Croissance des trous noirs

[mach3]

J'ai quelques difficultés à comprendre E, surement parce que j'ai des lacunes sur FLRW (jamais pris le temps de l'aborder en profondeur), il faut que je travaille un peu ce côté.

J'ai jeté un oeil au papier sur les MTT, ça à l'air intéressant mais chaud à comprendre.

m@ch3
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[yves95210]

Salut,

J'ai quelques difficultés à comprendre E, surement parce que j'ai des lacunes sur FLRW (jamais pris le temps de l'aborder en profondeur), il faut que je travaille un peu ce côté.

Tu veux dire des difficultés avec la forme particulière que je donne à la fonction E dans mon doc ? ou avec la signification de E en général ?

Remarque, les deux questions sont liées, au moins dans mon esprit : je me suis plus intéressé aux solutions cosmologiques qu'aux trous noirs, pour lesquels une fois compris (équations à l'appui) pourquoi on les appelle ainsi, je me suis toujours contenté des solutions permettant de décrire ce qui se passe à l'extérieur...
Ce qui fait que l'analogie avec FLRW m'a sauté aux yeux dès que j'ai vu écrite la métrique LTB, avec comme coordonnée de temps le temps propre d'un observateur comobile, et la composante radiale de la métrique ressemblant à celle de FLRW (en prenant 2E=-kR² et A(R,t)=a(t)R, ce qui fait que l'équation 3 de mon doc est ni plus ni moins que l'équation de Friedmann). Analogie aussi dans la forme des solutions avec et sans courbure.

Dans l'équation de Friedmann, que j'écris volontairement

le terme qui dépend de k (avec k=-1, 0 ou 1) est, à un coeff numérique près, la courbure spatiale intrinsèque. En effet, le scalaire de Ricci des hypersurfaces à t constant est égal à 6k/a².
Il en est évidemment de même pour le terme en E/A² dans la métrique LTB si tu écris l'équation 3 sous la même forme:

à cela près que, ici, la courbure intrinsèque des hypersurfaces à t constant dépend de R, alors qu'elle était constante sur tout l'espace-temps chez Friedmann.

J'ai jeté un oeil au papier sur les MTT, ça à l'air intéressant mais chaud à comprendre.

Oui, je n'ai pas encore eu le courage de m'y remettre. Mais si on veut aborder le fond du problème (la croissance des trous noirs) ça me semble incontournable.

[yves95210]

Remarque, cette histoire de courbure me fait penser à un truc qui pourrait expliquer que mon modèle ne conduit pas à l'apparition d'un horizon avec les conditions initiales que j'ai imposées pour l'appliquer à la formation d'une galaxie - finalement les mêmes conditions initiales (à la masse près) que dans mon document, où le modèle s'appliquait à la formation d'une grande structure (amas et plus).

En réalité les galaxies ne se forment pas à partir de zones de sur-densité isolées dans l'espace-temps FLRW, elle se forment plutôt au sein des grandes zones de sur-densité correspondant aux futurs amas. Autrement dit, pour appliquer le modèle à la formation d'une galaxie, à la limite R=1 la courbure spatiale ne doit pas être nulle, mais positive, et elle doit encore croître quand R décroît.
A la rigueur je pourrais modifier le modèle pour plonger la zone LTB dans un espace-temps FLRW avec k=1 et avec un "rayon caractéristique" a(t) très supérieur à A(t,1). L'échelle de temps (et de dimension spatiale) de l'évolution d'un futur amas étant très supérieure à celle de l'évolution d'une future galaxie, le fait d'approximer par le modèle FLRW la géométrie de l'espace-temps extérieur à la zone de sur-densité correspondant à cette future galaxie ne doit pas trop impacter le "réalisme" du modèle.

En prenant a(t) supérieur d'au moins un ordre de grandeur à A(1,t), et en identifiant les courbures spatiales des deux régions à R=1, on aurait

Dans le modèle, E(R) s'écrirait alors


Je vais modifier l'application numérique pour voir ce que ça donne. A cet après-midi pour la suite...

