer tout ça... erf

les coordonnées de KS sont X et T (ce n'est pas non plus une distance ou le temps d'un objet qui tombe sur l'astre)

C'est aussi ce que je pense... jusqu'ici T ne correspond au temps propre d'aucuns des observateurs étudiés. Ce n'est qu'un système de coordonné comme on pourrait en inventer mille et "transposer" les évènements, on aurait pu les appeler Y et Z. Le fait de les nommer X et T est trompeur, a priori (et à semé le trouble chez Zef). MAIS il semblerait que tout les observateurs n'ont pas été étudiés, et si je ne me trompe pas Amanuensis a dit que c'était la valeur du temps propre des observateurs suivant une trajectoire purement verticale chez KS (les bleues). Ca serait assez logique que ce soit "leur" référentiel puisque c'est leur ligne d'univers (et parallèles) qui sert d'axe de temps

Merci à vous
Mailou

[Amanuensis]

Amanuensis a dit que c'était la valeur du temps propre des observateurs suivant une trajectoire purement verticale chez KS (les bleues). Ca serait assez logique que ce soit "leur" référentiel puisque c'est leur ligne d'univers (et parallèles) qui sert d'axe de temps

Je ne crois pas avoir écrit cela, désolé si je me suis mal fait comprendre (ou alors c'était à une époque où je me trompais). Un temps propre d'un mouvement X=0 et radial (= à theta et phi constant) n'est pas proportionnel à T. Facile à voir sur la métrique.

[Mailou75]

Trouvé !! T=Tau est le temps propre de tous les observateurs en chute libre.
Le temps de fabriquer quelques preuves + retrouver l'equation de la trajectoire si y'a moyen et je vous link ça

[Mailou75]

Bon pas moyen d'obtenir une fonction simple toujours pour la meme raison, Xr n'est pas reversible. Par contre je pourrais vous la donner en parametrée (theta), facile. Sauf que ca veut dire que pour tout calcul numerique precis il faudra passer par Schw, il ne sera pas possible de retrouver directement les valeurs (r;t) depuis une trajectoire quelconque (X;T). Ce n'est pas catastrophique simplement si on doit calculer plus tard "numeriquement" des intersections de trajectoires il faudra le faire chez Schw. Bon, je re dans qq jours ^^

[Mailou75]

Humm... je me suis avancé un peu vite sur le "facile", oubliez les deux derniers posts

[Mailou75]

Chute libre de Schwarzschild vers Kruskal

Chute libre chez Schwarzschild

La chute libre radiale définit le mouvement d'un objet lâché depuis une altitude R_max(=1,9Rs pour l'exemple) attiré par une masse et ici on ne fixera pas d'arrivée puisqu'on vise le centre du trou noir. La courbe du temps propre a quelque chose de "magique" dans le sens où elle vaut pour n'importe quelle hauteur de chute vers n'importe quelle masse, il suffit d'en adapter les unités ou de la déformer selon et/ou . (Elle vaut aussi évidement pour une ascension, c'est celle qu'on utiliserait pour calculer la trajectoire d'un caillou qu'on jette en l'air)

En fixant un paramètre et une constante

la valeur du temps propre du voyageur en chute libre est



la valeur du temps coordonnée de l'observateur à l'infini est



(et un observateur fixe à une altitude mesurera)



c'est la courbe bleue, le voyageur en chute libre traverse l'horizon à 3,29 Rs/c (~33μs si le trou noir pèse une masse solaire, Rs~3km~10μs.lumière) et atteint la singularité à 4,11 Rs/c (~41μs ...). Sa trajectoire est ponctuée d'unités de temps (0,1Rs/c), celui ci se lit sur l'axe t.

c'est la courbe verte, l'observateur à l'infini voit celui en chute libre tomber indéfiniment vers le trou noir sans jamais passer l'horizon. Cette courbe est issue de la courbe bleue à laquelle deux facteurs s'appliquent : le ralentissement local du temps RG du à la masse ET le ralentissement relatif de la RR du à la vitesse de chute. Elle ne dit rien sur "quand" l'observateur verra le voyageur puisque si il est à l'infini ça peut prendre un certain temps... mais elle dit "comment" il le verra : la durée entre le départ Rmax et une altitude sera donnée par (comme > il y aura redshift)
Ne me demandez pas ce que signifie la trajectoire en temps inversé à l'intérieur... je sais juste qu'elle a une valeur finie de 5,81Rs/c (~58μs)


