Estimation des paramètres d'une PSF et problème d'inversion

[fabio123]

Bonjour,

peut être cette question devrait être déplacée dans le forum "Mathématiques", mais étant donné que ça parle aussi de traitement d'images et d'astrophysique (n'hésitez pas à la déplacer si besoin est).

Je m'attaque à une technique pour déterminer les paramètres d'une Point Spread Function (PSF) de Moffat définie par :



avec le paramètre "(r,c) = "ligne,colonne" (non nécessairement entiers).

L'observation d'une étoile localisée à avec une amplitude et en considérant un background égal à , peut être modélisée comme :



avec un bruit blanc gaussien centré.

On peut utiliser la notation matricielle :

avec le tableau de paramètres et la matrice suivante :



le tableau qui est le tableau de paramètres que l'on cherche à estimer.

1) Dans une première partie de cet exo, les paramètres sont fixés et l'on cherche à estimer , c'est-à-dire et par la méthode de vraisemblance.

Un estimateur du tableau de paramètres peut être obtenu directement par l'expression suivante :



avec les données générées avec une PSF normalisée (amplitude = 1).

Cette technique marche bien pour estimer et (par rapport aux valeurs fixées).

2) Dans la seocnde partie, je dois estimer mais aussi , c'est à dire que je dois estimer le tableau de paramètres suivant : et je dois estimer ce tableau en même temps que les paramètres .

Pour cela, on nous demande dans un premier temps de mettre sous forme matricielle ce problème d'estimation, en fonction de , et la matrice .

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à établir cette relation matricielle ? comme je l'ai fait pour la partie 1) (c'est-à-dire quand j'écris :

).

Mais là, ça devrait être du type , ce que je n'arrive pas à la formuler à cause du facteur et de l'exposant .

Merci pour votre aide.
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[fabio123]

Je pense que l'écriture est impossible à obtenir (à cause du facteur et de l'exposant ).

Peut être je dois garder la première version avec le tableau , c'est-à-dire :

mais cette fois-ci, on peut écrire car les paramètres du tableau sont inconnus.

D'après mes recherches, la méthode "Expectation Maximization (EM)" semble être la technique à appliquer: il faudrait peut être que je génére aléatoirement l'ensemble des paramètres et essayer de garder les paramètres qui minimisent la fonction du maximum de vraisemblance.

Mais où intervient la fonction de coût qui est recommandée dans mon exercice ? Comment l'obtenir ?

Merci

[f6bes]

Bjr à toi, Juste une préçision : " côut" de...couteux ?
Il serait bon de mettre en ligne ce qu'on te DEMANDE (énonçé) dans ton exercice ( côut )
, si tel est le cas ?
Bonne journée