[yves95210]

Salut,

Après m'être donné des maux de tête en essayant de paramétrer mon modèle, j'ai fini par réfléchir un peu...
En repartant des équations de la solution générale avec courbure positive (E<0), un horizon apparaît quand




Si E est toujours très petit devant 1 (ce que j'impose dans mon modèle), on peut faire l'approximation


On peut aussi écrire , d'où



En refaisant apparaître G et c dans l'équation,


Si M est la masse du trou noir central d'une future galaxie, même très massive, cela conduit à des valeurs de t ridiculement faibles, tout au plus de l'ordre de 10⁴ à 10⁵ secondes. Or un modèle représentant espace-temps empli d'un fluide parfait sans pression n'est certainement pas valide avant l'époque du CMB.
... mais en supposant qu'il le soit, on aurait bien


Le résultat est sympathique, mais je doute qu'il soit très physique. A moins d'imaginer que les premières galaxies se forment par effondrement autour de trous noirs déjà présents à l'époque du CMB.
Après tout, pourquoi pas ? Il me semble que cette hypothèse a déjà été envisagée. Mais pour aller plus loin, il faudrait adopter un modèle moins basique, adapté à un espace-temps dans lequel la densité d'énergie du rayonnement n'est pas négligeable, ainsi que les composantes de pression du tenseur énergie-impulsion. Je suis déjà tombé sur une publication qui donne une version avec pression de la métrique LTB, faudrait que je la retrouve.

[yves95210]

(...)
A moins d'imaginer que les premières galaxies se forment par effondrement autour de trous noirs déjà présents à l'époque du CMB.
Après tout, pourquoi pas ? Il me semble que cette hypothèse a déjà été envisagée. Mais pour aller plus loin, il faudrait adopter un modèle moins basique, adapté à un espace-temps dans lequel la densité d'énergie du rayonnement n'est pas négligeable, ainsi que les composantes de pression du tenseur énergie-impulsion. Je suis déjà tombé sur une publication qui donne une version avec pression de la métrique LTB, faudrait que je la retrouve.

J'ai un peu fouillé parmi les publications que j'avais déjà téléchargées (mais pour la plupart, pas lues à part leur abstract). J'en ai trouvé plusieurs qui peuvent apporter des éclaircissements sur ce sujet :
Generalized Lemaitre-Tolman-Bondi Solutions with Pressure
Spherically Symmetric Gravitational Collapse of General Fluids
Pressure in Lemaître-Tolman-Bondi solutions and cosmologies
Formation of a galaxy with a central black hole in the Lemaitre-Tolman model
Liste certainement pas exhaustive...

Comme son titre l'indique, la dernière (et plus ancienne) traite le sujet de la formation d'une galaxie dans le cadre du modèle LTB "standard" (sans pression), à partir des petites fluctuations initiales à l'époque de la recombinaison - les mêmes hypothèses que celles que j'ai prises, mais avec une méthode moins basique, et qui aboutit manifestement à de meilleurs résultats:

We construct two models of the formation a galaxy with a central black hole, starting from a small initial fluctuation at recombination. This is an application of previously developed methods to find a Lemaˆıtre-Tolman model that evolves from a given initial density or velocity profile to a given final density profile. We show that the black hole itself could be either a collapsed object, or a non-vacuum generalisation of a full Schwarzschild-Kruskal-Szekeres wormhole. Particular attention is paid to the black hole’s apparent and event horizons.

Ce papier fait suite à deux autres des mêmes auteurs:

In paper I [20], we considered the problem of finding a spherically symmetric model that evolved from a given initial density profile to a given final density profile. We showed that this can always be done with an L-T model, and we developed an alogorithm to find the arbitrary functions of such an L-T model from the given profiles. A numerical example produced an Abell cluster from a density fluctuation at recombination.

et

In paper II [21], we generalised to finding L-T models that evolve from a given velocity profile to a given density profile, the converse, and also between two velocity profiles. Several numerical examples, including the evolution of a void, demonstrated the usefulness of the method.

