Problème des N corps

[mr green genes]

Bonjour,

si j'ai bien compris, le fameux problème des N corps signifie que quand on cherche à prévoir l'évolution d'un système de N corps liés par la gravité on tombe sur des équations qui n'ont pas de solutions générale à partir de N=3 (arrêtez-moi si je me trompe)
Donc ça veut dire qu'on peut pas prévoir l'évolution d'un système de 3 corps ou plus.

Pourtant, il me semble qu'on arrive a faire d'assez bonnes prédictions, je pense notamment à la sonde qui est allée se poser sur une comète, ou à d'autres mission comme Cassini-Huygens qui demandent une très grande précision pour arriver au bon endroit au bon moment.
Au début je me suis dit qu'on devait prévoir la position de chaque corps en ne tenant compte que de la gravitation du Soleil (ou de leur planète pour les satellites) mais réflexion faite, je pense que si on fait ça on aura une erreur assez grande, incompatible avec des missions d'une telle précision.

Donc ma question est : comment arrive-t-on à envoyer des objets loin dans l'espace avec une précision diabolique malgré ce fameux problème des N corps ?
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[inviteec0d6e6f]

Salut,

c'est dans le temps que le problème a N corps apparait.
Mais le temps de durée géologique.

Il est tout a fait possible de savoir en bonne approximation ou se trouvera Neptune (par exemple) durant les prochains siècles.
Mais si on prend une période de 100 millions d'années, le décalage entre prédiction et réalité sera très important.
disons même carrément inexploitable pour savoir ou elle va vraiment se trouver.

[mr green genes]

Ha d'accord merci, je n'étais pas au fait de ce "détail"

[invite02ff802c]

Comme pour énormément de problèmes physiques on a des équations qui n’ont pas de solution algébrique.

Dans un système à deux corps, on a une fonction avec le temps pour variable qu’il suffit de résoudre très simplement pour n’importe quelle valeur de t.
Au delà, la seule approche est numérique, autrement dit à partir de t0, pour avoir la configuration à tN, il faut calculer par incrément à t1, et à partir de là à t2, puis à t3, etc., sachant qu’il y a forcément une approximation de calcul qui se répercute d’étape en étape. À partir d’un certain stade l’incertitude dépasse les limites tolérables.
Ceci est vrai pour le passé comme pour le futur.

ND

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f25a1fe]

Comme pour énormément de problèmes physiques on a des équations qui n’ont pas de solution algébrique.

Dans un système à deux corps, on a une fonction avec le temps pour variable qu’il suffit de résoudre très simplement pour n’importe quelle valeur de t.

On connait aussi la solution analytique exacte pour un problème à 3 corps. Le problème c'est qu'elle est en pratique inutilisable.

Au delà, la seule approche est numérique, autrement dit à partir de t0, pour avoir la configuration à tN, il faut calculer par incrément à t1, et à partir de là à t2, puis à t3, etc., sachant qu’il y a forcément une approximation de calcul qui se répercute d’étape en étape. À partir d’un certain stade l’incertitude dépasse les limites tolérables.
Ceci est vrai pour le passé comme pour le futur.

ND

Il me semble que ce n'est pas tellement un problème d'itération (calculer par incrément, ca on sait très bien faire pour d'autres problèmes) mais plutôt que le problème à N corps est chaotique, ce qui veut dire qu'il est extrèmement sensible aux conditions initiales.

Mais comme la dit Carcharodon, je suppose que ces erreurs n'ont d'impactes que sur des temps très longs

[invite02ff802c]

Il me semble que ce n'est pas tellement un problème d'itération (calculer par incrément, ca on sait très bien faire pour d'autres problèmes) mais plutôt que le problème à N corps est chaotique, ce qui veut dire qu'il est extrèmement sensible aux conditions initiales.

Le système lui-même est déterminisme. Quand on parle de sensibilité aux conditions initiales n’est-ce pas à cause de l’imprécision inévitable des mesures qui font que les erreurs, même infimes, sont amplifiées au fil des itérations ?

ND

[invite2303ab1d]

Le système lui-même est déterminisme. Quand on parle de sensibilité aux conditions initiales n’est-ce pas à cause de l’imprécision inévitable des mesures qui font que les erreurs, même infimes, sont amplifiées au fil des itérations ?

ND

Oui, c'est même la définition d'un système chaotique : déterministe mais tellement sensible aux conditions initiales que même une petite erreur de mesure ou approximation finit par avoir de grandes répercutions sur le long terme.

[inviteec0d6e6f]

pour illustrer, suite a la lecture d'un autre topic =>

http://fr.wikipedia.org/wiki/%2899942%29_Apophis

On croyait, il y a 5 ans, qu'on avait de bonnes chances de le prendre sur la tête.
Mais il s'avère que sur un corps si petit, le problème à N corps est encore plus flagrant.
La ou une planète ne modifie que très lentement sa trajectoire, et reste donc dans une apparente stabilité durable, ce petit corps a déjà un écart de 30.000 km en mesurant sa trajectoire seulement 5 ans après la première estimation.
Ça fait quand même du 6000 km/a, presque 20 par jour.
Les multiples influences gravitationnelles faussent les prévisions, inexorablement et de manière non prévisible.

Pourtant, il me semble qu'on arrive a faire d'assez bonnes prédictions, je pense notamment à la sonde qui est allée se poser sur une comète, ou à d'autres mission comme Cassini-Huygens qui demandent une très grande précision pour arriver au bon endroit au bon moment.

comme tu peux le voir, ça n'empêche pas de faire de bonne prédictions, même des excellentes en ce qui concerne les corps massifs planétaires.
je te rappelle aussi que les sondes, bien plus sensibles aux perturbations gravitationnelles, car moins massives, subissent obligatoirement des corrections de trajectoire au cours de leur périple, a l'aide de leur moteurs, pour se remettre sur la bonne trajectoire, a la bonne vitesse afin d'arriver a l'heure a l'endroit voulu.

Lors des corrections, de très infimes dV (acceleration) sont insufflés, en dirigeant les moteurs vers l'endroit approprié, calculé pour remettre la sonde pile dans la bonne traj.
Seulement quelques m/s voir 10aines de m/s sont injectés, a comparer aux 11.000 m/s qu'il faut pour sortir une sonde de l'influence gravitationnelle terrestre.
Le tout est de la faire au meilleur moment pour que ça fonctionne sans avoir a passer son temps dessus.
Au 1/3 et au 2/3 du trajet, plus une correction fine a l'approche finale, sont généralement suffisant pour obtenir une précision remarquable.
Bien supérieure a celle d'un sniper d'un facteur 100 au moins.
Évidemment, pour obtenir cette précision, il faut avoir préalablement calculé une fenêtre de tir et l'avoir respecté lors du lancement.

Donc le problème à N corps ne pose pas de problème spécifique dans la navigation spatiale.
Il en pose surtout pour savoir quand le ciel va nous tomber sur la tête !