Coordonnées de Kruskal-Szekeres

[Amanuensis]

A l'intérieur on continue de prendre la valeur de Xr

Avec la racine carrée d'un nombre négatif?
-----

[Mailou75]

Salut,

Avec la racine carrée d'un nombre négatif?

Comme tu l'as vu je suis allé un peu vite sur l'intérieur, un peu vite sur tout d'ailleurs, c'est stratégique moins j'en dit moins je dis de c...

Effectivement pour l'intérieur on va prendre ce qui est la coordonnée spatiale intérieure chez KS c'est à dire T' (Kruskal). Mais comme j'ai introduit un autre T' comme partie gauche de la Trigo il tombait mal. En plus je n'ai même pas le T' (Trigo) donc je me taisais provisoirement sur les formules intérieures... si tu y tiens :

INTERIEUR




Comme le nom ne change pas (Xr), ca va finir en valeur absolue (illusion de continuité en prime)

[ordage]

Salut,


Comme tu l'as vu je suis allé un peu vite sur l'intérieur, un peu vite sur tout d'ailleurs, c'est stratégique moins j'en dit moins je dis de c...

Effectivement pour l'intérieur on va prendre ce qui est la coordonnée spatiale intérieure chez KS c'est à dire T' (Kruskal). Mais comme j'ai introduit un autre T' comme partie gauche de la Trigo il tombait mal. En plus je n'ai même pas le T' (Trigo) donc je me taisais provisoirement sur les formules intérieures... si tu y tiens :

INTERIEUR




Comme le nom ne change pas (Xr), ca va finir en valeur absolue (illusion de continuité en prime)

Salut

Quelques éléments sur la forme de métrique de Kruskal:

http://www-cosmosaf.iap.fr/MIT-RG-27.pdf

On appelle r et t les coordonnées de Schwarzschild. Lire à partir de l'équation (80) jusqu'à (85). On y voit en appelant u et v les coordonnées de Kruskal ( que tu appelles X et T) que r est défini implicitement par u et v par une relation du type u²-v² = f(r) voir eq. (81) qui montre que les courbes r = cste sont des hyperboles.

les relations entre les coordonnées de Kruskal et celles de Schwarzschild, u et v sont définies par 78' et 79' par une expression f(r,t) et g(r,t) qui fait intervenir les "valeurs absolues". Ceci n'étant pas un "défaut" des coordonnées de Kruskal (qui sont nativement non singulières sur l'horizon) mais un défaut de celles Schwarzschild qui sont singulières sur l'horizon (les mathématiques ne font pas de miracle).

L'équation (85) v/u = tanh (t/4GM) définit implicitement t . On voit que les lignes t = constante sont des droites.

Après l'équation (85), on représente le diagramme et on discute des régions qu'il définit. Cela peut être utile de le lire.

Cordialement

[Zefram Cochrane]

Salut,
https://en.wikipedia.org/wiki/Kruska...es_coordinates

Ce n'est pas "seulement" Mailou qui appelles les coordonnées u et v : X et T.
Il serait intéressant de donner un sens physique clair de ces coordonnées.
en particulier pour t<0 de la région I

[ordage]

Salut,
https://en.wikipedia.org/wiki/Kruska...es_coordinates

Ce n'est pas "seulement" Mailou qui appelles les coordonnées u et v : X et T.
Il serait intéressant de donner un sens physique clair de ces coordonnées.
en particulier pour t<0 de la région I

Salut
En RG, les coordonnées n'ont aucun sens physique.
Coordialement

[Zefram Cochrane]

Pourquoi tout ce foin autour des diagrammes de Penrose alors?

[Amanuensis]

Parce que ce sont des cartes conformes, représentant donc de manière parlante les géodésiques de genre lumière. La "forme" de l'espace-temps en 4D est essentiellement celle donnée par les cônes de lumière.

C'est quasiment à l'opposé des considérations "métriques", comme manifestées par exemple en cherchant à voir dans des coordonnées quelque chose de "physique" au sens qui mesure quelque chose de particulier.

[Mailou75]

Salut et merci,

Ce n'est pas "seulement" Mailou qui appelles les coordonnées u et v : X et T.
Il serait intéressant de donner un sens physique clair de ces coordonnées.
en particulier pour t<0 de la région I

Je crois bien que T (Kruskal) est le "temps" du trou noir (ça demande précision j'en conviens...). Au bout d'une durée T=Rs/c, cad là où la trajectoire de la singularité croise l'axe des ordonnées, le trou de vers se referme (voir les images avec une dimension supplémentaire). Une piste a creuser pour en comprendre le sens...

