Des orbites elliptiques

[Marcorlet]

Je reviens sur ce forum après avoir traîner longtemps sur Internet.

Dans l'ordre j'ai butté sur plusieurs choses.
Premièrement, la loi des aires de Kepler. Je détaillerai la contradiction sur laquelle je suis tombé, plus tard.
Deuxièmement, le calcul des secteurs d'ellipse.
Troisièmement, le calcul de l'aire d'une ellipse elle-même.
J'espère que ce problème ne vous semblera pas trop trivial et que l'on ne va pas m'accuser de réinventer le fil à couper le beurre.

Partout, j'apprends que l'aire d'une ellipse est égale à π·a·b.
Par ailleurs, la circonférence d'une ellipse se trouve à l'aide de développements en séries,
ceux de Colin Maclaurin, de Gauss-Kummer, d'Euler, d'Arthur Cayley, ainsi qu'une méthode que j'ai sûrement réinventée.
Il y aussi des formules approchantes, parmi lesquelles celles de Fagnano, de Ramanujan, etc.

Tous c'est développements sont d'accord entre eux pour dire que la circonférence d'une ellipse dont
a = 149 597 887,530 km, je me suis arrangé pour que a·v2 donne 132 712 440 018, soit GM Soleil
b = 149 576 999,855 km, = a·√1-e2
c = 2 499 813,612 km, = √(a2-b2)
e = 0,016 710 220, c'est donc, je ne vous le cache pas, les caractéristiques de l'orbite de la Terre
vaut 939 885 629,495 km = Le.
Or le rayon nécessaire pour donner un cercle ayant cette circonférence vaut Le/2π = 149 587 443,875 = Re, et en prenant ce rayon, on va dire, elliptique, π·Re2 = 70 297 544 425 538 800 km2 = Se.
Alors comment se fait-il que la surface classique π·a·b = 70 297 543 911 540 800 km2 = Sc ???
Inversement le rayon nécessaire pour construire cette surface vaut √(Sc/π) = 149 587 443,328 = Rc est légèrement différent de Re.
Cela suffit toutefois pour engendrer un périmètre 2·π·Re = 939 885 626,059 km = Lc plus petit de 3,4 kilomètres.

Avec une excentricité plus grande l'écart devient de plus en plus évident.

Alors, soit la surface d'une ellipse n'est pas π·a·b, et tout le monde se contente de cette approximation, soit j'aimerais bien qu'on me démontre le contraire.

J'essaye de joindre un tableau avec cette intervention.
-----

[Nicophil]

Bonjour,

Tu ne confonds pas foyer et centre de l'ellipse ?

[Marcorlet]

Non, a et b sont les demi grand-axe et demi petit-axe de l'ellipse.
Ils se coupent au centre de l'ellipse, non au foyer.
Quant au rayon déduit d'une surface ou d'une circonférence d'ellipse, il rejoint par définition le centre d'un cercle idéal de même surface ou de même circonférence que l'ellipse étudiée.

[Kelthuzad]

Salut,

Alors comment se fait-il que la surface classique π·a·b = 70 297 543 911 540 800 km2 = Sc ???

Parce que l'orbite de la Terre est très proche du cercle, comme tu dois savoir e = 0 <=> cercle. e = 0.016 est très petite.
Tu fais en fait une approximation lorsque tu calcules la surface en tant que cercle.

Avec une excentricité plus grande l'écart devient de plus en plus évident.

Logique, moins l'ellipse sera proche d'un cercle, moins l'approximation précédente sera précise.

La surface d'une ellipse est bien n.a.b, plus e sera petit, plus a sera proche de b et plus l'approximation S = pi.r² sera précise.

[A voir en vidéo sur Futura]

[QuarkTop]

Bonjour,
Si j'ai bien compris tu as fait l'hypothèse qu'un cercle et une ellipse de même circonférence devaient avoir la même aire, puis qu'un cercle et une ellipse de même aire devaient avoir la même circonférence, mais c'est faux, comme tu peux t'en convaincre en utilisant les formules littérales.

[Kelthuzad]

Pour s'en convaincre on peut prendre un carré de côté 3 et un triangle de côté 4 ^^

[Marcorlet]

Exact, je fais cette hypothèse.
Les formules littérales ?

[Bluedeep]

Avec une excentricité plus grande l'écart devient de plus en plus évident.
.

Je ne vois pas du tout où tu veux en venir : si c'est pour démontrer que le cercle est la figure pour laquelle le ratio entre la circonférence et la surface est le plus faible (dans un plan euclidien) , c'est pas nouveau.

[QuarkTop]

Les formules littérales ?

Les formules d'aire et de circonférence en fonction de demi grand axe et de l'excentricité sans faire l'application numérique.

[Marcorlet]

Oui :
Carré 3, périmètre 12, surface 9
Triangle, 4, périmètre 12, surface 8

Affaire rondement menée.
J'avais lu quelque part que le cercle était la forme optimisant la surface.

[Marcorlet]

Je suis parti d'une hypothèse fausse que Kalthuzad a tout de suite vu.

[Nicophil]

Carré 3, périmètre 12, surface 9
Triangle, 4, périmètre 12, surface 8

J'avais lu quelque part que le cercle était la forme optimisant la surface.

Cercle : 12/2pi, périmètre 12, surface 36/pi

Le cercle optimise bien la surface pour un périmètre donné, tout comme la sphère optimise le volume pour une surface donnée (d'où la forme des gouttes d'eau, bulles de savon, etc.).

[QuarkTop]

Oui :
Carré 3, périmètre 12, surface 9
Triangle, 4, périmètre 12, surface 8

Pour l'aire du triangle ça serait plutôt 4 racine(3) soit environ 7 mais bon ça reste différent de 9 et inférieur à l'aire du cercle de même périmètre.

[Kelthuzad]

Tu trouves 8 car tu penses apparemment que 2 triangles équilatéraux forment un carré alors que ce sont 2 triangles isocèles qui forment un carré de diagonal 4.racine(2) ^^
L'aire 4 racine de 3 ? L'aire est plutôt A = 2.4.sin(45)/2 = 4.racine(2) ~ 5,7

[Kelthuzad]

Désolé c'est sin(60) donc 4.racine(3) autant (au temps ?) pour moi.

[Marcorlet]

Tu trouves 8 car tu penses apparemment que 2 triangles équilatéraux forment un carré alors que ce sont 2 triangles isocèles qui forment un carré de diagonal 4

Exact, en fait la hauteur du triangle h = √4²-2², et la surface = h·2 = 6,9282, comme l'avait noté QuarkTop.
Ce qui pourrait bien être la forme la moins favorable à la surface.

[Kelthuzad]

Attention tu as coupé mon post ce qui le rend faux.

..qui forment un carré de diagonal 4.racine(2)

[QuarkTop]

Ce qui pourrait bien être la forme la moins favorable à la surface.

On doit pouvoir faire mieux, avec une forme étoilée par exemple on doit pouvoir faire tendre l'aire vers zéro à périmètre fixé (ou un bête losange convexe replié...).