J'ai quelques difficultés à comprendre E, surement parce que j'ai des lacunes sur FLRW (jamais pris le temps de l'aborder en profondeur), il faut que je travaille un peu ce côté.
J'ai jeté un oeil au papier sur les MTT, ça à l'air intéressant mais chaud à comprendre.
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Salut,
Tu veux dire des difficultés avec la forme particulière que je donne à la fonction E dans mon doc ? ou avec la signification de E en général ?Envoyé par mach3
Remarque, les deux questions sont liées, au moins dans mon esprit : je me suis plus intéressé aux solutions cosmologiques qu'aux trous noirs, pour lesquels une fois compris (équations à l'appui) pourquoi on les appelle ainsi, je me suis toujours contenté des solutions permettant de décrire ce qui se passe à l'extérieur...
Ce qui fait que l'analogie avec FLRW m'a sauté aux yeux dès que j'ai vu écrite la métrique LTB, avec comme coordonnée de temps le temps propre d'un observateur comobile, et la composante radiale de la métrique ressemblant à celle de FLRW (en prenant 2E=-kR2 et A(R,t)=a(t)R, ce qui fait que l'équation 3 de mon doc est ni plus ni moins que l'équation de Friedmann). Analogie aussi dans la forme des solutions avec et sans courbure.
Dans l'équation de Friedmann, que j'écris volontairement
le terme qui dépend de k (avec k=-1, 0 ou 1) est, à un coeff numérique près, la courbure spatiale intrinsèque. En effet, le scalaire de Ricci des hypersurfaces à t constant est égal à 6k/a2.
Il en est évidemment de même pour le terme en E/A2 dans la métrique LTB si tu écris l'équation 3 sous la même forme:
à cela près que, ici, la courbure intrinsèque des hypersurfaces à t constant dépend de R, alors qu'elle était constante sur tout l'espace-temps chez Friedmann.
Oui, je n'ai pas encore eu le courage de m'y remettre. Mais si on veut aborder le fond du problème (la croissance des trous noirs) ça me semble incontournable.J'ai jeté un oeil au papier sur les MTT, ça à l'air intéressant mais chaud à comprendre.
Dernière modification par mach3 ; 08/11/2019 à 16h06.
Remarque, cette histoire de courbure me fait penser à un truc qui pourrait expliquer que mon modèle ne conduit pas à l'apparition d'un horizon avec les conditions initiales que j'ai imposées pour l'appliquer à la formation d'une galaxie - finalement les mêmes conditions initiales (à la masse près) que dans mon document, où le modèle s'appliquait à la formation d'une grande structure (amas et plus).
En réalité les galaxies ne se forment pas à partir de zones de sur-densité isolées dans l'espace-temps FLRW, elle se forment plutôt au sein des grandes zones de sur-densité correspondant aux futurs amas. Autrement dit, pour appliquer le modèle à la formation d'une galaxie, à la limite R=1 la courbure spatiale ne doit pas être nulle, mais positive, et elle doit encore croître quand R décroît.
A la rigueur je pourrais modifier le modèle pour plonger la zone LTB dans un espace-temps FLRW avec k=1 et avec un "rayon caractéristique" a(t) très supérieur à A(t,1). L'échelle de temps (et de dimension spatiale) de l'évolution d'un futur amas étant très supérieure à celle de l'évolution d'une future galaxie, le fait d'approximer par le modèle FLRW la géométrie de l'espace-temps extérieur à la zone de sur-densité correspondant à cette future galaxie ne doit pas trop impacter le "réalisme" du modèle.
En prenant a(t) supérieur d'au moins un ordre de grandeur à A(1,t), et en identifiant les courbures spatiales des deux régions à R=1, on aurait
Dans le modèle, E(R) s'écrirait alors
Je vais modifier l'application numérique pour voir ce que ça donne. A cet après-midi pour la suite...
Salut,
Après m'être donné des maux de tête en essayant de paramétrer mon modèle, j'ai fini par réfléchir un peu...