[Zefram Cochrane]

Pour mieux comprendre ,

Sur le premier diagramme du lien :
https://en.wikipedia.org/wiki/Kruska...s_coordinates#

si je prends la courbe (par exemple r=1.2 )
cela correspond à la courbe de l'intégration de ? Entre quelles bornes?

[Zefram Cochrane]

[QUOTE=Zefram Cochrane;5839999]Pour mieux comprendre ,

Sur le premier diagramme du lien :
https://en.wikipedia.org/wiki/Kruska...s_coordinates#

si je prends la courbe (par exemple r=1.2 )
Comment pourrais-je poser l'intégration à partir de la métrique de Schwarzschild?

[Mailou75]

Salut Ordage,
Tu imagines bien que je n'ai pas inventé Kruskal, pourquoi ce lien ?

http://www-cosmosaf.iap.fr/MIT-RG-27.pdf

156 formules et pas une utilisable, pas une application numérique..
C'est exactement le genre de pdf qui me permet de ne rien comprendre
(Je suis limité a y=f(x) desolé j'ai un retard irremediable en maths et toutes tes "metriques" n'y changeront rien)

Si c'est a moi que tu t'exprimes considere que je suis 3eme... et que je redouble

[Mailou75]

Pour la partie discutée sur les zones III et IV, tu avoueras que leur genese reste light.. peut on douter de leur existance ? Sont elles le fruit des coordonnées de Kruskal (on du moins de leur "extension") ou sont elles une consequence inevitable de la solution de Schw ?

Merci
Mailou

[Amanuensis]

La région IV est la symétrique de la II par renversement du temps, elle est aussi "obligatoire" que la II quand on parle de la solution décrite par les coordonnées de KS.

C'est une conséquence des hypothèses: il n'est pas question d'un effondrement (qui privilégierait une direction causale) mais d'un vide "éternel".

En fait faut distinguer la solution de Schwarzschild pour une boule centrale de masse non nulle et de rayon strictement supérieur à 2GM/c² et ce qu'il se passe si on cherche à l'étendre.

Dans le premier cas, il n'y a qu'une région I, l'extérieur, répondant à la solution de Schwarzschild quel que soit ce qu'il se passe à l'intérieur si de symétrie sphérique, et un "intérieur" dont la métrique n'est pas plus définie.

Quand on cherche à étendre la solution, faut faire des hypothèses sur l'intérieur. Et ce même si on se limite à la première extension qui vient à l'esprit, à savoir une boule de rayon égal à 2GM/c². Prolonger la solution jusque là de manière symétrique dans le temps fait apparaître automatiquement une région II et une région IV, de par la symétrie supposée. On a alors un "trou noir éternel", un "trou noir primordial" dont la région intérieure contient aussi bien des géodésiques de genre temps "allant nulle part" (pour t tendant vers l'infini en même temps que r tendant vers 2GM/c²) que "venant de nulle part" (idem mais avec t tendant vers moins l'infini), ce qui oblige, si on veut la complétude (pas de géodésique de genre temps extensible, entre autres conditions) à inclure la région IV, le "trou blanc" aussi bien que celle qu'on cherchait, la région II.

On peut faire d'autres hypothèses pour l'extension, pour essayer de coller à l'idée d'un effondrement, et donc sans région IV. Mais alors dans le passé ce n'est la solution de Schwarzschild que pour un rayon strictement supérieur à un minimum lui-même strictement supérieur à 2GM/c².

[Zefram Cochrane]

[]Parce que ce sont des cartes conformes, représentant donc de manière parlante les géodésiques de genre lumière[/U]. La "forme" de l'espace-temps en 4D est essentiellement celle donnée par les cônes de lumière.

C'est quasiment à l'opposé des considérations "métriques", comme manifestées par exemple en cherchant à voir dans des coordonnées quelque chose de "physique" au sens qui mesure quelque chose de particulier.

Bonjour, je n'ai pas compris le sens de ce qui est souligné, pourrais je avoir une explication détaillée?

[Amanuensis]

Annulé... (Manque une balise, mais j'ai compris...)

