Coordonnées de Kruskal-Szekeres

[Mailou75]

Bonsoir,

Suite à un récent fil qui relançait le sujet des coordonnées de Kruskal-Szekeres, je me suis replongé dedans et j'ai enfin compris comment ca marche !! Enfin je crois... Je me permets donc d'ouvrir ce fil pour essayer d'"approfondir" la question des trous noirs !

Les coordonnées de KS sont définies comme suit :

EXTERIEUR




INTERIEUR




Figure de gauche

Pour commencer on va s'intéresser à la partie extérieure. La première étape consiste à tracer la "carte" de l'observateur éloigné (à l'infini)
r est la coordonnée spatiale mesurée en mètre pour l'observateur à l'infini et les coordonnées sont notées en multiples de Rs. Pour l'exemple j'ai pris Rs=3km soit un TN d'environ une masse solaire Ms, on aura donc 2Rs=6km etc..
t est la coordonnée de temps de l'observateur à l'infini. Le long d'une diagonale (pointillés) on trouvera des "âges de l'espace" toujours égaux.

Pour tous r et t il existe des coordonnées X et T obtenues grâce au formules citées.
On constate que les coordonnées fixes (r) vont suivre des hyperboles et le temps (t) sera lu aux intersections avec les diagonales pointillées.
Les pointillés représentent simplement l'évolution de l'espace au cours du temps.
(Le dessin reste juste pour tout TN, seule l'application numérique Rs=3km donne Rs/c~10μs : microsecondes)

Figure de droite

Mais cette carte n'est valable que pour l'observateur à l'infini, car tout le monde ne compte pas autant que lui, ceux qui sont proches du trou noir ont un temps "ralenti" par rapport à lui, d'un facteur z+1 : Effet Einstein dont les effets sont similaires à un Effet Doppler du même facteur, mais qui s'applique à des objets statiques !
Donc le long de chaque coordonnées fixe (r) on doit indiquer le temps propre d'un objet stationnaire (cad qui subit une accélération) : il vaut par exemple t_A=t*z+1 où z+1=racine(1-Rs/r_A). On doit donc tracer les états de l'espace (pointillés) pour chaque valeur de r et donc chaque valeur de z+1 (z+1_A etc..).

On obtient alors les lignes d'univers des objets à r constant, graduées de leur temps propre t(r). On va faire une petite conversion pour avoir des "unités" faciles à manipuler (en gris clair de 0 à 30, ex : "C compte jusqu'à 10..." ). Et là je ne vous cache pas que les valeurs 1,4Rs, 1,9Rs et 2,4Rs ne sont pas choisies au hasard, elles permettent de trouver une "approximation" pour se faire moins mal au crâne par la suite ! Le long de la ligne pointillée noire, pour laquelle l'observateur à l'infini compte ~13,1 on voit que A, B et C comptent respectivement jusqu'à (environ) 7, 9 et 10.
-----

[Mailou75]

Et c'est seulement une fois qu'on a fait la démarche précédente qu'on peut comprendre à quoi ça sert Kruskal !!

Si on reprend nos trois objet "fixes" A, B et C alors on peut tracer entre eux des rayons lumineux à 45°. La figure traduit alors à la fois le temps de parcours (Effet Shapiro ??) entre deux points et le red/blueshift induit par l'Effet Einstein. Comme il n'y a pas grand chose d'autre à dire, je vais vous faire le détail

REDSHIFT

A émet vers B
A émet entre 0 et 7 un message reçu par B entre 18 et 27 (soit une durée 9)
B voit donc le film de A ralenti/redshifté d'un facteur z+1_AB=9/7

B émet vers C
B émet entre 5 et 14 (=9) un message reçu par C entre 20 et 30 (=10)
C voit donc le film de B ralenti/redshifté d'un facteur z+1_BC=10/9

BLUESHIFT

C émet vers B
C émet entre 0 et 10 un message reçu par B entre 13 et 22 (=9)
B voit donc le film de C accéléré/blueshifté d'un facteur z+1_CB=9/10

B émet vers A
B émet entre 0 et 9 un message reçu par A entre 14 et 21 (=7)
A voit donc le film de B accéléré/blueshifté d'un facteur z+1_BA=7/9

Finalement c'est simple ! allez ca mérite une petite danse !!

