Comètes de Hale-Bopp et de Churyumov-Gerasimenko - exercice mécanique céleste

[Adhoken]

Bonjour à tous,

Pour faire suite au précédant sujet que j'ai créé (https://forums.futura-sciences.com/a...e-celeste.html) voici un nouvel exercice qui me pose bien des soucis : si pour celui d'avant j'avais quelques idées pour démarrer (qui ont plus ou moins abouti), là en revanche je ne vois absolument pas comment démarrer... L'énoncé est un peu long je me permets donc de vous l'envoyer en image pour la version originale :


Pour la première partie, je dois dessiner l'orbite héliocentrique et indiquer la position actuelle des deux comètes projetées dans le plan écliptique. Avec les données du tableau ça doit pouvoir se faire facilement mais j'ai du mal à "voir" l'excentricité d'une ellipse : je sais que si e=0 alors on a un cercle, mais c'est tout ce que j'arrive à me représenter...

Pour la deuxième partie, je dois déterminer l'anomalie excentrique et la vraie anomalie de la comète de Hale-Bope. Je sais que E et Theta sont reliés par plusieurs formules :
• cos(E) = [e + cos(Theta)] / [1 + e*cos(Theta)]
• sin(E) = rac(1 - e²)*sin(Theta) / [1 + e*cos(Theta)]
Donc si j'ai l'un, alors j'ai l'autre... Mais comment avoir l'un ?

Je dois ensuite déduire ("Derive" = "déduire" il me semble en anglais) une expression de E(M) avec M (anomalie moyenne j'imagine) qui tend vers 0, donc ça, ça devrait pas être trop dur, un simple développement limité en 0 devrait suffire, mais je ne connais pas l'expression de E (J'ai trouvé celle-ci sur internet : E - e*sin(E) = M, mais je ne suis pas certain que ça soit celle-là...?)

Et enfin, la dernière partie, on me donne l'expression de r(t) mais qui ne dépend pas de t, donc comment déterminer un temps à partir de cette équation ?


Je me permets donc de vous demander une nouvelle fois de l'aide sous forme d'idées et/ou d'indices.

Merci pour votre temps et votre attention
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[Adhoken]

Rebonjour à tous,

Alors, en cherchant un peu des infos complémentaires je pense avoir réussi à trouver de quoi faire les 2 premières parties. Je reste néanmoins un peu perdu vis à vis de la partie 3 avec le r(t)...
Quelque chose qui me chagrine aussi légèrement, c'est que pour résoudre ces exercices, je suis contraint de chercher des formules sur internet ayant rarement une démonstration fournie avec... Un cours n'est-il pas censé être auto-suffisant, du moins pour les exercices qui vont avec ?

[eudea-panjclinne]

Equation de Képler :
E-sin(E)=M=n(t-t0) , n=2Pi/T
T période de révolution, t0 époque de passage au périhélie.
Un quart de la période orbitale passée : T/4=t-t0
On pose l'équation de Képler correspondante :
E-e sin(E)=1/4
On la résout par approximation, pas moyen de faire autrement : vous trouvez une valeur approchée de E en radian.
On inverse les formules que vous avez données:
cos (Theta)=(cos(E)-e)/(1-e cos(E)); sin(Theta)=Racine(1-e^2)sin(E)/(1-e cos(E))

quand E est petit, l'équation de Képler E-sin(E)=M devient, au premier ordre en E
E-eE=M
E=M/(1-e)

Quand je traduit la dernière question avec mon anglais déficient je trouve : quand la terre rencontre le soleil, est-ce cela ?

En espérant vous avoir aidé.

[eudea-panjclinne]

Une erreur, l'équation de Képler ce n'est pas E-e sin(E)=1/4 mais E-e sin(E)=2Pi/4=Pi/2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Adhoken]

Bonjour,

Merci pour votre réponse, en effet elle m'aide beaucoup. En revanche, concernant la suite de la 2nd partie, c'est M qui tend vers 0 et non E... J'avais également trouvé ce développement limité à l'ordre 1 en E, mais je ne suis pas sûr que ça soit la bonne réponse, même si ça semble correspondre à ce que l'on demande (E dépend alors bien de M, mais comme il précisé qu'il faut que ça soit au moins d'ordre 1 en M, je ne suis pas certain... Après, vu la tête de l'équation E-e sin(E)=M, j'ai dû mal à comprendre comment réaliser un DL d'ordre au moins 1 en M...)

