Déterminer le rayon de la Terre

[invite1f68fe2d]

Bonjour,

Voici une méthode simple à priori pour calculer le rayon de la Terre, et dont je connais la formule, que je n'arrive malheureusement pas à démontrer.

On a besoin uniquement d'un chronomètre et d'un mur. Voici la méthode:
-on se place à un endroit quelconque sur Terre, à n'importe quel moment
-on se place au pied du mur, on observe le coucher du Soleil, et quand le Soleil disparaît de notre champ de vision on déclenche le chronomètre
-on monte sur le mur, le Soleil "réapparaît"
-quand il disparaît à nouveau, on arrête le chronomètre

A l'aide du temps mesuré avec le chrono, de la hauteur du mur, de la déclinaison des rayons du Soleil et de la latitude à laquelle on est, on détermine alors le rayon de la Terre.
Le site ci-dessous retrace la méthode et donne la démonstration, mais je ne comprends pas la démo:
http://tpe-r-terre.freezee.org/index...=demonstration


J'implore votre aide.....
-----

[invite52c52005]

Salut,

je ne sais pas quelle partie tu n'as pas comprise, mais je vais me concentrer sur l'expression du rayon en fonction du temps chronométré.
Pour cela, je me place, dans la cas simple où on ferait cette expérience à l'équateur. Je n'ai pas regardé les calculs supplémentaires qu'ils ont fait pour apporter une petite correction à l'expression générale de la solution si on faisait cette expérience à une lattitude différente.

Une chose que j'ai à dire sur leur rédaction. C'est mal rédigé, ils oublient notamment des parenthèses à des endroits où c'est indispensable. C'est peut être ça qui t'a gêné dans la lecture.

Je vais donc te réécrire les différentes étapes.

Attention, ces calculs ne tiennent compte que de la géométrie sphérique de la Terre et ne tiennent pas compte de l'effet de courbure des rayons lumineux de l'atmosphère; c'est-à-dire que quand le soleil a géométriquement disparu derrière l'horizon, on voit encore un bout du soleil grâce aux déformations de l'atmosphère (réfraction).

Les schémas de la Terre (avec l'angle ) sont vus comme si on était situé au-dessus du pôle Nord.
A l'instant où l'observateur déclenche son chrono, l'observateur est en A du 1er schéma (au pied du mur). Il voit disparaître le soleil à l'horizon donc le dernier rayon du soleil est tangent à la Terre au point A.

A l'instant où l'observateur arrête le chrono, il est en B du 2ème schéma (au sommet du mur).

Pendant ce laps de temps, la Terre a tourné d'un angle autour de son axe de rotation.

Donc on a :


car on a un triangle rectangle comme indiqué sur le schéma.

On essaye d'isoler R.
De l'équation précédente, on déduit :











Si on divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre (ici 1/cos() ), on ne change pas la fraction.
On a donc :



Ce qui fait, en simplifiant :



Ca correspond à l'équation qu'ils trouvent.

Ensuite quand la Terre a tourné d'un angle , il s'est écoulé un temps de t (c'est le temps mesuré par le chrono).
De même, quand la Terre tourne d'un angle (un demi-tour), il s'est écoulé une demi-journée (soit 12h, soit 12 x 3600 = 43200 s).
La vitesse angulaire de la Terre étant constante, on a :



De quoi, on déduit :



Et en remplaçant dans l'expression différente, on obtient :



Ce qui correspond à leur expression finale quand on se place à l'équateur (le terme correctif vaut 1 car les autres angles sont nuls).

J'espère que ça a été assez clair.

[invite687e0d2b]

Bonjour,
On a besoin uniquement d'un chronomètre et d'un mur. Voici la méthode:
-on se place à un endroit quelconque sur Terre, à n'importe quel moment
-on se place au pied du mur, on observe le coucher du Soleil, et quand le Soleil disparaît de notre champ de vision on déclenche le chronomètre
-on monte sur le mur, le Soleil "réapparaît"
-quand il disparaît à nouveau, on arrête le chronomètre

c'est pas très important mais c'est juste pour pinailler

[invite1f68fe2d]

Nissart7831,
Je te remercie de ta réponse, mais en fait j'ai compris cette partie du calcul, à savoir à l'équateur. Le problème est que le calcul avec sa démo dans "démontration de notre formule" sur le site précédent, est donné pour tout point sur Terre, et non seulement à l'équateur. Cela complique beaucoup la situation, d'autant plus que je dois pouvoir faire la mesure n'importe quel jour, donc la déclinaison des rayons du Soleil n'est pas forcément nulle (d'ailleurs dans la plupart des cas elle ne l'est pas!).

Alors voilà, sûrement auras-tu une réponse à m'apporter...car je suis vraiment dans le caca étant donné que je présente mon tipe dans une semaine à mes profs de sup qui veulent pas m'aider !

[A voir en vidéo sur Futura]