............

A suivre : l'intérieur ? les trajectoires autres que lumière ?

Merci d'avance pour votre aide
Mailou

[invite6bfdf32a]

Jolis graphiques! Je n'ai aucune idée de leur validité car je ne m'intéresse pas à ce système de coordonnées Mais si c'est juste joli travail.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
Je ne sais pas si cela peut aider mais avec Rindler on obtient des graphique très similaire tant sur la forme que pour la description.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Ce qui est assez normal quand on comprend que l'horizon est un cône lumière...

Une trajectoire accélérée permet de rester indéfiniment en dehors d'un certain cône lumière ; cas de Rindler.

Rester dans la région I d'un trou noir, c'est aussi rester indéfiniment en dehors d'un certain cône lumière.

Si on dessine les deux cônes lumière de la même manière, les trajectoires restant à l'extérieur se ressembleront.

[Mailou75]

Salut

Jolis graphiques! Je n'ai aucune idée de leur validité car je ne m'intéresse pas à ce système de coordonnées Mais si c'est juste joli travail.

Merci, vu la logique suivie et les résultats obtenus qui correspondent au poil d'approximation près (7, 9, 10) j'ai du mal à croire que c'est une coïncidence

Bonjour,
Je ne sais pas si cela peut aider mais avec Rindler on obtient des graphique très similaire tant sur la forme que pour la description.

Ouep, avec Minkowski aussi, toujours les mêmes hyperboles qui ont des rôles différents. C'est un des axes de travail que j'envisage, comparer les courbes de Rindler avec celles de Kruskal voir si il y a une corrélation dans les valeurs entre a constant et r constant, puisque pour être à r constant il faut accélérer !

Si on dessine les deux cônes lumière de la même manière, les trajectoires restant à l'extérieur se ressembleront.

Promis dès que j'ai le quart de la figure qui fonctionne (y compris intérieur) je fais les trois autres "miroirs"

....

PS : En fait j'aurais du prendre Rs=6km comme ça on aurait eu 10=10μs (et pas 10=5μs qui rend la figure 2 "trouble", dommage..)
Et un erreur s'est glissée, comme toujours il ne faut pas lire sur les pointillés ex : 5μs*z+1 mais 5μs/z+1 (à cause du calcul du z+1<1 qu'on peut faire dans les deux sens.. bref)

[Zefram Cochrane]

Je te ferais un truc sur Rindler,

[Zefram Cochrane]

Salut,
Soit Bleu situé à Ro= 30 000 000s.l de l'étoile.
Soit Rouge situé à Rq=20 000 000s.l de l'étoile
Soit Vert situé à Rp =40 000 000s.l de l'étoile.

Tu as :









Dans les coordonnées Ks, il semblerait qu'il faille mettre les coordonnées sous la forme :



car si on ne le faisait pas, on aurait pas un horizon commun pour Bleu Rouge et Vert puisque dans ct/2Rs , t désigne une coordonnée temporelle commune au trois observateurs et 2Rs est commun aussi.

[Mailou75]

Salut Zef,

Euh... what is it ?

C'est quoi Rh, c'est quoi Ks ? Comment tu obtiens les temps propres de R, V et B ? Tu as une application numérique qui va avec ?

Rien qu'à voir le schéma j'ai des doutes... le long d'une hyperbole chez Rindler ce qui s'additionne proportionnellement à l'angle hyperbolique c'est soit le temps propre du voyageur, soit sa rapidité (Eta, pas sa vitesse Beta.c hein...), d'ailleurs on a Eta=a. Tau/c ils sont proportionnels.
Tu n'as pas osé écrire "c" sur le dernier point bleu ? (Les valeurs que tu notes s'apparentent à du Minkowski d'ailleurs...)

Essaye de "communiquer" ce que tu veux faire au moins, parce que qq formules obscures + un schéma pas annoté + zero explication... bof

Merci
Mailou

[Mailou75]

Apres reflexion, ce ne sont pas des angles hyperboliques, ni 10 x 4,5°, mais des droites qui coupent ta verticale et 10 segments egaux (construction qui s'apparente à Minko comme je le disais). Mais tu as raison, à l'intersection entre ces droites et les hyperboles on trouve bien des vitesses, j'aurais appris un truc merci

Bon ca ne répond pas à tout le reste...