En repartant des équations de la solution générale avec courbure positive (E<0), un horizon apparaît quand
Si E est toujours très petit devant 1 (ce que j'impose dans mon modèle), on peut faire l'approximation
On peut aussi écrire, d'où
En refaisant apparaître G et c dans l'équation,
Si M est la masse du trou noir central d'une future galaxie, même très massive, cela conduit à des valeurs de t ridiculement faibles, tout au plus de l'ordre de 104 à 105 secondes. Or un modèle représentant espace-temps empli d'un fluide parfait sans pression n'est certainement pas valide avant l'époque du CMB.
... mais en supposant qu'il le soit, on aurait bien
Le résultat est sympathique, mais je doute qu'il soit très physique. A moins d'imaginer que les premières galaxies se forment par effondrement autour de trous noirs déjà présents à l'époque du CMB.
Après tout, pourquoi pas ? Il me semble que cette hypothèse a déjà été envisagée. Mais pour aller plus loin, il faudrait adopter un modèle moins basique, adapté à un espace-temps dans lequel la densité d'énergie du rayonnement n'est pas négligeable, ainsi que les composantes de pression du tenseur énergie-impulsion. Je suis déjà tombé sur une publication qui donne une version avec pression de la métrique LTB, faudrait que je la retrouve.
Dernière modification par yves95210 ; 09/11/2019 à 08h56.
J'ai un peu fouillé parmi les publications que j'avais déjà téléchargées (mais pour la plupart, pas lues à part leur abstract). J'en ai trouvé plusieurs qui peuvent apporter des éclaircissements sur ce sujet :
Generalized Lemaitre-Tolman-Bondi Solutions with Pressure
Spherically Symmetric Gravitational Collapse of General Fluids
Pressure in Lemaître-Tolman-Bondi solutions and cosmologies
Formation of a galaxy with a central black hole in the Lemaitre-Tolman model
Liste certainement pas exhaustive...
Comme son titre l'indique, la dernière (et plus ancienne) traite le sujet de la formation d'une galaxie dans le cadre du modèle LTB "standard" (sans pression), à partir des petites fluctuations initiales à l'époque de la recombinaison - les mêmes hypothèses que celles que j'ai prises, mais avec une méthode moins basique, et qui aboutit manifestement à de meilleurs résultats:
Ce papier fait suite à deux autres des mêmes auteurs:We construct two models of the formation a galaxy with a central black hole, starting from a small initial fluctuation at recombination. This is an application of previously developed methods to find a Lemaˆıtre-Tolman model that evolves from a given initial density or velocity profile to a given final density profile. We show that the black hole itself could be either a collapsed object, or a non-vacuum generalisation of a full Schwarzschild-Kruskal-Szekeres wormhole. Particular attention is paid to the black hole’s apparent and event horizons.
etIn paper I [20], we considered the problem of finding a spherically symmetric model that evolved from a given initial density profile to a given final density profile. We showed that this can always be done with an L-T model, and we developed an alogorithm to find the arbitrary functions of such an L-T model from the given profiles. A numerical example produced an Abell cluster from a density fluctuation at recombination.
Bref, leur méthode est certainement meilleure que la mienne (même si pour les grandes structures, vides cosmiques ou amas de galaxies, j'ai pu retrouver des résultats analogues).In paper II [21], we generalised to finding L-T models that evolve from a given velocity profile to a given density profile, the converse, and also between two velocity profiles. Several numerical examples, including the evolution of a void, demonstrated the usefulness of the method.
D'autre part, dans le dernier de ces papiers (celui en lien), ils traitent le sujet de la formation des horizons (horizon apparent et horizon des événements) dans un cadre moins général que celui de la publication sur les MTT. C'est donc plus facile à suivre, avec des équations qui ressemblent à celle qu'on a écrites ici...
En regardant sur arxiv la liste des articles citant la publication ci-dessus, je suis tombé sur un court article de Matt Visser, "Physical observability of horizons", qui constitue certainement une bonne introduction (sans équations !) avant de plonger dans les calculs
En fait j'avais parcouru leurs publications à l'époque où je travaillais sur ma solution. Et j'avais préféré garder mon modèle, parce que le leur repose sur le choix d'une fonction tB(r) non triviale.