Bref, leur méthode est certainement meilleure que la mienne (même si pour les grandes structures, vides cosmiques ou amas de galaxies, j'ai pu retrouver des résultats analogues).

D'autre part, dans le dernier de ces papiers (celui en lien), ils traitent le sujet de la formation des horizons (horizon apparent et horizon des événements) dans un cadre moins général que celui de la publication sur les MTT. C'est donc plus facile à suivre, avec des équations qui ressemblent à celle qu'on a écrites ici...

[yves95210]

D'autre part, dans le dernier de ces papiers (celui en lien), ils traitent le sujet de la formation des horizons (horizon apparent et horizon des événements) dans un cadre moins général que celui de la publication sur les MTT. C'est donc plus facile à suivre, avec des équations qui ressemblent à celle qu'on a écrites ici...

En regardant sur arxiv la liste des articles citant la publication ci-dessus, je suis tombé sur un court article de Matt Visser, "Physical observability of horizons", qui constitue certainement une bonne introduction (sans équations !) avant de plonger dans les calculs

[yves95210]

Formation of a galaxy with a central black hole in the Lemaitre-Tolman model
(...)
traite le sujet de la formation d'une galaxie dans le cadre du modèle LTB "standard" (sans pression), à partir des petites fluctuations initiales à l'époque de la recombinaison - les mêmes hypothèses que celles que j'ai prises, mais avec une méthode moins basique, et qui aboutit manifestement à de meilleurs résultats
(...)
Ce papier fait suite à deux autres des mêmes auteurs [qui traitent le problème de l'évolution d'un profil de densité initial à un profil de densité final donnés, et qui appliquent leur solution numériquement aux grandes structures]

En fait j'avais parcouru leurs publications à l'époque où je travaillais sur ma solution. Et j'avais préféré garder mon modèle, parce que le leur repose sur le choix d'une fonction t_B(r) non triviale.
Or je ne voyais pas comment rendre cette hypothèse compatible avec les observations et avec la notion d'un temps cosmique identique pour tous les observateurs comobiles, qui se comporte donc comme un temps absolu dans les équations - notion bien ancrée chez tous ceux qui ont appris la cosmologie en considérant comme incontestable le modèle de Friedmann-Lemaître et les hypothèses simplificatrices sur lesquelles il est basé.

Mais à bien y regarder, un modèle LTB avec t_B(r) ne conduit pas à des résultats si surprenants, en particulier lorsqu'on le confronte aux observations du CMB, à condition de mettre une limite à dt_B/dr - comme le montre cet article, dont j'aime bien la conclusion :

To the attempts at discrediting the usefulness of the L–T model (or more general ones) for cosmology, one can give a philosophical answer: objects existing in Nature do not fulfil mathematical assumptions with perfect precision. Assumptions such as spherical symmetry, axial symmetry, isolated body, free fall, ideal gas, incompressible fluid, are in reality fulfilled only up to some degree of approximation. Why should the Universe be an exception and arise in an exactly simultaneous Big Bang, when the theory allows the BB to be extended in (comoving) time? Anticipating more general solutions of Einstein’s equations, one should even expect the most general BB time to be a function of all three spatial variables, possibly limited in generality by the constraint equations.
We generally agree that the Nature acts through mathematics. If so, then it is reasonable to assume that it takes the tools from a generic set, e.g., not a constant function when nonconstant ones are admissible, not a function of 2 variables when 3 are possible, etc. Would Nature ignore all this freedom in order to keep the inflation hypothesis still alive and mainstream astronomers feeling safe with their current knowledge?