[Amanuensis]

Ce que vous faites est utiliser les coordonnées de KS (=Kruskal-Szekeres) pour étudier des mouvements r constant pour les "petits" r, qu'on peut voir comme des trajectoires fortement accélérées pour éviter de tomber et passer l'horizon.

D'où la parenté avec les coordonnées de Rindler.

Une donnée intéressante serait d'ailleurs d'indiquer l'accélération propre des trajectoires r constant montrées sur les schémas! (L'accélération en coordonnées (t, r) de Schwarzschild est évidemment nulle. L'accélération en coordonnées de KS est en relation avec la courbure des trajectoires sur les dessins: déjà un peu plus significatif, du moins pour X petit.)

Les coordonnées de KS ne sont pas "faites pour ça". L'intérêt des coordonnées de KS est au contraire les trajectoires passant l'horizon, et en particulier proche du "centre", ces événements dont les coordonnées de KS sont T=0 et X=0. Et aussi pour travailleur sur l'intérieur, ce qu'il y a au-delà de l'horizon, la région II.

Bref, ces diagrammes sont intéressants, mais plus par la parenté que cela montre avec les observateurs accélérés de Rindler qu'autre chose. Une sorte d'illustration d'une sorte de principe d'équivalence, entre accélération en espace-temps plat (Rindler) et "immobilité" en champs gravitationnel fort (trajectoires r=0 dans l'espace-temps de Schwarzschild).

Cela ne permet pas de "comprendre les coordonnées de Kruskal-Szekeres", seulement de visualiser d'une manière plus propre les trajectoires r=0 pour les valeurs de r commensurables à Rs.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
en exprimant les distances en s.l on a g°=c/Rh où Rh est la distance en s.l séparant l'observateur de l'étoile à T=0s c'est-à-dire au départ.
Rh=Rq pour Rouge, =Ro pour Bleu et = Rp pour Vert.

Pour établir ce graphique.
Je prends comme variable U que je fait varier de 0 à 0.9 (sur le schéma le dernier point Bleu correspond à U=0.95c). Je calcul la rapidité u° = Atanh(U). on a Tau_r=Rq*u° \ Tau_b =Ro*u° \ Tau_v=Rp*u°
mes coordonnées sont :
Xr = Rq * Cosh(u°) et Tr = Rq * Sinh(u°) \ Xb = Ro * Cosh(u°) et Tb = Ro * Sinh(v°) \ Xv = Rp * Cosh(u°) et Tv = Rp * Sinh(u°) .

Dans tous les cas, la vitesse U atteinte par Rouge , Bleu et Vert donne U=Tr/Xr = Tb/Xb =Tv/Xv .

Comme on peut clairement superposer les schémas parce que comme le souligne Amanuensis, il s'agit d'une sorte d'illustration du principe d'équivalence et quand je regarde l'article de 1911 qui se trouve être ma signature; j'ai même l'impression qu'il s'agit du principe d'équivalence formellement développé, sans approximation.

A priori l'accélération propre serait défini pour KS par g°= c/(2*Rs).

Ce que je vais faire c'est construire le schéma :

[Nicophil]

Bonjour,

comme le souligne Amanuensis, il s'agit d'une sorte d'illustration du principe d'équivalence et quand je regarde l'article de 1911 qui se trouve être ma signature; j'ai même l'impression qu'il s'agit du principe d'équivalence formellement développé, sans approximation.

De l'influence de la pesanteur sur la propagation de la lumière : la lumière ne se propage plus selon une droite euclidienne dès lors qu'il règne un champ de pesanteur, que celui-ci soit dû à l'accélération de l'observateur ou à la masse-énergie.

[Mailou75]

Salut,

Ce que vous faites est utiliser les coordonnées de KS (=Kruskal-Szekeres) pour étudier des mouvements r constant pour les "petits" r, qu'on peut voir comme des trajectoires fortement accélérées pour éviter de tomber et passer l'horizon.
D'où la parenté avec les coordonnées de Rindler.
Une donnée intéressante serait d'ailleurs d'indiquer l'accélération propre des trajectoires r constant montrées sur les schémas!

