Bonjour,
J’ai téléchargé ce petit logiciel.
http://www.geometrygames.org/CurvedSpaces/
Avec le quel il apparaît 2 Dodécaèdres,
HyperbolicDodecahedron et PoincaréDodecahedralSpace.
Question 1 :
Dodécaèdre de Poincaré correspond-il au polychore 120 cellules ?
Comme défini par ce lien
http://www.en.wikipedia.org/wiki/120-cell
Question 2 :
Quelle est la différence entre ces 2 Dodécaèdres ?
Par avance, Merci de vos commentaires.
Oui. Au même sens que le tore correspond au pavage du plan par des parallélogrammes. Le polychore à 120 cellules peut être vu comme le pavage de la sphère 3D par 120 cellules dodécaédriques (comme la sphère 2D peut être pavée par 6 "carrés" -le cube- ou 12 "pentagones" -le dodécaèdres). Ce sont des espaces courbes, les carrés par exemple sont des portions de la sphère.)Envoyé par begue
Ce n'est pas vraiment les "dodécaèdres" qui sont différents.Question 2 :
Quelle est la différence entre ces 2 Dodécaèdres ?
Il y a diverses manières de présenter la différence.
On peut voir la différence sur les espaces construits en prenant comme motif pavant un dodécaèdre. (Ensuite, on utilise le pavage pour "quotienter" l'espace pavé, en considérant que toutes les mailles sont des copies d'un seul espace.)
Dans le cas de la sphère de Poincaré, le pavage est tel que 4 dodécaèdres se rencontrent à chaque sommet.
Dans le cas du pavage hyperbolique, il y a un plus grand nombre (je ne me rappelle plus lequel, et il y a sûrement plusieurs possibilités si ce n'est une infinité) de dodéca qui se rencontrent à chaque sommet.
C'est d'ailleurs lié à la courbure (sphére, plate ou hyperbolique).
C'est plus simple à voir en 2D. Si on pave avec des carrés:
- 3 se rencontrent à chaque sommet: on obtient un pavage de la sphère (le cube);
- 4 se rencontrent à chaque sommet: on obtient un pavage du plan;
- 5 ou plus se rencontrent à chaque sommet: on obtient un pavage de l'espace hyperbolique.
Ou avec les triangles (3, 4 et 5 -> sphère; 6 -> plan; 7 et plus -> espace hyperbolique).
En espérant que cela aide.
Cordialement,
Bonsoir,
merci ,c’est très clair.Reponse2 :
Dans le cas de la sphère de Poincaré, le pavage est tel que 4 dodécaèdres se rencontrent à chaque sommet.
Dans le cas du pavage hyperbolique, il y a un plus grand nombre
Par contre je ne ‘sens’ pas :
Encore merci.le tore correspond au pavage du plan par des parallélogrammes
Si on prend un plan pavé par des parallélogrammes tous identiques, et qu'on considère que deux points du plan sont "le même point" d'un certain espace quand les deux points du plan sont dans la même position relative au parallélogramme dans lequel ils se trouvent, l'espace obtenu est un tore.
Imagine une fourmi se déplaçant sur un tore; alors une fourmi se déplaçant dans le plan avec une copie de la fourmi par parallélogramme se déplaçant toutes de concert, parallèlement, donne la même "image" du mouvement de la fourmi, ainsi que du monde dans lequel elle évolue.
Autre manière de voir: on découpe un parallélogramme en papier extensible, et on replie un bord sur le bord opposé: on obtient une sorte de cylindre; si on replie le cylindre de manière à faire coïncider les bords, on obtient un tore.
Avec un rectangle c'est plus simple à voir, mais c'est exactement la même chose.
Le tore est donc obtenu en identifiant les bords opposés d'un parallélogramme. C'est la même chose que paver le plan et considérer que chaque parallélogramme est une copie de la surface du tore.
La sphère de Poincaré, c'est pareil: on peut la voir comme un dodéca dont on assimile les faces opposées. Mais on peut aussi le voir comme déduit du pavage de la sphère 3D par 120 formes dodécaédriques, le polychore à 120 cellules.
L'approche par les pavages en est une parmi d'autres. Je la présente parce que c'est celle qui me "parle" le plus, avec laquelle j'arrive (un peu) à voir ces différents espaces. L'apprentissage le plus simple est en 2D, le tore puis le plan projectif, la bouteille de Klein puis les espaces compacts hyperboliques.
Cordialement,
Merci MMY,
La séquence {3,q} de pavage des espaces 2D est :
- {3,3} {3,4} {3,5} pavent la sphère.
- {3,6} pave le plan euclidien.
- {3,7} {3,8 {3,9} …… pavent le plan hyperbolique ( disque de poincaré).
Pour les 2 derniers il est évident qu’il a une infinité de triangles.
Je pensais que nombre pour la sphère était de 4, 8 ou 20 triangles.
Je viens de réaliser que l’on repasse indéfiniment sur celle ci et que ces 3 pavages ont eux aussi une infinité de triangles.
Merci pour le déclic…
Je vais continuer à ‘surfer‘ le sujet sur le web.
Cordialement.
