Paradoxe des jumeaux

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

Le paradoxe des jumeaux est un thème récuurent sur Futura, je mets le lien suivant pour la présentation.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_des_jumeaux
Dans ce fil, je me propose de le résoudre et je vais probablement reproduire les calculs d'Hermann Bondi.

Pour cela j'ai besoins de trois observateurs que je nomme d'après leur coordonnées :
[X;T] supposé fixe
[X';T'] qui s'éloigne de [X;T] à t'=0 à la vitesse V'
[X";T"] qui reste au même niveau que [X;T] pendant l'intervalle de temps propre commun à tous dans ce sens que quelque soit le référentiel, l'horloge du référentiel affichera la même date (exemple une heure). Puis, il qui va sen éloigner à la vitesse V" pour s'approcher de [X';T'] à la vitesse V*


calculs préliminaires et définitions

Pour (X;T)



Pour (X';T')



Pour (X";T")



Les capsules dans lesquelles sont les observateurs communiquent leur date entre elles continuement . En plus de la dilatation du temps due à la vitesse relative, il faut tenir compte également de la durée de transmission de l'information. Quand un observateur lit la date de son horloge et qu'il l'a compare avec les dates transmises par les autres capsules, ce qu'il compare c'est la date actuelle de sa capsule avec celles qui lui ont été transmises par les autres dans son passé. Le coefficient exprimant le rapport entre les périodes de deu référentiels différents est égal au décallage doppler +1.

Pour une vitesse relative d'éloignement V' entre [X;T] et [X';T']


Pour une vitesse relative d'éloignement V" entre (X;T) et (X";T")


Pour une vitesse relative de rapprochement V* entre [X';T'] et [X";T"]



Je vous épargnerai les détails des calculs mais on peut aussi écrire :


donc

une formule bien pratique pour aérer les calculs.


ETAPE 1
Dans un premier temps on va déterminer pour chaque instant t d'un référentiel la date affichée par les autres.


Pour [X;T] :

Durant la première période



Durant la seconde période




Pour [X';T'] :

Durant la première période



Durant la seconde période




Pour [X";T"] :

Durant la première période



Durant la seconde période



il y a un bloc pour chaque référentiel avec quatre coordonnées pour les deux périodes. On peut remarquer que les formules expriment la réversabilité de la RR


ETAPE 2
L'étape suivante consiste à réécrire ces formules en fonction des durées et non des dates. On s'aide des égalités de la première période dans l'étape précédente pour simplifier les équations de la seconde étape ainsi :


Pour [X;T] :

Durant la première période



Durant la seconde période




Pour [X';T'] :

Durant la première période



Durant la seconde période




Pour [X";T"] :

Durant la première période



Durant la seconde période



Ceci posé on va passer à la partie résolution.


ETAPE 3
Pour savoir dans quel référentiel la durée est la plus courte celui où elle est la plus longue, il faut prendre la durée de deux référentiel et voir ce que cela donne du point de vue du troisième. Pour cela nous n'avons plus besoin des durées de la première période.


Point de vue de [X;T] :

Durant la seconde période


ce qui donne :
soit
Z* > 1 implique que le temps s'écoule plus vite pour [X';T'] que pour [X";T"]


Point de vue de [X';T'] :

Durant la seconde période


ce qui donne :
soit
Z" <1 implique que le temps s'écoule moins vite pour [X;T] que pour [X";T"]

Point de vue de [X";T"] :

Durant la seconde période


Ce qui donne :
soit

Z" <1 < Z* <1 implique que le temps s'écoule moins vite pour [X;T] que pour [X';T']

Je n'obtiens pas le résultat attendu mais je pense que le premier résultat est correct parce que du point de vue de [X;T] , les deux autres vont dans le même sens ce qui n'est pas le cas dans le point de vue de [X';T'] et [X";T"]


Cordialement,
Zefram
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[phys4]

Bonjour ZC,

Le calcul présenté est bien lourd.

Vous devez trouvé le moyen de la simplifier et de donner le résultat final en quelques lignes.
En cherchant un peu, le calcul est été fait complétement sur le forum.

Bonne chance.

[Mailou75]

Salut Zef,

Je suis un peu de l'avis de phys4, pour le paradoxe des jumeaux deux observateurs devraient suffire (?)
Pourrais tu faire un petit post sans calcul juste pour expliquer ce que tu fais ?

[Amanuensis]

Même pas besoin de deux référentiels. Un seul suffit, avec un calcul de durée propre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mailou75]

Il adore le Latex c'est son p'tit penchant SM

[Zefram Cochrane]

hye ,
Je vous ma comment Amanuensis s'y prend avec un seul référentiel?