J'ai commencé à regarder mais ça ne colle pas on dirait... tu prends quoi pour g : g(r)=GM/r² ?

Si on part du résultat donné par KS : pour une masse solaire (Rs=3km), quand l'observateur éloigné compte ~13,1μs celui à 1,4Rs compte 7μs (les deux évènements appartenant à l'espace synchronisé) Alors chez Rindler on calcule g(1,4Rs)~9,36.10¹¹m/s² et on cherche jusqu'à combien compte un observateur statique par rapport à celui qui est accéléré à g : Si le voyageur compte T=7μs alors l'observateur compte t=(c/g)sinh(gT/c)~7μs + epsilon... on est dans les choux de 10 ordres de grandeur

Les coordonnées de KS ne sont pas "faites pour ça". L'intérêt des coordonnées de KS est au contraire les trajectoires passant l'horizon, et en particulier proche du "centre", ces événements dont les coordonnées de KS sont T=0 et X=0. Et aussi pour travailleur sur l'intérieur, ce qu'il y a au-delà de l'horizon, la région II.

C'est au programme, dès qu'on a compris l'extérieur on passe à l'interprétation de l'intérieur.
Et si on sait un jour tracer des trajectoires autres que c, j'en serai ravi

....

@Zef
J'ai peur que tu ne t'arrêtes à la construction de la trajectoire chez Rindler en supposant que l'objet est à une distance c²/g de "l'étoile" et qu'il subit une accélération g (qui n'a rien a voir avec GM/r² !!), car finalement si ce n'était pas une étoile ca ne changerait rien

Mailou

[Mailou75]

Et je crois savoir pourquoi on est dans les choux...

Chez Kruskal le z+1 est du à l'effet Einstein il est donc CONSTANT et toujours égal : le rapport de temps propres vaut toujours T/t=z+1(r)

Chez Rindler le z+1 est du à l'Effet Doppler, à la vitesse donc et pas à l'accélération ! Le rapport z+1 va évoluer au fur et à mesure que la vitesse augmente, donc plus le temps avance, plus la vitesse est grande et plus le décalage augmente. Le décalage total va donc dépendre directement du temps qui est compté, on a seulement de façon infinitésimale T/t=z+1(v) où v est la vitesse instantanée.

Les deux graphs, bien qu'il soit séduisant de le comparer (et on pourrait aussi comparer les hyperboles au temps propre constant chez Minko) ne disent pas du tout la même chose. C'est du moins ma conclusion pour ce soir...

@Zef :
Stp une application numérique plutôt qu'une page de formules

A+

[Mailou75]

@Zef

en exprimant les distances en s.l on a g°=c/Rh où Rh est la distance en s.l séparant l'observateur de l'étoile à T=0s

> Oui chez Rindler la coordonnée d'espace est (ou c/g en seconde.lumière)
Mais par contre l'accélération de gravitation g ne vaut pas c/r, quelles que soient les unités !!

Je prends comme variable U que je fait varier de 0 à 0.9 (sur le schéma le dernier point Bleu correspond à U=0.95c).

> Appelle le dans ce cas

Je calcule la rapidité u° = Atanh(U)

> Apelle la dans ce cas...

on a Tau_r=Rq*u°

> Avec et on a bien (avec le c que tu as viré au début)

Xr = Rq * Cosh(u°) et Tr = Rq * Sinh(u°)

> Par définition chez Rindler

Dans tous les cas, la vitesse U atteinte par Rouge (...) donne U=Tr/Xr

> C'est ce que m'a appris ta figure
En tout cas tout ceci reste du Rindler où tu t'es amusé à changer la notation (merci pour le mal de crâne...)
A aucun moment les données de Schwarzchild ne sont prises en compte

A priori l'accélération propre serait définie pour KS par g°= c/(2*Rs).

> Pour qui ??

Ce que je vais faire c'est construire le schéma :



> Je te parie que si tu pose tu auras démontré Kruskal... on arrête ce jeu stp

......

Je me rends compte que j'avais déjà fait l'exercice en plus : http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post4521787
La figure de droite est une transposition de Rindler appliqué au trou noir dans un espace temps de Mikowski, rien à voir avec Kruskal donc !!

....

@Amanuensis

Question : L'accélération de gravitation qu'il faudrait noter dans KS sur chaque coordonnée fixe (r) c'est le a donné dans le lien ?
la démonstration est la bonne ?