Or je ne voyais pas comment rendre cette hypothèse compatible avec les observations et avec la notion d'un temps cosmique identique pour tous les observateurs comobiles, qui se comporte donc comme un temps absolu dans les équations - notion bien ancrée chez tous ceux qui ont appris la cosmologie en considérant comme incontestable le modèle de Friedmann-Lemaître et les hypothèses simplificatrices sur lesquelles il est basé.
Mais à bien y regarder, un modèle LTB avec tB(r) ne conduit pas à des résultats si surprenants, en particulier lorsqu'on le confronte aux observations du CMB, à condition de mettre une limite à dtB/dr - comme le montre cet article, dont j'aime bien la conclusion :
Mais pour ne pas perdre de vue le sujet initial de ce fil, on peut éventuellement se contenter de raisonner à l'aide du modèle LTB avec tB=0, en partant d'une distribution de masse initiale comportant un TN central statique avec A(RH,ti)=2M(RH) dont l'horizon apparent et l'horizon des événements se confondent (bref, un TN de Schwarzschild, mais sans s'intéresser à ce qui se passe à l'intérieur) et en étudiant l'évolution de l'horizon apparent lors de la contraction de la coquille sphérique qui l'entoure, décrite par la métrique LTB avec A(1,ti) >> A(RH, ti).To the attempts at discrediting the usefulness of the L–T model (or more general ones) for cosmology, one can give a philosophical answer: objects existing in Nature do not fulfil mathematical assumptions with perfect precision. Assumptions such as spherical symmetry, axial symmetry, isolated body, free fall, ideal gas, incompressible fluid, are in reality fulfilled only up to some degree of approximation. Why should the Universe be an exception and arise in an exactly simultaneous Big Bang, when the theory allows the BB to be extended in (comoving) time? Anticipating more general solutions of Einstein’s equations, one should even expect the most general BB time to be a function of all three spatial variables, possibly limited in generality by the constraint equations.
We generally agree that the Nature acts through mathematics. If so, then it is reasonable to assume that it takes the tools from a generic set, e.g., not a constant function when nonconstant ones are admissible, not a function of 2 variables when 3 are possible, etc. Would Nature ignore all this freedom in order to keep the inflation hypothesis still alive and mainstream astronomers feeling safe with their current knowledge?
Juste une petite correction. Après, c'est promis, je ne poste plus rien avant lundi (sauf réponse à d'éventuelles questions ou remarques).
C'est bien sûr(...)
Si E est toujours très petit devant 1 (ce que j'impose dans mon modèle), on peut faire l'approximation
On peut aussi écrire
et
(ce qui ne change pas grand-chose à la suite du message, l'ordre de grandeur de t est juste encore plus ridiculement faible...)
Bonjour,
Après réflexion, j'ai préféré repartir de zéro, en laissant tomber les hypothèses qui figuraient dans mon document, pour m'intéresser prioritairement aux conditions de formation d'un "trou noir cosmique" et à son évolution, mais toujours dans un modèle de fluide parfait sans pression, spatialement de symétrie sphérique, donnant lieu à l'utilisation de la métrique LTB. Ce n'est qu'après qu'on pourra essayer de vérifier si les conditions initiales auxquelles cela conduit (en particulier le profil de densité découlant du choix des fonctions M et E) peuvent être rendues compatibles avec les contraintes imposées par les observations du CMB.
Comme c'est quand-même plus confortable de travailler avec un "vrai" éditeur LaTEX qu'avec le TEX du forum, j'ai commencé à rédiger un nouveau document, ci-joint en pdf. Dans celui-ci je ne fais plus d'hypothèses a priori sur la forme des fonctions M et E, à part quelques généralités. J'y mets en évidence les conditions de l'apparition d'un horizon, à partir de l'équation des géodésiques lumière.
Je ne colle ci-dessous que la fin provisoire de ce document (le reste ne fait que reprendre les équations déjà vues dans la discussion). J'ajouterai quelques commentaires dans un prochain message.