Chute libre chez Kruskal

Tout d'abord il faut comprendre que la trajectoire qu'on va obtenir n'a rien d'absolu comme l'est celle de Schw mais elle est dictée par la position verticale d'une échelle de temps (à droite dans Schw) qui est la même que mais avec une référence zéro décalée. D'une certaine façon KS permet de regarder Schw "à la loupe", la région visée est précise mais le reste est déformé.
Par exemple si on fait coïncider les origines de et on trouvera une trajectoire qui part de l'axe X à t=0 en 1,9Rs et qui suit quasiment une hyperbole mais moins courbe puisque l'objet finit par tomber et la trajectoire s'éloignera quand même "vers l'infini" avec les hyperboles.. bref ce n'est pas là qu'il faut poser la "loupe".
J'ai choisi pour positionner de prendre l'évènement d'arrivée t=5,81 Rs/c à t'=Rs/c mais comme vous l'aurez compris c'est purement arbitraire. Donc sans vouloir vous induire en erreur, la courbe verte n'a aucune raison de coïncider avec l'horizontale rouge Rs/c. La conséquence de ce choix est qu'on ne voit pas le départ... je l'ai tracé, mais il est trop loin sur la feuille, imaginez le plus bas le long de 1,9 Rs. Une conclusion s'impose, la prochaine fois on sautera de plus bas !

Pour expliquer comment on transpose un évènement de Schw vers KS je vais m'aider de l'exemple tracé pour =2,5 (Rs/c)
On part de l'échelle et on prend le point valant 2,5 sur la courbe bleue, puis on le projette sur la courbe verte : c'est l'évènement [voyageur en r1 à 2,5] vu par l'observateur à une durée t1 après le départ (le départ étant fixé au 0 de t') . C'est ce point qu'on va transposer chez KS avec l'étiquette "temps propre du voyageur"

La construction montre comment on va retrouver le point à l'intersection entre l'hyperbole r1 et la diagonale de temps t1 en passant par la courbe Xr, mais en fait à partir de là les formules de base et en fonction de et marchent très bien, voir post#1 (d'ailleurs pour t je n'ai pas le choix, je m'épargne juste r). J'ai indiqué aussi le tracé d'un point en dessous de Rs (à =3,5) avec r2 et t2.

On retrouve donc ainsi "une" (aléatoire) trajectoire complète du voyageur dans l'espace temps 1D+t courbe rouge !
Passage de l'horizon à ~3,3 et arrivée à la singularité à ~4,1 prévoyez les maillots il fait chaud !

Merci pour vos réactions
Mailou

[Amanuensis]

Annulé........

[Mailou75]

NB
Il faut noter plusieurs choses :
- d'abord le passage de l'horizon ne se fait pas à c comme on peut souvent le lire mais il se fait à (z+1)c où z+1 est l'effet Einstein (ralentissement du temps) à l'altitude de départ. Dire que le voyageur traverse l'horizon à c est un raccourci car au delà de quelques Rs le z+1 vaut ~1. La logique veut donc qu'un voyageur situé sur l'horizon allant à (z+1)c puisse s'écarter du trou noir... Pas s'en échapper car il ne va pas a Vlib locale =c mais du moins remonter jusqu'à 1,9Rs avant de retomber. L'affirmation "rien ne sort d'un trou noir" est donc pour moi a réviser

-ensuite, pour la représentation précédente, si j'avais fixé le zéro de t' a 5,81Rs/c alors la trajectoire aurait abouti sur la singularité à t'=0 cad sur l'axe T. Et si le zéro dépasse cette valeur alors l'arrivée se ferait à gauche de l'axe T. Juste pour clarifier le côté aléatoire de cette construction

Merci
Mailou

[Amanuensis]

- d'abord le passage de l'horizon ne se fait pas à c comme on peut souvent le lire mais il se fait à (z+1)c où z+1 est l'effet Einstein (ralentissement du temps) à l'altitude de départ. Dire que le voyageur traverse l'horizon à c est un raccourci

C'est surtout vide de sens si on ne précise pas le référentiel (un système de coordonnées, plus rigoureusement) (1). La notion de vitesse est relative à un référentiel, et ne peut pas être employée en absolu comme dans ces phrases.


(1) Et il n'y a aucun système de coordonnées relativement auquel le passage se fait à c !!! Soit on a un système de coordonnées (une carte) couvrant le passage (cas des coordonnées de KS), et le passage est à vitesse <c pour cette carte ; soit la carte ne représente pas le passage (cas des coordonnées de Schw.), et on peut à la rigueur parler d'une vitesse tendant vers c, mais pas de la vitesse au passage.