[Amanuensis]

Bonjour, je n'ai pas compris le sens de ce qui est souligné, pourrais je avoir une explication détaillée?

Une carte "conforme" est une carte qui respecte les angles, tous les angles. Dans le cas de la représentation de la Terre, un exemple de carte conforme est la projection de Mercator ou, moins connue, https://fr.wikipedia.org/wiki/Projec...rme_de_Lambert.

Comme on peut le voir sur ces cartes, ni les longueurs ni les aires ne sont respectées. Mais les angles le sont.

Dans le cas de l'espace-temps, la conservation des angles s'appliquent aussi bien aux angles "spatiaux" qu'aux "angles hyperboliques". Ce qui implique que la différence (locale) de vitesse entre deux mouvements s'intersectant est représentée sur la carte (t, x) conforme par un angle toujours le même pour une "célérité" (dzeta) donnée. En particulier l'angle avec l'axe du temps donne la vitesse coordonnée. Comme la lumière est de vitesse constante, tous les rayons lumineux sont parallèles, typiquement représentés à 45°, selon les bissectrices des axes temporel et spatial (c=1).

On "voit" donc bien les cônes lumière. Par contre, ni les longueurs, ni les "aires" ne sont représentées correctement. Cela ne donne aucune idée des durées et des longueurs, au point qu'une même carte peut représenter des espace-temps très différents.

Est-ce plus clair?

[Mailou75]

Salut,

La région IV est la symétrique de la II par renversement du temps, elle est aussi "obligatoire" que la II quand on parle de la solution décrite par les coordonnées de KS.

C'est là où je tique... pourtant c'est toi qui insiste sur les termes en général. La solution de Schw donne des géodésiques, alors que KS n'est qu'un repère pour représenter la même chose. Comment un changement de repère peut il changer quelque chose ? On fait une symétrie parce qu'il reste de la place... si tu regardes la version trigo cette place n'existe plus. On peut par contre faire une symétrie par rapport à la singularité, ca revient à dessiner ce qui se passe de l'autre coté du trou noir. C'est encore sensé être un astre... chez KS on voit une demi-droite qui va de l'infini vers la singularité, il n'y a pas d'autre coté, pour une carte "complète" un demi-univers c'est léger... à moins que III ne soit la "gauche" ?

D'ailleurs si on regarde KS, un observateur statique (suivant une hyperbole r cst) doit recevoir, avant t=0, des photons provenant du trou blanc. J'imagine qu'il ne les "voit" pas parce que ceux ci sont trop redshiftés. Donc ca veut dire que le trou blanc fonctionne comme le trou noir ? Ou... c'est faux parce que KS n'est qu'un "pincement" de Schw pour zoomer sur un t0 choisis arbitrairement. Donc en dessous de t0 comme au dessus, c'est toujours l'horizon du TN, je ne comprends pas cette interprétation. Oui, en un sens c'est l'observateur qui crée le trou noir puisque celui ci n'a un rayon de Rs qu'à t0 exactement, avant et après il s'ouvre et se ferme pour toujours. Mais ça ne veut pas pour autant dire qu'en choisissant t0 je transforme le trou noir en trou blanc pour tous les observateurs alentours. Cela dit puisqu'il semble avoir les mêmes caractéristiques ça devrait bien se passer... c'est quoi cette histoire de trou blanc ??

Explication plausible sur KS : la singularité dite "passé" et la singularité dite "future" (hyperboles "end of the world" hautes et basses) sont en fait le même lieu c'est LA trajectoire de LA singularité dans KS, ce qui rend KS absolument impossible à lire... Chez Penrose faire cette supposition revient à dire qu'en "empilant" les digrammes on a fait un tour... Bon je m'égare peut être

Pour revenir à la symétrie de ces 4 quarts d'univers (extérieur gauche et droite, intérieur gauche et droite, plus de III et IV, voir plus haut) il serait bon de savoir si il s'agit d'une symétrie axiale ou d'une symétrie centrale ? Si on met à part le temps propre du voyageur en chute libre qui est "continu" et croissant entre l'intérieur et l'extérieur, dont la trajectoire est donnée par Newton, donc pas forcément ad hoc dans le cas présent... rien n'interdit de penser que la symétrie est centrale par rapport à Rs, mais axiale par rapport à 0 (singularité, du moins en 1D) . S'agit-t-il d'un miroir plan ou d'un "anti-univers" en temps symétrique?

on peut faire d'autres hypothèses pour l'extension, pour essayer de coller à l'idée d'un effondrement, et donc sans région IV. Mais alors dans le passé ce n'est la solution de Schwarzschild que pour un rayon strictement supérieur à un minimum lui-même strictement supérieur à 2GM/c².