Pour la dernière question, il faut trouver les temps (qui seront complexes) auxquels la Terre va percuter le Soleil si j'ai bien compris...

Merci encore pour votre réponse

[eudea-panjclinne]

c'est M qui tend vers 0 et non E...

Dans le cas qui nous occupe c'est équivalent mathématiquement (c'est le théorème d'inversion locale ou des fonctions implicites :
Si on pose f(x)=x-esin(x) on a f(0)=0 et f'(0) non nul. Comme f est indéfiniment dérivable autour de 0, il en est de même de sa réciproque g(y)=x qui n'est pas exprimable algébriquement.)

Pour la dernière question, il faut trouver les temps (qui seront complexes) auxquels la Terre va percuter le Soleil si j'ai bien compris...

J'avais donc bien compris l'anglais de la dernière question. Il suffit de poser 0=a(1-ecos(E))
On résout l'équation en E pour trouver 2 valeurs imaginaires pures pour E.
On remplace les valeurs correspondantes dans l'équation d'Euler pour obtenir des valeurs complexes du temps, mal déterminées d'ailleurs.

Quel est ce cours que vous suivez ?

[Adhoken]

Merci pour votre réponse !

concernant la recherche des solutions de E, je bloque un peu : a(1-e*cos(E)) = 0 => 1 - e*cos(E) = 0 => cos E = 1/e

Sol. 1 => E = arccos(1/e), e = 0.01671022 => pas de solutions imaginaires purs

Sol. 2=> exp(iE) + exp(-iE) = 2/e => ln(exp(iE) + exp(-iE)) = ln(2/e) => ln(exp(iE)*[1+ exp(-2iE)])=ln(2/e) => ln(exp(iE)) +ln[1+ exp(-2iE)] = ln(2/e)
=> (DL de ln(1+x)) iE + exp(-2iE) = ln(2/e) => pas de solutions imaginaires purs
Sol. 3 => 1 - E²/2 = 1/e => E² = 2(1-1/e) => E = + ou - 10.8484 * i... Enfin des imaginaires purs !

En ré-injectant dans E - e*sinE = M = n(t-t0) = 2pi/T*(t-t0), T = 365.25 jours, t0 = 0 (en prenant le passage au périastre comme origine temporelle)
=> t = T(E-e*sinE)/2pi = + ou - 24 359.2 * i jours... J'obtiens bien un temps complexe comme annoncé dans l'énoncé donc ça semble correct. Par contre je ne comprends pas ce qu'il faut faire pour "ploter" ça ("plot" = représenter graphiquement)

Autrement, le cours que je suis s'appelle "Celestial Mechanics" dispensé à l'institut d'astrophysique de Jena (en Allemagne)... Mais le prof n'a pas vraiment donné d'équation hormis la force gravitationnelle de Newton et les 3 lois de Kepler...

Merci encore pour votre réponse et votre attention.

[eudea-panjclinne]

Il faut préférer ici une solution algébrique et éviter l'utilisation de la fonction inverse arccos et d'un développement limité mal adaptés ici, parce que nous sommes dans l'ensemble des complexes:
Vous avez considéré l'équation :
exp(iE) + exp(-iE) = 2/e
C'est bien.
C'est une équation du second degré en exp(iE)=X, faites le changement de variable et résolvez cette équation qui donne deux solutions réelles positives X1 et X2, il vous reste à résoudre exp(ix)= X1 et exp(ix)=X2
On sait que l'équation exp(z1)=exp(z2) dans C est équivalente à z1=z2+2kPi, k entier relatif.
On obtient alors :
ix=ln(X1)+i2kPi et ix=ln(X1)+i2kPi, k entier relatif arbitraire.
il reste à tirer x1 et x2 et à réinjecter cela dans l'équation de Képler...
je n'ai pas vérifié votre résultat numérique.

Je trouve exactement :E=-i ln[(1+/-Rac(1-e^2))/e]+2kPi, k entier relatif.
d'où
M=-i ln[(1+/-Rac(1-e^2))/e]+2kPi+/-i Rac(1-e^2), a priori 4 familles de solutions !
La notation +/- désigne + ou -.

Par contre je ne comprends pas ce qu'il faut faire pour "ploter" ça ("plot" = représenter graphiquement)

je ne vois pas trop quoi représenter graphiquement... Peut-être représenter M dans le plan complexe pour les différentes valeur entières de k (?)