Merci
Mailou

[Amanuensis]

J'ai commencé à regarder mais ça ne colle pas on dirait... tu prends quoi pour g : g(r)=GM/r² ?

Pas calculé. Mais cela n'a aucune chance d'être cela, ça c'est l'approximation newtonnienne, pour r>>GM

La similitude entre KS et Rindler est seulement qualitative (j'ai écrit "sorte d'équivalence"), aucune raison que l'accélération propre soit constante.

[Amanuensis]

Les deux graphs, bien qu'il soit séduisant de le comparer (et on pourrait aussi comparer les hyperboles au temps propre constant chez Minko) ne disent pas du tout la même chose. C'est du moins ma conclusion pour ce soir...

Je suis d'accord, c'est juste qualitatif. Le point de similitude, accélérer pour rester en dehors du cône futur d'un certain événement, reste.

[Mailou75]

Sault,

La similitude entre KS et Rindler est seulement qualitative (j'ai écrit "sorte d'équivalence"), aucune raison que l'accélération propre soit constante.

Si, dans les deux cas l'accélération est constante, c'est le z+1 qui ne l'est pas, car dans un cas (KS) il dépend de l'accélération (constante) et dans l'autre (Rindler) il dépend de la vitesse (variable).

Si on regarde Rindler du coté de l'accélération perçue a' par l'observateur fixe
avec
alors si celle ci est constante, l'accélération propre a du voyageur ne le sera pas, encore une preuve qu'il ne faut pas le comparer à KS

Pas calculé. Mais cela n'a aucune chance d'être cela, ça c'est l'approximation newtonnienne, pour r>>GM

Que penses tu de cette version ?
On part de la vitesse orbitale relativiste

en utilisant l'accélération centrifuge

(et en supposant l'équilibre) on trouve
soit environ en champ faible


Merci
Mailou

[Zefram Cochrane]

Bonjour Mailou et Amanuensis
Je voudrais savoir si vous avez avancé dans la compréhension des coordonnées KS

Et je voudrais savoir comment Mailou est arrivé à poser les 2 premères équation du fil.
Merci,

[Amanuensis]

Et je voudrais savoir comment Mailou est arrivé à poser les 2 premères équation du fil.

Dans la bonne littérature, par exemple https://en.wikipedia.org/wiki/Kruska...es_coordinates

[Mailou75]

Salut Zef,
C'est la définition des coordonnees KS, y'a juste le "c" qui est présent par rapport aux formules qu'on trouve partout. Je n'aime pas l'éliminer, car ça permet de se raccrocher au concret. (Je ne saurais plus te dire où je les avais trouvées)

Sinon ça avance doucement, p être un link dans le week end si tout va bien

[Zefram Cochrane]

Oui mais là elle sont directement posées.
Comment passe-t'on des coordonnées de Scharzschild à celles de KS ? Quel est le cheminement?

[mach3]

La réponse doit être là : http://journals.aps.org/pr/abstract/...ysRev.119.1743 , malheureusement l'accès est payant. Sinon il y a des infos là-dessus dans "gravitation" de Missner, Thorne & Wheeler, pages 828 à 832 (box 31.2 motivation for Kruskal-Szekeres coordinates). Je n'en suis pas encore arrivé là de ma lecture de ce livre, donc je ne pourrais malheureusement pas vous faire un résumé. Dans quelques mois peut-être...

m@ch3

[Mailou75]

Salut,

Oui mais là elles sont directement posées.
Comment passe-t'on des coordonnées de Scharzschild à celles de KS ? Quel est le cheminement?

Le cheminement complet je ne saurais pas te dire, mais je peux te dire ce qu'elles traduisent pour moi
Chaque coordonnee X ou T se decompose en deux parties :

- la deuxieme (je commence par celle ci car c'est la plus facile) qui est le cosh/sinh de l'angle hyperbolique ct/2Rs dont la seule variable est t. Autrement quand t va doubler, l'angle hyperbolique va aussi doubler. C'est comme quand tu additionnes Tau chez Rindler ou Eta chez Minkovski, les surfaces (angle hyp) sont egales. Ce deuxieme membre n'a donc rien d'exceptionnel...