Je ne suis pas d'accord, l'observateur extérieur "aveugle" n'a que faire de l'état de la matière, le fait qu'elle soit dans un TN ou encore une étoile (de même masse) ca ne change rien pour l'aveugle éloigné. On peut parfaitement faire tomber la matière dans un "trou" sans impacter la gravité au loin. Par contre comme tu le soulignes KS ne correspond pas puisque l'horizon y est formé de toute éternité.

Merci
Mailou

[Amanuensis]

C'est là où je tique... pourtant c'est toi qui insiste sur les termes en général. La solution de Schw donne des géodésiques, alors que KS n'est qu'un repère pour représenter la même chose.

??? Schw ou KS, ce sont deux cartes de la même chose ; plus exactement, Schw région I est une carte partielle, ne présentant qu'une partie de l'espace-temps représenté par KS. Les géodésiques n'ont rien à faire dans la comparaison.

Comment un changement de repère peut il changer quelque chose ? On fait une symétrie parce qu'il reste de la place...

??? La symétrie par changement de signe du temps est intrinsèque à l'espace-temps en question, le choix du système de coordonnées n'y change rien. (Le choix peut la masquer, c'est le cas des coordonnées de Painlevé par exemple.)

si tu regardes la version trigo cette place n'existe plus.

Carte partielle, et masquant la symétrie. Un système de coordonnées (une carte), en particulier partielle peut faire perdre des symétries ; et par définition ne montre pas tout.

On peut par contre faire une symétrie par rapport à la singularité, ca revient à dessiner ce qui se passe de l'autre coté du trou noir.

L'extension d'un espace-temps au-delà d'une singularité de courbure est un autre sujet, très délicat.

c'est quoi cette histoire de trou blanc ??

Partout expliqué dans les textes, par exemple (vulgarisation): https://fr.wikipedia.org/wiki/Trou_blanc

Explication plausible sur KS : la singularité dite "passé" et la singularité dite "future" (hyperboles "end of the world" hautes et basses) sont en fait le même lieu

Cela a été étudié, cela implique des boucles temporelles, et bien d'autres bizarreries ; et c'est un cas d'extension au-delà d'une singularité de courbure.

Pour revenir à la symétrie de ces 4 quarts d'univers (extérieur gauche et droite, intérieur gauche et droite, plus de III et IV, voir plus haut) il serait bon de savoir si il s'agit d'une symétrie axiale ou d'une symétrie centrale ?

Si on met de côté les coordonnées angulaire (theta et phi, aussi bien en Schw qu'en KS), il y a un groupe continu de symétries, se présentant comme des "boosts centraux" en KS, comme des translations temporelles en Schw région I et III, et comme des translations spatiales en Schw région II et IV. Et des symétries ponctuelles, engendrées par les changements de signe de X et T en KS.

Il y a une infinité de symétries ponctuelles par renversement du temps, en jouant avec un "boost". En Schw région I cela correspond aux t -> t0-t. Elles permutent région II et IV.

Pareil il y a une infinité de symétries ponctuelles par renversement de X, en jouant avec un "boost". Elles permutent région I et III.

Par contre comme tu le soulignes KS ne correspond pas puisque l'horizon y est formé de toute éternité.

C'est le cas aussi si on prend les coordonnées de Schw pour les régions II ou IV.

Les coordonnées de Schw en région II ou IV représentent la même extension que les coordonnées de KS. Pareil pour la région II décrite par les coordonnées de Painlevé (ou la région IV, en prenant les coordonnées de Painlevé avec l'autre signe pour le terme croisé de la métrique).

[Amanuensis]

Faut faire attention à bien distinguer trois problèmatiques:

1) Un espace-temps extérieur à une boule centrale de masse M et de rayon \rho>2GM/c², vide et donnant asymptotiquement la gravitation de Newton. Alors (si je ne m'abuse) le théorème de Birkhoff affirme que si ce qu'il se passe dans la boule est de symétrie sphérique, éventuellement dynamique, alors l'extérieur est statique, est asymptotiquement plat, et est décrit par les coordonnées de Schwarzschild, le seul paramètre libre étant la masse M.

