Estimation paramètres d'une loi de Weibull associé à la vitesse du vent

[invitea6f56366]

Bonjour, j'ai dans un projet à déterminer la distribution de la vitesse du vent.
Communément, la distribution de cette vitesse est modéliser par une loi de weibull à deux paramètres par rapport à ce que j'ai compris.
J'ai à ma dispostion un jeu de données me décrivant la vitesse du vent en fonction du temps.
Pour déterminer les paramètres de la loi de weibull associé j'utilise la méthode des moindres carrés comme présenter sur ce pdf :
http://www.academia.edu/2273985/Mode...ather_Stations
Donc le changement de variable à faire est : et
Mais F(v) dépend des deux paramètres que je cherche, du coup je ne comprend vraiment pas comment déterminer cette valeur.
Quelqu'un aurait'l une idée?
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[invite5161e205]

L'approche est bonne, on peut convertir les données avec :

y = ln ( - ln (1 - F(v) ) (attention au signe '-')
x = ln (v)

On obtient une distribution (xi,yi), i décrivant les n échantillon

Alors, d'après la modélisation de Weibull que tu as jointe, on doit retrouver statistiquement :
y = k . x + k.ln(c) ce qui est une fonction affine (c'est une droite ne passante pas par 0, sauf si c=1 ).

Les échantillons (xi,yi) devraient dessiner un nuage le long d'un segment de cette droite.

On veut minimiser la moyenne quadratique de l'erreur m(k,c)

m(k,c) = 1/n. SOMME( ( yi - y )^2 ) = 1/n. SOMME (( yi - k . xi - k.ln(c) )^2 )

On cherche un minimum de m(k,c) :
dm(k,c)/dk = 0 et dm(k,c)/dc = 0

dm(k,c)/dk = 1/n. SOMME (-2.(xi + ln(c) ).( yi - k . xi - k.ln(c) ) ) = 0
dm(k,c)/dc = 1/n. SOMME (-2.( k/c ).( yi - k . xi - k.ln(c) ) ) = 0

Soit :
SOMME ((xi + ln(c) ).( yi - k . xi - k.ln(c) ) ) = 0
( k/c ). SOMME (( yi - k . xi - k.ln(c) ) ) = 0

Soit : z=k.ln(c)
SOMME ( yi - k . xi ) = n.k.ln(c) = n.z où n=nb échantillons
SOMME (xi .( yi - k . xi - k.ln(c) ) ) = 0 = SOMME (xi .( yi - k . xi ) ) -z.SOMME (xi )


D'où :
SOMME ( yi - k . xi ) = n.z
SOMME (xi .( yi - k . xi ) ) = z.SOMME (xi )

On détermine k par :
SOMME (xi .( yi - k . xi ) ) / SOMME ( yi - k . xi ) = SOMME (xi )/n
Puis z = k.ln(c) = SOMME ( yi - k . xi ) / n
dont on déduit c

Ce qui détermine le couple (k,c) d'erreur quadratique minimale !

[invitea6f56366]

Merci, mais, je ne comprendras comment effectuer la transformation: y = ln ( - ln (1 - F(v) ) étant donner qu'on ne sait pas calculer F(v)

[invite5161e205]

Oui, les échantillons mesurés sont du type (ti,vi)
ti, la date, et vi la vitesse du vent

Pour passer à (xi,yi) :
- ti n'a pas d'importance, on l'ignore

- on a choisi une échelle logarithmique x=ln(v)
On découpe l'axe logarithmique de la vitesse en segments xi de longueur dx /
0 =< x0 < dx
dx =< x1 < 2.dx
2.dx =< x2 < 3.dx
etc....
Soit zi est le nombre d'échantillons qui tombent dans le segment xi

Ce n'est pas directement yi car il faut normaliser par :
yi = zi / n n=nb total éch

Il va falloir normaliser aussi la fonction de Weibull, je regarde cela....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5161e205]

Je reprends F(v) est cumulative et tend vers 1 qd v tend vers l'infini

Donc on remplace yi=zi/n par :
yi = somme (0<=j<=i , zj / n )

et on peut continuer sur ma premiere réponse (pas de normalisation de Weibull, elle l'est déjà)

[invitea6f56366]

OK, merci, je vais tenter cela

[invitea6f56366]

Enfait, je ne comprend pas très bien la notation que tu utilise pour définir tes segments xi

[invite5161e205]

dx est une valeur arbitraire, peu importe ce qui est choisi. On peut prendre 0.2 par exemple, qui devrait donner quelques dizaines de segments.

[invitea6f56366]

C'est bon çà a marché, merci de ton aide

[invite5161e205]

Bien, ça fait plaisir d'avoir un retour aussi.