- la premiere (racine*exp) c'est elle qui joue un role particulier : c'est en gros l'exponentiel des distances (du ratio r/Rs en fait, soit N pour N*Rs et meme N/2 si on chipotte mais ca ne change rien au principe). On a donc l'exponentiel des "distances" mais celui ci est "augmenté" du facteur z+1 local (effet Einstein). La courbe qui donne Xr (c'est comme ca que je nomme l'intersection de l'axe X avec une hyperbole r constant, ce premier membre qui est invariant par la suite puisqu'il ne depend pas de t, Xr est la valeur de X pour t=0) ressemble donc a une exponentielle sauf quand on s'approche du TN, où le z+1 prend une valeur non negligeable et va "allonger" la coube purement exp.

Chaque coordonnée est donc le produit d'un membre (1er) fixant une distance (Xr) par un autre membre (2eme) dependant du temps (cosh(t) en gros...). Le genie de KS est donc surtout dans la definition de Xr qui va permettre de representer tous les observateurs avec leur temps propre et de montrer leur echanges d'informations à c par des droites a 45° (voir message 2 de ce fil). C'est en tout cas comme ca que je l'interprete

En esperant aider plutot qu'embrouiller
Mailou

[Amanuensis]

Peut-être que la question de dériver les coordonnées de KS de celles de Schwarzschild n'est pas la plus pertinente.

Y-a-t'il moyen d'obtenir KS en cherchant une solution du vide sous la forme conforme en x et t et symétrie sphérique, i.e.,

G²(r, t) (dt²-dr²) + S²(r, t) dΩ²

avec G²(r, t) tendant vers 1 et S²(r, t) tendant vers r² quand r tend vers l'infini et t fini (conditions pour Minkowski asymptotique) ?

Si oui (qq'un a une référence?), alors cela justifie KS directement. D'autant plus que (il me semble) si symétrie sphérique alors il existe nécessairement une carte avec métrique de cette forme.

[Mailou75]

J'ai peut être un truc qui te plaira mais pas sur que ça réponde a ta question : KS en coordonnées trigonométriques, toujours "l'autre façon" de voir les choses. Mais c'est pas pour tout de suite il me manque les rayons lumineux sortant pour reproduire l'équivalent de la figure du message 2 complète.. Je link des que c prêt en tout cas

[Zefram Cochrane]

Un truc qui pourrait aider également. Soit Bleu à une distance Rh de 30 000 000 s.l de l'étoile. À T=0s Bleu est amarré à une bouée. A T=0s l'étoile émet unrayon destructeur vers Bleu. Mais comme Bleu accélère continuement à G= 10m/s^2 , le faisceau n'atteindra jamais Bleu. Par contre à T= 30 000 000s le faisceau détruira la bouée. Mais comme Bleu s'éloigne de la bouée en accélérant continuement à G, il ne verra jamais la bouée se faire détruire puisqu'il ne verra jamais le faisceau non plus.

C'est comme si la bouée était en chute libre dans le système de coordonnées de Bleu depuis T=0s et qu'à T= 30000000s, elle disparaissait derrière un horizon des évènements.

[Mailou75]

C'est comme si la bouée était en chute libre dans le système de coordonnées de Bleu depuis T=0s et qu'à T= 30000000s, elle disparaissait derrière un horizon des évènements.

Je suis en train de tracer ce que sont des verticales de Kruskal dans un repère "classique" de Schwarzschild et effectivement ça s'apparente a des trajectoires de chute libre telles que vues par l'observateur a l'infini (a confirmer on verra ca par la suite) Ces memes verticales sont chez Rindler les immobiles. Il se peut donc que ton analogie soit "juste", du moins qualitativement

[Amanuensis]

J'ai peut être un truc qui te plaira mais pas sur que ça réponde a ta question : KS en coordonnées trigonométriques, toujours "l'autre façon" de voir les choses.

Une métrique en dt²-dx² permet directement un passage en "coordonnées trigonométriques", ce n'est pas spécifique aux coordonnées de KS. "Conforme" implique le respect des "angles", ce qui, j'imagine, inclut les "angles hyperboliques".

Des coordonnées conformes sont assez pratiques pour certaines choses. Par contre, pour les géodésiques ça n'a pas l'air facile...