Je peut peut être limiter à deux observateur, ce qui doit aboutir au résultat du point de vue de [X;T] dans l'étape 3 .
J'ai déjà fiat pire comme lourdeur de calcul, dans ce fil, j'ai fait un effort tout particulier sur la présentation et j'ai limité le nombre d'étapes intermédiaires au minimum.

Le problème avec deux observateurs pour un déplacement relatif avec une vitesse v unique est que la situation est symétrique.

Je vais donc repartir de l'étape 2. dans un référentiel supposé fixe, un observateur va s'éloigner continuement à la vitesse V'. Au bout d'un intervalle de temps T1 l'autre va ensuite le rattraper à la vitesse V* et arrivera à son niveau après un intervalle de temps T2 (T1 et T2 mesuré dans le référentiel fixe). Le but du jeu est de prouver que le temps s'écoule moins vite pendant l'intervalle de temps T2 pour l'observateur qui a du patienter pendant l'intervalle de temps T1 que pour l'autre.
Je l'ai déjà fait j'aurais aimé aussi prouver que le temps s'écoule plus vite dans le référentiel fixe du point de vue des observateurs en mouvement par rapport à lui mais cela ne marche pas. Par contre cela démontre très bien qu'en RR, il n'y a pas de référentiel privilégié, et ce que tu m'expliquait avec tes schémas concernant les déplacements relatifs des uns et des autres (effet doppler) dans ton univers (de Mailou)

Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

Je vous ma comment Amanuensis s'y prend avec un seul référentiel?

Simple, on prend comme système de coordonnées celui tel que l'observateur dit "fixe" est immobile, et tel que la trajectoire de l'autre s'exprime comme x=vt de t=0 à T, et x = v(2T-t) pour t=T à 2T, et on calcul la durée propre de chacune des deux trajectoires par dtau²=dt²-dx²/c². Les calculs sont très simples, et le résultat tombe tout de suite.

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Le paradoxe des jumeaux porte sur le temps propre, et se calcule en termes de temps propre. Direct et facile.

[Mailou75]

(...) et ce que tu m'expliquait avec tes schémas concernant les déplacements relatifs des uns et des autres (effet doppler) dans ton univers (de Mailou)

Pô compris, désolé

Pour moi, le paradoxe des jumeaux ça se limite à =t/, point.

Tu peux tartiner des pages de Latex, si tu ne trouves pas ce résultat à la fin c'est que tu t'es trompé

[vaincent]

Pour moi, le paradoxe des jumeaux ça se limite à =t/, point.

La résolution du paradoxe des jumeaux peut se résumer à montrer qu'il n'y a pas symétrie des points de vue. Ce que tu écris c'est plutôt l'origine du paradoxe que sa résolution.

[Mailou75]

La résolution du paradoxe des jumeaux peut se résumer à montrer qu'il n'y a pas symétrie des points de vue. Ce que tu écris c'est plutôt l'origine du paradoxe que sa résolution.

Oui c'est sur, la solution se trouve dans l'asymétrie car un des deux jumeaux a mis la Terre dans son sac à dos, du coup il pèse plus lourd (M>>m) il est donc "approximativement" inertiel !
Mais une fois qu'on a fait cette "approximation de RG" le calcul reste de la RR, celui que j'ai indiqué, non ?

[Amanuensis]

Oui c'est sur, la solution se trouve dans l'asymétrie car un des deux jumeaux a mis la Terre dans son sac à dos, du coup il pèse plus lourd (M>>m) il est donc "approximativement" inertiel !

Non. L'exposition usuelle du paradoxe des jumeaux est que le "fixe" est immobile relativement à un référentiel galiléen, i.e., un référentiel où la métrique est ds²=dt²-dx².

Si on voulait faire un calcul détaillé avec une autre hypothèse le calcul de la durée propre pour le fixe est compliqué, et ce n'est pas une condition comme M>>m qui suffit pour conclure ! Par exemple la vitesse angulaire de la Terre intervient.

Mais une fois qu'on a fait cette "approximation de RG" le calcul reste de la RR, celui que j'ai indiqué, non ?

On se fiche du calcul en fait. Résoudre un paradoxe ne consiste pas à montrer qu'un calcul est juste, mais à rendre compte de la contradiction apparente entre la "doxa" et la science.

Ici la doxa est que l'âge est le même, soit par hypothèse implicite d'un temps absolu, soit (plus sophistiqué) par l'affirmation de la symétrie des situations.

Le premier cas renvoie à la question du pourquoi en physique on "préfère" le modèle de l'espace-temps de Minkowski au modèle avec temps absolu (et in fine cela renvoie aux constats expérimentaux).