Il n'est pas question de trou noir, d'effondrement, ou de quoi que ce soit de particulier qui se passe dans l'intérieur de la boule. Et la solution n'approche pas, même en limite de coordonnées, la sphère r=2GM/c² (l'inégalité indiquée en entrée est stricte). Pas d'horizon en particulier.

Cela s'applique à des tas d'espace-temps très différents, les différences étant l'intérieur. Diverses hypothèses peuvent être appliquées pour l'intérieur, couvrant divers cas, réalistes ou non.

2) L'extension analytique maximum d'une solution du vide, maximum au sens absence de géodésiques et de lignes d'univers extensibles (à un sens qui exclut l'extension "par dessus" une singularité de courbure). Cette extension est décrite de différentes manières, par les coordonnées de Schw en région I en les poussant jusqu'à r=2GM/c², par les coordonnées de Schw en région II, par les coordonnées de Painlevé et d'autres, et surtout par les coordonnées de KS, qui décrivent la solution en une seule carte (hormis les spécificités des coordonnées angulaires).

On a alors deux singularités, trou noir et trou blanc, etc.

3) La problématique d'une hypersurface de type "trou noir", à savoir une sorte de cône futur (donc qu'on ne peut traverser que dans un sens), et de "diamètre" restant fini. C'est la question qui se rapproche le plus de la notion de "trou noir" en général. L'extension d'une solution du vide (point 2) en est un exemple, mais il y en a bien d'autres, en particulier construits avec diverses hypothèses sur l'intérieur, genre effondrement de masse ayant telle ou telle particularité. De par le point 1, on a toujours (en supposant une symétrie sphérique) un extérieur descriptible avec les coordonnées de Schw (et la métrique allant avec), mais ce n'est pas nécessairement l'espace-temps du point 2.

-----------

Bref, la carte de Schw pour l'extérieur est d'application très générale, grâce au théorème de Birkhoff. Par contre les cartes de Schw pour l'intérieur, celle de KS et d'autres, sont spécifiques à l'extension supposant le vide partout. Et la notion d'horizon et de trou noir est, d'une certaine manière, encore autre chose.

Je sais bien que la vulgarisation mélange tout ça, mais c'est une erreur, résultat de la superficialité usuelle des auteurs de vulgarisation, en particulier les amateurs. Si on veut progresser sur le sujet, vraiment comprendre, faut pas tout mélanger.

[Mailou75]

Pour mémoire : Observateurs de Painlevé en Trigo (comparé à Kruskal)

On reconnait a droite chez KS nos voyageurs qui arrivent de l'infini en chute libre à intervalle de temps t réguilier (Rs/c).
J'ai juste ajouté quelques rayons lumineux. A gauche la projection Trigo et les "photons en orbite parabolique dans le temps" (terme à élucider)

@Amanuensis

Dans ta classification la Trigo entre au moins dans la 1, voire dans la 3

Le problème des "extensions, symétries et renversements", c'est qu'ils sont issus de suppositions. III et IV n'existent que dans les mathématiques, ils n'ont aucune "réalité" physique. Si tu regardes la figure jointe tu verras qu'ils y a 4 types de rayons lumineux : entrants/sortant et interne/externe à Rs. On voit qu'en trigo Rose et vert foncé se raccordent à t=-oo, alors que chez KS ils s'arrêtent au pointillé gris (end of the wold ? once again ? fuckin' flat space ! say Pac Man) . La version Trigo soulève le problème : Est-ce qu'elle cache une partie de la carte ou est-ce qu'elle montre comment doivent se raccorder les deux parties "physiques" de KS ? Si comme tu le dis les "symétries" sont infinies comment savoir la quelle est la bonne ? La question de la superposition des hyperboles "singularité" haute et basse chez KS et de la boucle que ça implique n'est pas anodine...