Mais pour ne pas perdre de vue le sujet initial de ce fil, on peut éventuellement se contenter de raisonner à l'aide du modèle LTB avec t_B=0, en partant d'une distribution de masse initiale comportant un TN central statique avec A(R_H,t_i)=2M(R_H) dont l'horizon apparent et l'horizon des événements se confondent (bref, un TN de Schwarzschild, mais sans s'intéresser à ce qui se passe à l'intérieur) et en étudiant l'évolution de l'horizon apparent lors de la contraction de la coquille sphérique qui l'entoure, décrite par la métrique LTB avec A(1,t_i) >> A(R_H, t_i).

[yves95210]

Juste une petite correction. Après, c'est promis, je ne poste plus rien avant lundi (sauf réponse à d'éventuelles questions ou remarques).

(...)
Si E est toujours très petit devant 1 (ce que j'impose dans mon modèle), on peut faire l'approximation


On peut aussi écrire , d'où

C'est bien sûr

et


(ce qui ne change pas grand-chose à la suite du message, l'ordre de grandeur de t est juste encore plus ridiculement faible...)

[yves95210]

Bonjour,

Mais pour ne pas perdre de vue le sujet initial de ce fil, on peut éventuellement se contenter de raisonner à l'aide du modèle LTB avec t_B=0, en partant d'une distribution de masse initiale comportant un TN central statique avec A(R_H,t_i)=2M(R_H) dont l'horizon apparent et l'horizon des événements se confondent (bref, un TN de Schwarzschild, mais sans s'intéresser à ce qui se passe à l'intérieur) et en étudiant l'évolution de l'horizon apparent lors de la contraction de la coquille sphérique qui l'entoure, décrite par la métrique LTB avec A(1,t_i) >> A(R_H, t_i).

Après réflexion, j'ai préféré repartir de zéro, en laissant tomber les hypothèses qui figuraient dans mon document, pour m'intéresser prioritairement aux conditions de formation d'un "trou noir cosmique" et à son évolution, mais toujours dans un modèle de fluide parfait sans pression, spatialement de symétrie sphérique, donnant lieu à l'utilisation de la métrique LTB. Ce n'est qu'après qu'on pourra essayer de vérifier si les conditions initiales auxquelles cela conduit (en particulier le profil de densité découlant du choix des fonctions M et E) peuvent être rendues compatibles avec les contraintes imposées par les observations du CMB.

Comme c'est quand-même plus confortable de travailler avec un "vrai" éditeur LaTEX qu'avec le TEX du forum, j'ai commencé à rédiger un nouveau document, ci-joint en pdf. Dans celui-ci je ne fais plus d'hypothèses a priori sur la forme des fonctions M et E, à part quelques généralités. J'y mets en évidence les conditions de l'apparition d'un horizon, à partir de l'équation des géodésiques lumière.


Je ne colle ci-dessous que la fin provisoire de ce document (le reste ne fait que reprendre les équations déjà vues dans la discussion). J'ajouterai quelques commentaires dans un prochain message.

Sur l'horizon, , d'où la condition d'existence de cet horizon :





Cela impose évidemment que , et d'autre part,







On a alors en



où est la coordonnée radiale de l'horizon à la date , son rayon aréal et la masse à l'intérieur de l'horizon.

D'autre part, étant toujours négative, devient de plus en plus négative. En notant l'instant de l'apparition de l'horizon (instant avant lequel était supérieure à pour tout ), la coquille sphérique de coordonnée radiale s'effondre de plus en plus vite, et les photons de coordonnée radiale sont définitivement piégés sous l'horizon.

En revanche, à , rien n'empêche (et il est même probable) que atteigne pour des valeurs de supérieures à et de plus en plus grandes. On va s'intéresser à l'évolution de .

à suivre...

[yves95210]

On a alors en



où est la coordonnée radiale de l'horizon à la date , son rayon aréal et la masse à l'intérieur de l'horizon.

Si j'ai bien compris le peu que j'ai lu des publications citées (effectivement celle sur les MTT, c'est ardu...), il s'agit de l'horizon apparent. Mais c'est bien celui qui est pertinent pour nos observations (cf. l'article de Matt Visser déjà cité, "Physical observability of horizons").

