Bonjour Professeur,
J'aimerais savoir comment il est possible de calculer la forme des ondes dans cet espace dodécaédrique. Quel laplacien utilise-t-on ? Comment trouve-t-on son spectre ? Est-ce que l'on peut voir cet espace comme un quotient de la sphèreet calculer les ondes dessus ?
Merci beaucoup
Sylvestre
Bonsoir,
C'est une question très technique, et qui vient à peine d'être résolue mathématiquement. L'espace sphérique dodécaédrique est en effet le quotient de l'hypersphère S^3 par le groupe binaire icosahédral I*, qui comprend 120 générateurs. La forme des ondes dans cet espace découle du calcul des modes propres du Laplacien (celui intervenant dans l'équation de Helmholtz décrivant la propagation d'une perturbation). Les modes propres du Laplacien de S^3 sont connus, mais les modes propres de l'espace dodécaédrique n'en forment qu'un sous-ensemble. Pour aller plus loin, je ne puis que vous indiquer nos articles spécialisés, par exemple :
"Eigenmodes of 3-dimensional spherical spaces and their application to cosmology" by Roland Lehoucq, Jeffrey Weeks, Jean-Philippe Uzan, Evelise Gausmann and Jean-Pierre Luminet: Class. Quant. Grav. (2002) 19, 4683-4708 , téléchargeable sur http://fr.arxiv.org/abs/gr-qc/0205009 , et "Eigenmodes of Dodecahedral space" par Lachieze-Rey Marc, Class.Quant.Grav. 21 (2004) 2455-2464, http://fr.arxiv.org/abs/gr-qc/0402035. Bon courage (il nous en a fallu) !
J.P. Luminet