Le trou blanc... imagine que tu prends KS et que tu décides que ton t0 "loupe" est plus tôt, tu décales le "pincement" de Schw vers le bas et refais un KS. Une partie de ce que tu appelais trou blanc est passé au dessus de t0 et est devenue noire... et ce juste en changeant la représentation de mêmes évènements !! Comment est-ce possible ? De plus ce qu'on appelle trou blanc fonctionnerait exactement comme un noir : les photon arrivent en un temps infini est sont redshiftés. Chez KS la zone IV, est simplement le "passé" du trou noir ( t<t0 référence observateur), et si "on ne peut pas plus pénétrer dans une fontaine blanche que sortir d'un trou noir" signifie juste qu'on ne peut pas remonter le temps ("solide" 4D impénétrable) ça me va

Merci

Mailou

[Mailou75]

[Hors charte]
Si...comme le supposait Ordage, le voyageur n'a pas de "vitesse" qu'il suit juste une geodésique. Et si comme le disent les graphs le photon a une vitesse nulle en Rs (chez KS il met de chaque coté un temps infini à atteindre Rs , c'est plus imagé en Trigo). Alors, peut on dire que c'est parce que le photon une vitesse nulle que le voyageur doit aller à c en Rs afin qu'il conservent une vitesse relative égale à c?
[/Hors charte]

[Mailou75]

Kruskal et Trigo : lien géométrique

Si on cherche à savoir ce que sont les hyperboles de Kruskal, des "tranches de cone" et qu'on les remet en 3D on tombe sur une figure interessante...Comme prévu les projections frontales une fois réassemblées donnent Kruskal, avec au passage la question de l'assemblage lui même... (filagramme). Attendu mais surprenant tout de même, la projection de dessus donne la figure Trigo !
On retrouve en Rouge, Vert et Bleu les observateurs à r constant 2,4Rs, 1,9Rs et 1,4Rs s'échangeant les signaux habituels.

On a donc une seule et même figure pour deux projections mais dans le fond le "cone" n'a pas vraiment de sens et je ne suis pas sur qu'il aide vraiment... Le seul rapprochement que je lui trouve est avec ceci : http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post4484744 Kepler. Sauf qu'il y aurait une légère adaptation à faire : La vitesse de libération (Kepler) devient la vitesse de la lumière (Paraboles) et la vitesse ~ de la lumière (Kepler) devient la vitesse à r constant (Hyperboles) !? Ca pose tout de même la question du sens des hyperboles et de "se tenir à r constant" du trou noir ?...

Je n'ai pas mis d'annotation, vous ferez facilement le lien avec les figures précédentes, façon puzzle !

A+
Mailou

[Mailou75]

Projection "latérale" de Kruskal

Jamais deux sans trois, on avait Kruskal de face, la Trigo vu de dessus, il restait la vue de coté !

J'ai conservé exactement le même tracé que précédemment pour faire le lien facilement. Si les deux premières figures sont "justes" alors celle ci l'est aussi. D'ailleurs je n'ai pas les formules, c'est véritablement une projection. En bidouillant on déplie la projection comme KS et on pourrait même trouver III et IV, comme KS. Mais je ne suis pas prêt...

On retrouve nos observateurs à r constant, leur trajectoire forme un angle droit à t=0. Vraisemblablement cette "carte du pôle nord" ( Amanuensis ) ne s'intéresse pas à ce qui se passe à t=0, mais plutôt à t=oo

Merci d'avance pour vos critiques

Mailou

[Zefram Cochrane]

Pourquoi dis tu que cette carte s'intéresse plus à ce qu'il se passe à t=oo ? Qu'elle est ton analyse?
J'avoue être un peu paumé

[Mailou75]

Salut,

J'avoue être un peu paumé

Je te rassure t'es pas le seul, ce dernier fait mal au crâne... Je disais ça parce que KS qui est un "zoom" a t=0 regarde la figure 3D avec l'axe t=0 en face de lui. La version KS "laterale" regarde la meme figure avec t=+/-oo en face, d'où ma remarque. Cela dit t=0 reste mieux defini que t=oo, c'etait plus pour ouvrir le debat qu'autre chose...

[Mailou75]

Rayons lumineux chez Painlevé et Schwarzschild

On avait les rayons lumineux chez Kruskal (droites à 45°) et en Trigo (projection à 45° de paraboles), voici les manquantes

Chez Painlevé

Géodésique entrante (bleu clair)



Géodésique sortante (orange)



La géodésique entrante est continue alors que la sortante est unique grâce à la valeur absolue, elle n'est pas définie en r=0.
Les courbes sont ensuite décalées verticalement en fonction de la valeur de t à l'arrivée, les fonctions donnent t=0.