Je n'ai pas encore bien compris comment il peut se former un horizon des événements distinct de (et à l'extérieur de) cet horizon apparent, et ne convergeant vers lui que dans la situation idéalisée d'un TN de Schwarzschild, dans un espace-temps asymptotiquement de Minkowski.
Autrement dit, ce n'est que lorsqu'on ne peut plus faire la différence entre ce que voit un observateur comobile dans notre espace-temps asymptotiquement FLRW et ce que verrait un observateur dans l'espace-temps de Schwarzschild que les deux horizons se confondent. C'est du moins ce que j'ai retenu des pages https://en.wikipedia.org/wiki/Apparent_horizon et https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_horizon, qui expliquent succinctement ces notions (mais de manière plus accessible que les publications).

Mais bon, il me semble que ce qui nous intéresse ici est la formation et l'évolution de l'horizon apparent, puisque, comme le dit Matt Visser,

Mathematically, one needs to know the entire history of the universe, all the way into the infinite future, and all the way down to any spacelike singularity, to decide whether or not an event horizon exists right here and now. This makes event horizons unsuitable for empirical testing in either laboratories or telescopes.
In contrast, apparent and trapping horizons are defined using local (or at worst quasi-local) measurements, meaning that they are at least in principle suitable for testing in finite-size laboratories or telescopes.

[yves95210]

Sur l'horizon, , d'où la condition d'existence de cet horizon :


(...)

Remarque : même si , il n'est pas nécessaire de faire l'approximation dont j'avais parlé dans un précédent message pour aboutir au résultat correct . Ce résultat n'est pas une approximation !

[yves95210]

Salut,

Rien de nouveau, si ce n'est qu'en relisant mon doc, je me suis aperçu que j'ai (encore) fait une boulette, et du coup aussi dans le passage que j'ai collé dans le message #39:

D'autre part, étant toujours négative, devient de plus en plus négative. En notant l'instant de l'apparition de l'horizon (instant avant lequel était supérieure à pour tout ), la coquille sphérique de coordonnée radiale s'effondre de plus en plus vite, et les photons de coordonnée radiale sont définitivement piégés sous l'horizon.

En revanche, à , rien n'empêche (et il est même probable) que atteigne pour des valeurs de supérieures à et de plus en plus grandes.

Les sont à remplacer par ...

[mach3]

En regardant sur arxiv la liste des articles citant la publication ci-dessus, je suis tombé sur un court article de Matt Visser, "Physical observability of horizons", qui constitue certainement une bonne introduction (sans équations !) avant de plonger dans les calculs

Très bon intro en effet, mais je suis resté sur ma faim. Il va falloir que je me renseigne sur tout ces horizons.

m@ch3

[mach3]

Bon, ça m'aura pris du temps mais je crois que je commence enfin à entraver quelque chose à E !

Si on se met dans le cas M=constante (-->Schwarzschild) et qu'on prend 2E=-1/(1+r^2), on obtient la métrique de Schwarzschild en coordonnées de Novikov. Les comobiles (r=constante) sont alors des chuteurs libres radiaux avec culmination.
Si on prend 2E=0, on trouve... la métrique de Schwarzschild en coordonnées de Lemaitre!! Les comobiles sont alors des chuteurs libres radiaux avec vitesse nulle à l'infini.

E serait donc lié à l'énergie mécanique du comobile dans le cas Schwarzschild... à creuser.

m@ch3

[yves95210]

Bon, ça m'aura pris du temps mais je crois que je commence enfin à entraver quelque chose à E !

Si on se met dans le cas M=constante (-->Schwarzschild) et qu'on prend 2E=-1/(1+r^2), on obtient la métrique de Schwarzschild en coordonnées de Novikov. Les comobiles (r=constante) sont alors des chuteurs libres radiaux avec culmination.
Si on prend 2E=0, on trouve... la métrique de Schwarzschild en coordonnées de Lemaitre!! Les comobiles sont alors des chuteurs libres radiaux avec vitesse nulle à l'infini.