Le second cas amène à montrer où est la dissymétrie, qui est essentiellement l'existence de référentiels privilégiés dans lesquels la métrique s'écrit ds²=dt²-dx², et le choix spécifique de prendre un "fixe" immobile dans un tel référentiel. Ce qui renvoie au modèle d'espace-temps, et on se raccroche au cas précédent.

Les calculs détaillés ne sont que de l'habillage, ils ne prouvent rien d'autre que l'affirmation "le modèle de l'espace-temps de la RR implique des âges différents", affirmation qui est incluse comme prémisse dans le paradoxe. Le paradoxe ne vient pas d'une non croyance dans cette affirmation, mais dans la contradiction entre âges différents et la doxa, et donc entre RR et doxa.

[Mailou75]

Par exemple la vitesse angulaire de la Terre intervient

C'est une plaisanterie ?...

Résoudre un paradoxe ne consiste pas à montrer qu'un calcul est juste, mais à rendre compte de la contradiction apparente entre la "doxa" et la science

Évidement la "doxa" te dira que la RR est fausse, que la RG est fausse et que la MQ est fausse... la "doxa" c'est simplement l'ignorance, je ne vois vraiment pas le but de cette confrontation !

(...) et le choix spécifique de prendre un "fixe" immobile dans un tel référentiel

Mais ça n'a rien d'un choix ! Si tu considères que le voyageur est "fixe" tu auras le résultat inverse, cad faux !!

Si tu t'amuses à te tromper volontairement, il faudra alors supposer que la vitesse de la lumière varie selon son sens de propagation (voir schéma joint)

ds²=dt²-dx²

Quant à ceci, tant qu'on est en 1D d'espace, ce n'est rien d'autre pour moi qu'une conservation de "surface d'espace temps" par changement de référentiel,
cette forme de Pythagore hyperbolique n'est utile que pour un passage à des dimensions supérieures !
(voir ici http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post4107876, le rectangle et le losange dont la "diagonale" est s ont la même surface, on ne fait que repérer un évènement dans l'espace temps)

Quel esprit de contradiction...

[Zefram Cochrane]

La résolution du paradoxe des jumeaux peut se résumer à montrer qu'il n'y a pas symétrie des points de vue. Ce que tu écris c'est plutôt l'origine du paradoxe que sa résolution.

Bonjour,
Exactement. Je pense qu'il faut au minimum 3 systèmes de coordonnées; j'ai enfin compris la différence avec référentiels
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformations_de_Lorentz
De plus il suffit de prendre les TL, calculter et on retrouve que

Je suis un peu étonné pour les dt , dx etc... car en RR :



donc

Cordialement,
zefram

[Amanuensis]

Je suis un peu étonné pour les dt , dx etc... car en RR :

Très faux, et erreur qui semble commune (un méfait des mauvais concepts de "dilatation du temps" et autres de même farine).

Si on veut vraiment écrire quelque chose comme çà, c'est


et



le remplacement des "d" par les dérivées partielles est critique, car les dérivées partielles indiquées se lisent respectivement "à x constant" et "à t constant" (autrement dit resp. "en se limitant à dx=0" et "en se limitant à dt=0", ce qui permet de se raccorcher à la formule donnant la métrique).

[Zefram Cochrane]

Est bon dans ce cas là :




donc

Cordialement
Zefram

[Amanuensis]

Non, pas mieux.

Peut-être l'écriture de la TL comme suit aidera :

[Zefram Cochrane]

tu a pris c=1





de là : on a :


et

Est ce que c'est bon jusqu'ici?

[Amanuensis]

tu a pris c=1

Non...

Est ce que c'est bon jusqu'ici?

Oui, presque, et sauf pour la dernière égalité.

Cn écrit plutôt (et ce seulement si on parle d'une trajectoire, ce qui n'est le cas des autres formules...)

[pas facile d'expliquer quand c'est la dérivée et quand c'est la partielle. Quant au c remplacé par v, j'imagine que le "c" était une erreur.]

Les "c" rajoutés dans les formules ne sont pas corrects, ou alors il en manque (il y a des erreurs dimensionnelles, et ce n'était pas le cas des formules que j'ai données).

[Amanuensis]

Pour aider voilà comment j'aurais écrit :





de là : on a :


Si je ne me suis pas trompé, c'est dimensionnellement correct.

[Zefram Cochrane]

Très faux, et erreur qui semble commune (un méfait des mauvais concepts de "dilatation du temps" et autres de même farine).