Chez Schwarzschild



Une formule pour quatre courbes : comme précédemment la valeur absolue permet d'avoir la même formule pour intérieur et extérieur
et le signe +/- donne les géodésiques entrantes (- : bleu clair ) et sortantes (+ : orange).
A nouveau, les courbes seront décalées verticalement en fonction du t à l'arrivée.

Dans les deux représentations l'écoulement du temps pour les observateurs à r constant est dilaté du facteur z+1 local, l'origine est fixée à t=0.
On retrouve les échanges entre 1.9Rs (vert foncé) et 2.4 Rs (bleu turquoise) affectés par l'effet Einstein : redshift 10/9 et blueshift 9/10

On retrouve aussi notre voyageur de Painlevé parti de l'infini (vert clair) qui compte de 0 à 1.1 Rs/c entre ~1.4Rs et r=0

[Mailou75]

Petite synthèse : 4 systèmes de coordonnées décrivant les mêmes évènements

Bon, il commence à y avoir beaucoup de traits mais aucun que vous n'ayez déjà rencontré
Même description que le graph précédent, les surfaces colorées n'ont pas de caractère particulier
ces sont juste des aides à la lecture pour évaluer les déformations à l'œuvre entre les 4 systèmes.

Les points situés à 2Rs à l'intersection avec les courbes de temps +/- 2Rs/c sont sur la trajectoires des géodésiques arrivant à t=0
(r=2Rs t=+/-2Rs/c, juste une coïncidence numérique)

J'ai noté quatre points singuliers :

A : arrivée de (vert) à t=0
B : arrivée de (vert clair) à t=Rs/c
C : croisement de la géodésique lumière arrivant à t=Rs/c (pointillé jaune) avec (vert)

Quand (vert clair) arrive à la singularité (r=0) en B voit bien (vert) avec ~0.7Rs/c à sa montre.

Dans les trois premières représentations, un photon suivant la géodésique "sortante" ne pourra pas aller toujours dans le même sens ! wtf ?
(Because le photon doit aller de C vers B, non de B vers C cad le "sens" supposé du photon sortant)
La réponse semble être qu'il n'y a pas de géodésique sortante à l'intérieur (r<Rs) les deux sont entrantes !!

Chez KS la droite jaune (pointillé + continue) ne peut pas, comme on nous le dis, être continue et aller dans le même sens entre les zones IV et I puisque même en présence d'un univers jumeau recréant un évènement C' sur la trajectoire il faudrait nécessairement que le photon aille de C' vers B' ! En somme, rien ne traverse la droite à 45° chez KS (infini passé, trou blanc) car tous les rayons en proviennent. A moins qu'en III et IV le temps ne passe à l'envers ? Dans ce cas la "copie" ne présenterait aucun intérêt...

Je dirais bien en conclusion qu'il y a bien continuité (numérique par valeur absolue : Painlevé et Schw) ou visible (Trigo) de direction
ET qu'il y a inversion du sens de la géodésique "sortante" au niveau de t=-oo, horizon passé alors que l'horizon t=+oo et "poreux" à sens unique
ET qu'on peut sérieusement douter de l'existence de III et IV, du moins tels que définis actuellement...

[Mailou75]

Cônes passés, cônes futurs

J'ai tracé les cônes pour les positions de temps propre du voyageur en chute libre entre ~1.4Rs et r=0 à 0, 0.2, 0.4, 0.5, 0.7, 0.9 et 1.1 Rs/c
Les couleurs des géodésiques lumières correspondent aux couleurs des cônes. J'ai mis le cône passé en foncé et le cône futur en clair.
Il faut bien avoir en tête qu'il n'y a qu'une dimension d'espace, le photon arrive de la gauche (trait épais) ou de la droite (trait fin).

En Trigo, ce qu'on appelle "l'inversion de l'espace et du temps" entre extérieur est intérieur est assez parlante
Il faudra quand même faire un point sur sens et direction du "temps et de l'espace" (absolus ?)...

Bonne lecture aux courageux
Merci d'avance pour vos remarques

Mailou

[papy-alain]

Joli. Tu n'as jamais pensé à exposer ?

[Mailou75]

Salut et merci

Exposer ? C'est un peu ce que je fais ici devant les rares personnes que ca peut intéresser et susceptibles comprendre.
J'essaye de faire de la com graphique pour expliquer ce que je comprends, ça me sert de mémoire et si ça peut en aider d'autres...
Petite contribution à Futura en signe de gratitude

Mailou