E serait donc lié à l'énergie mécanique du comobile dans le cas Schwarzschild... à creuser.

Oui, à un facteur c² près puisque est sans dimension.

Et pas seulement dans le cas de Schwarzschild, selon l'équation


Mais est également lié à la courbure intrinsèque des hypersurfaces orthogonales en tout point au flux comobile.

Comme je l'ai déjà dit plus haut, dans le cas de Friedmann-Lemaître,


L'équation ci-dessus devient l'équation de Friedmann



et est la courbure intrinsèque de ces hypersurfaces 3D.

Je n'ai pas eu le courage de faire l'exercice (coeffs de Christoffel, tenseur et scalaire de Ricci) dans le cas général de la métrique LTB, mais par analogie avec Friedmann-Lemaître, je suppose qu'on a

[yves95210]

encore une coquille :

C'est évidemment ...

[yves95210]

Salut,

Non, je n'avais pas laissé tomber...

(...), j'ai commencé à rédiger un nouveau document, ci-joint en pdf. Dans celui-ci je ne fais plus d'hypothèses a priori sur la forme des fonctions M et E, à part quelques généralités. J'y mets en évidence les conditions de l'apparition d'un horizon, à partir de l'équation des géodésiques lumière.

Je ne colle ci-dessous que la fin provisoire de ce document (le reste ne fait que reprendre les équations déjà vues dans la discussion). J'ajouterai quelques commentaires dans un prochain message.

Sur l'horizon, , d'où la condition d'existence de cet horizon :





Cela impose évidemment que , et d'autre part,







On a alors en



où est la coordonnée radiale de l'horizon à la date , son rayon aréal et la masse à l'intérieur de l'horizon.

D'autre part, étant toujours négative, devient de plus en plus négative. En notant l'instant de l'apparition de l'horizon (instant avant lequel était supérieure à pour tout ), la coquille sphérique de coordonnée radiale s'effondre de plus en plus vite, et les photons de coordonnée radiale sont définitivement piégés sous l'horizon.

En revanche, à , rien n'empêche (et il est même probable) que atteigne pour des valeurs de supérieures à et de plus en plus grandes. On va s'intéresser à l'évolution de .

à suivre...

J'ai perdu pas mal de temps, en essayant d'utiliser les expressions générales (sans hypothèses sur la forme des fonctions et ) de ou pour chercher dans quelle condition s'annule - ce qui dans mon esprit devait permettre de déterminer, pour une date t donnée, la valeur de la coordonnée radiale correspondant au minimum de et de vérifier si ce minimum est égal (ou inférieur) à , confirmant l'apparition d'un horizon à (ou avant) .
Mais je me suis vite aperçu que cela conduit à une équation impossible à résoudre à moins de choisir un cas particulier, et donc de se pencher sur les fameuses fonctions et afin de pouvoir résoudre numériquement le problème à défaut de pouvoir le faire analytiquement. Je me suis donc lancé là-dedans, de manière plus rigoureuse que dans le premier doc que j'ai posté ici (message #3). C'est en cours mais pas terminé même si je commence à arriver à des résultats intéressants. Et ce sont en fait ces résultats qui m'ont mis sur la piste - piste qui aurait dû être évidente dès le départ, mais bon.

En restant dans le cas général de la métrique LTB avec , je reprends au point où j'en étais dans le message ci-dessus.

A l'instant l'horizon apparent (s'il existe) est une sphère de coordonnée radiale et de rayon aréall , tels que
et , ce qui conduit à

Alors,





En posant , l'expression entre crochets s'écrit et sa dérivée par rapport à est


d'où



Cette dérivée est évidemment négative puisque et l'expression entre crochets n'est qu'une réécriture de , bien sûr positive pour .

En écrivant ,



Si est une fonction décroissante de
comme et sont positives, est également positive, de même que , et .

On en déduit donc que le rayon aréal de l'horizon apparent (et donc la masse du trou noir qu'il définit) augmente avec le temps.