Si on veut vraiment écrire quelque chose comme çà, c'est


et



le remplacement des "d" par les dérivées partielles est critique, car les dérivées partielles indiquées se lisent respectivement "à x constant" et "à t constant" (autrement dit resp. "en se limitant à dx=0" et "en se limitant à dt=0", ce qui permet de se raccorcher à la formule donnant la métrique).

Bonjour,
Est-ce correct en RR?

j'ai un doute sur

Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

Si je prends la transformation de Lorentz telle qu'écrite usuellement



On a bien

la relation est peut-être plus claire si on écrit la TL en différentielle ? (Ce qui est d'ailleurs plus correcte, pour différentes raisons...)

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

J'ai un peu du mal à comprendre la signification de la relation car :



si le mobile émet un photon alors la distance parcourue pendant un temps dans le système de coordonnées R'
et dans le système de coordonnées R :


donc :


Peut être fais-je une erreur de raisonnement ou une erreur de lecture des dérivées partielles; d'où mon interrogation.

Je saurais retrouver le calcul, ammenant à , je l'ai déjà griffoné dans le bouquin Relativité Restreinte et Générale d'Albert Einstein (à partir des TL justement)

Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

En partant de



et si dx/dt=c, on a



Donc



----

Vous faites toujours la même erreur, consistant à mélanger des dérivées partielles, alors qu'une est "à t constant" et l'autre "à x constant". Faut revenir à la relation différentielle complète comme je le fais ci-dessus, qui fait intervenir les deux autres dérivées partielles ( et), qui ne sont pas nulles.

Ou encore, vous faites comme si la TL était



ce qui est faux...

[Amanuensis]

Je saurais retrouver le calcul, ammenant à , je l'ai déjà griffoné dans le bouquin Relativité Restreinte et Générale d'Albert Einstein (à partir des TL justement)

Il n'y a aucun calcul à faire pour obtenir cela, c'est juste la définition. est le facteur multiplicatif de dx dans l'écriture de dx' en fonction de dx et dt (autrement dit une partie de la TL). On voit dans l'écriture classique de la TL que c'est , c'est aussi simple que ça.

[Zefram Cochrane]

En partant de



et si dx/dt=c, on a



Donc



----

Vous faites toujours la même erreur, consistant à mélanger des dérivées partielles, alors qu'une est "à t constant" et l'autre "à x constant". Faut revenir à la relation différentielle complète comme je le fais ci-dessus, qui fait intervenir les deux autres dérivées partielles ( et), qui ne sont pas nulles.

Ou encore, vous faites comme si la TL était



ce qui est faux...

On a un peu le même problème à ce que je vois ?

De mémoire, dans son livre que j'ai cité, Albert Einstein était parti de



Il avait fait un raisonnement du même type que toi pour déterminer par contre pour

il y avait un petit calcul du genre
( dont l'explication physique m'échappe un peu pour le coup )

d'où


c'est la logique du calcul qui conduit au résultat.

J'imagine qu'en reprennant


qu'après avoir considéré dt = 0 on a


mais après il faudrait prendre dx'=0
pour trouver


car si on prend dx = 0 ,
alors
on a


ce qui est faux.

d'où une petite réflexion nécessaire pour lever mon interrogation, légitime je pense.
Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

Il avait fait un raisonnement du même type que toi pour déterminer

C'est contradictoire, non ?

Au passage, on a

[Zefram Cochrane]

J'ai une grosse mécrompréhension dans les dérivées partielles.
pourrais tu me définir chacun des quatres rapports STP ?

[Amanuensis]

Pas vraiment compliqué ! La TL s'écrit (je réduit à x et t)



Et les relations différentielles quand un vecteur (x,t) est obtenu comme une fonction d'un autre (x', t') sont en toute généralité



est la dérivée de la fonction (t', x') --> t quand on garde d' constant. Pareil pour les autres...

Par simple comparaison, on a , et

[Amanuensis]

Et par symétrie on a

, et

[Zefram Cochrane]

Pas vraiment compliqué ! La TL s'écrit (je réduit à x et t)



Et les relations différentielles quand un vecteur (x,t) est obtenu comme une fonction d'un autre (x', t') sont en toute généralité



est la dérivée de la fonction (t', x') --> t quand on garde d' constant. Pareil pour les autres...

Par simple comparaison, on a , et

Jusqu'ici j'ai compris (ce message et l'autre qui suit) , c'est la suite qui me pose problème :
une fois que l'on a obtenu cela, par quel raisonnement on obtient :
en considérant je présume, c'est à dire en regardant une horloge fixe dans le système de coordonnées mobile.

mais pour obtenir je suis obligé de prendre dt = 0
pourquoi ne puis je faire tout simplement ? pour la contraction des longueurs?

Cordialement,
Zefram