Sur l'horizon,
Cela impose évidemment que
On a alors en
où
D'autre part,
En revanche, à
à suivre...
Si j'ai bien compris le peu que j'ai lu des publications citées (effectivement celle sur les MTT, c'est ardu...), il s'agit de l'horizon apparent. Mais c'est bien celui qui est pertinent pour nos observations (cf. l'article de Matt Visser déjà cité, "Physical observability of horizons").On a alors en
où
Je n'ai pas encore bien compris comment il peut se former un horizon des événements distinct de (et à l'extérieur de) cet horizon apparent, et ne convergeant vers lui que dans la situation idéalisée d'un TN de Schwarzschild, dans un espace-temps asymptotiquement de Minkowski.
Autrement dit, ce n'est que lorsqu'on ne peut plus faire la différence entre ce que voit un observateur comobile dans notre espace-temps asymptotiquement FLRW et ce que verrait un observateur dans l'espace-temps de Schwarzschild que les deux horizons se confondent. C'est du moins ce que j'ai retenu des pages https://en.wikipedia.org/wiki/Apparent_horizon et https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_horizon, qui expliquent succinctement ces notions (mais de manière plus accessible que les publications).
Mais bon, il me semble que ce qui nous intéresse ici est la formation et l'évolution de l'horizon apparent, puisque, comme le dit Matt Visser,
Mathematically, one needs to know the entire history of the universe, all the way into the infinite future, and all the way down to any spacelike singularity, to decide whether or not an event horizon exists right here and now. This makes event horizons unsuitable for empirical testing in either laboratories or telescopes.
In contrast, apparent and trapping horizons are defined using local (or at worst quasi-local) measurements, meaning that they are at least in principle suitable for testing in finite-size laboratories or telescopes.
Remarque : même siSur l'horizon,
(...)
Salut,
Rien de nouveau, si ce n'est qu'en relisant mon doc, je me suis aperçu que j'ai (encore) fait une boulette, et du coup aussi dans le passage que j'ai collé dans le message #39:
LesD'autre part,
En revanche, à
Très bon intro en effet, mais je suis resté sur ma faim. Il va falloir que je me renseigne sur tout ces horizons.En regardant sur arxiv la liste des articles citant la publication ci-dessus, je suis tombé sur un court article de Matt Visser, "Physical observability of horizons", qui constitue certainement une bonne introduction (sans équations !) avant de plonger dans les calculs
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Bon, ça m'aura pris du temps mais je crois que je commence enfin à entraver quelque chose à E !
Si on se met dans le cas M=constante (-->Schwarzschild) et qu'on prend 2E=-1/(1+r^2), on obtient la métrique de Schwarzschild en coordonnées de Novikov. Les comobiles (r=constante) sont alors des chuteurs libres radiaux avec culmination.
Si on prend 2E=0, on trouve... la métrique de Schwarzschild en coordonnées de Lemaitre!! Les comobiles sont alors des chuteurs libres radiaux avec vitesse nulle à l'infini.
E serait donc lié à l'énergie mécanique du comobile dans le cas Schwarzschild... à creuser.
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Oui, à un facteur c2 près puisque
Et pas seulement dans le cas de Schwarzschild, selon l'équation
Mais
Comme je l'ai déjà dit plus haut, dans le cas de Friedmann-Lemaître,
L'équation ci-dessus devient l'équation de Friedmann
et
Je n'ai pas eu le courage de faire l'exercice (coeffs de Christoffel, tenseur et scalaire de Ricci) dans le cas général de la métrique LTB, mais par analogie avec Friedmann-Lemaître, je suppose qu'on a
Dernière modification par yves95210 ; 13/11/2019 à 11h23.
encore une coquille :
C'est évidemment
Salut,
Non, je n'avais pas laissé tomber...
J'ai perdu pas mal de temps, en essayant d'utiliser les expressions générales (sans hypothèses sur la forme des fonctions(...), j'ai commencé à rédiger un nouveau document, ci-joint en pdf. Dans celui-ci je ne fais plus d'hypothèses a priori sur la forme des fonctions M et E, à part quelques généralités. J'y mets en évidence les conditions de l'apparition d'un horizon, à partir de l'équation des géodésiques lumière.