L'horizon se forme au premier instant pour lequel tend vers quand tend vers 0 (à constant est une fonction décroissante de au moins au voisinage de 0).
En effet il existe alors obligatoirement une valeur de pour laquelle , aussi petit que soit .

J'y reviendrai sans-doute plus tard (avec un document complété, avec graphiques et tout et tout), mais les premiers résultats que j'obtiens numériquement à partir d'hypothèses réalistes (évolution d'une petite zone de sur-densité depuis l'époque du CMB) conduisent bien à l'apparition d'un horizon, et donc d'un trou noir, à une époque où l'âge de l'univers est raisonnable (environ 700 millions d'années) par rapport à la date à laquelle les premières galaxies ont commencé à se former.
Donc, même s'il ne peut pas prétendre représenter à lui tout seul le processus de formation d'une galaxie (ou même à son début), le toy-model basé sur la métrique LTB semble être donc assez instructif à propos des conditions de l'apparition de son trou noir central et de sa croissance. La limite de l'exercice (le mien, avec un modèle très simplifié) se situe à l'époque où une partie de plus en plus importante de la matière constituant la galaxie cesse de tomber bêtement vers son centre en se mettant progressivement en rotation, jusqu'à ce que la galaxie soit stabilisée.

[mach3]

Ah, je commençais à m'inquiéter!

hâte de voir les schéma! et hâte d'avancer suffisamment sur le sujet de mon côté pour bien te suivre (parce que pour l'instant je ne lis qu'en diagonal)

m@ch3

[yves95210]

Ah, je commençais à m'inquiéter!

Bah...
C'est juste que je n'avance pas vite. Et que j'ai tendance à tourner en rond quand je travaille seul dans mon coin, sans "prof" pour s'apercevoir de mes erreurs avant moi ou pour me dire que je suis parti sur une mauvaise piste.

hâte de voir les schéma! et hâte d'avancer suffisamment sur le sujet de mon côté pour bien te suivre (parce que pour l'instant je ne lis qu'en diagonal)

A priori je me pose des problèmes moins compliqués que toi, au moins sur le plan théorique...

Mais les schémas c'est pas pour tout de suite, sauf en trichant un peu : je me suis aperçu que j'ai fait une erreur en établissant l'équation qui relie ma fonction E au profil de densité que j'ai utilisé comme condition initiale (autrement dit j'ai commencé par choisir la fonction M).
L'erreur revient à faire une approximation que je n'avais pas prévue sur les conditions initiales (normal: s'il suffisait de choisir M pour déterminer E, il n'y aurait pas deux fonctions indépendantes dans la solution générale; en fait l'approximation que j'ai faite involontairement consistait à dire qu'en t_i, , où a_i est le facteur d'échelle de la métrique FLRW à l'extérieur de la boule décrite par LTB. Ce qui revient à choisir une deuxième condition initiale, qui bien sûr relie E à M).

Sans cette erreur, les calculs ne sont plus aussi simples. Ceci dit, au moins en ordre de grandeur ça ne doit pas modifier le résultat dont je parlais hier, la courbe A_h (t_{_h}). Allez, pour te faire plaisir je la colle quand-même ici.

Les calculs sont faits pour un masse M(1)=10⁴²kg, avec moyennant un choix de coordonnée tel que A(R,t_i)=a_i R, et une fonction .

Et j'ai vérifié que malgré l'approximation involontaire qui conduit à cette fonction E, l'écart entre et est assez petit (et qu'il n'impacte donc pas trop la valeur de E) pour les valeurs de R concernées : de toute façon cette courbe n'a plus grand sens au-delà de t ~ 10⁹ ans, voire moins, car la galaxie a du commencer à se stabiliser et la métrique LTB n'est plus applicable telle quelle pour étudier la croissance de l'horizon.

On constate sur la courbe (et les données) que l'horizon se forme en même temps que la singularité centrale, qui est donc cachée. Cela se produit vers t=2,3 millions d'années (et pas 700 millions comme je l'ai écrit dans le message précédent...)