Je ne colle ci-dessous que la fin provisoire de ce document (le reste ne fait que reprendre les équations déjà vues dans la discussion). J'ajouterai quelques commentaires dans un prochain message.
Sur l'horizon,
Cela impose évidemment que
On a alors en
où
D'autre part,
En revanche, à
à suivre...
Mais je me suis vite aperçu que cela conduit à une équation impossible à résoudre à moins de choisir un cas particulier, et donc de se pencher sur les fameuses fonctions
En restant dans le cas général de la métrique LTB avec
A l'instant
Alors,
En posant
d'où
Cette dérivée est évidemment négative puisque
En écrivant
Si
comme
On en déduit donc que le rayon aréal de l'horizon apparent (et donc la masse du trou noir qu'il définit) augmente avec le temps.
L'horizon se forme au premier instant
En effet il existe alors obligatoirement une valeur de
J'y reviendrai sans-doute plus tard (avec un document complété, avec graphiques et tout et tout), mais les premiers résultats que j'obtiens numériquement à partir d'hypothèses réalistes (évolution d'une petite zone de sur-densité depuis l'époque du CMB) conduisent bien à l'apparition d'un horizon, et donc d'un trou noir, à une époque où l'âge de l'univers est raisonnable (environ 700 millions d'années) par rapport à la date à laquelle les premières galaxies ont commencé à se former.
Donc, même s'il ne peut pas prétendre représenter à lui tout seul le processus de formation d'une galaxie (ou même à son début), le toy-model basé sur la métrique LTB semble être donc assez instructif à propos des conditions de l'apparition de son trou noir central et de sa croissance. La limite de l'exercice (le mien, avec un modèle très simplifié) se situe à l'époque où une partie de plus en plus importante de la matière constituant la galaxie cesse de tomber bêtement vers son centre en se mettant progressivement en rotation, jusqu'à ce que la galaxie soit stabilisée.
Ah, je commençais à m'inquiéter!
hâte de voir les schéma! et hâte d'avancer suffisamment sur le sujet de mon côté pour bien te suivre (parce que pour l'instant je ne lis qu'en diagonal)
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Bah...
C'est juste que je n'avance pas vite. Et que j'ai tendance à tourner en rond quand je travaille seul dans mon coin, sans "prof" pour s'apercevoir de mes erreurs avant moi ou pour me dire que je suis parti sur une mauvaise piste.
A priori je me pose des problèmes moins compliqués que toi, au moins sur le plan théorique...hâte de voir les schéma! et hâte d'avancer suffisamment sur le sujet de mon côté pour bien te suivre (parce que pour l'instant je ne lis qu'en diagonal)
Mais les schémas c'est pas pour tout de suite, sauf en trichant un peu : je me suis aperçu que j'ai fait une erreur en établissant l'équation qui relie ma fonction E au profil de densité que j'ai utilisé comme condition initiale (autrement dit j'ai commencé par choisir la fonction M).
L'erreur revient à faire une approximation que je n'avais pas prévue sur les conditions initiales (normal: s'il suffisait de choisir M pour déterminer E, il n'y aurait pas deux fonctions indépendantes dans la solution générale; en fait l'approximation que j'ai faite involontairement consistait à dire qu'en ti,
Sans cette erreur, les calculs ne sont plus aussi simples. Ceci dit, au moins en ordre de grandeur ça ne doit pas modifier le résultat dont je parlais hier, la courbe Ah (t_h). Allez, pour te faire plaisir je la colle quand-même ici.
Les calculs sont faits pour un masse M(1)=1042kg, avec
Et j'ai vérifié que malgré l'approximation involontaire qui conduit à cette fonction E, l'écart entre
On constate sur la courbe (et les données) que l'horizon se forme en même temps que la singularité centrale, qui est donc cachée. Cela se produit vers t=2,3 millions d'années (et pas 700 millions comme je l'ai écrit dans le message précédent...)
