Croissance des trous noirs

[yves95210]

Bonjour à tous,

L'ouverture de ce fil fais suite à une discussion à propos de la croissance des trous noirs initiée ici, et à la remarque selon laquelle ce sujet ne peut pas être traitée rigoureusement avec les métriques utilisées habituellement pour décrire la géométrie de l'espace-temps autour (et à l'intérieur) d'un trou noir :
en effet, qu'il s'agisse de la métrique de Schwarzschild pour un TN statique, ou de celle de Kerr pour un TN en rotation, elles s'appliquent à un espace-temps vide. En-dehors d'une masse centrale M constante, les seuls objets massifs qu'on peut considérer lorsqu'on utilise ces métriques sont des particules-test dont la masse (et même, la somme des masses) est négligeable devant M. Dès qu'un objet traversant l'horizon des événements du TN a une masse suffisamment significative, c'est une nouvelle version de la métrique, avec une nouvelle valeur de la masse centrale, qu'il faudrait utiliser.

On peut certes donner une explication "avec les mains" de la croissance d'un TN en partant de la métrique de Schwarzschild, dont il faudrait appliquer une nouvelle version (avec une nouvelle valeur de M) à chaque fois qu'une coquille sphérique homogène de matière de masse ΔM et d'épaisseur infinitésimale traverse l'horizon (comme proposé par mach3 dans l'autre fil) - seule manière d'envisager ce processus en conservant la symétrie sphérique :
si l'espace-temps est vide à l'extérieur de cette coquille, on peut continuer d'en décrire la géométrie à l'aide de la métrique de Schwarzschild pour une masse centrale M+ΔM, avec un rayon de Schwarzschild R+ΔR, que ce soit avant ou après l'instant t où le rayon de la coquille devient plus petit que cette valeur - alors qu'à l'intérieur de la coquille c'est encore la métrique de Schwarzschild pour une masse centrale M qui s'applique (la discontinuité entre ces deux métriques au niveau de la coquille doit pouvoir être évitée si celle-ci n'est pas d'épaisseur nulle). Un observateur situé à l'extérieur de la coquille continue de "voir" un horizon apparent en R=M différent du rayon de Schwarzschild tant que le rayon de la coquille est supérieur à R+ΔR.
On remarque au passage que, dans le temps propre d'un l'observateur "à l'infini", cela a pour effet de "rapprocher" l'horizon apparent, initialement de rayon R=M et situé dans à l'infini dans son futur, puisque l'instant t est atteint en un temps fini (et ça reste vrai même pour une coquille de masse infinitésimale, si on considère l'accroissement infinitésimal du rayon de l'horizon apparent dû à l'effondrement de la coquille).

Mais, quitte à envisager un espace-temps de symétrie sphérique constitué d'un empilement de coquilles de matière de masse infinitésimale et de rayon de plus en plus grand, autant aller un peu plus loin, et utiliser la métrique de Lemaître-Tolman-Bondi (ou LTB), qui décrit de manière générique la géométrie d'un espace-temps empli d'un fluide parfait sans pression, de symétrie sphérique, mais dont la densité n'est pas nécessairement homogène radialement.
Cela ne peut encore conduire qu'à un "toy-model", mais celui-ci devrait être plus instructif. Il n'est certainement pas représentatif de la croissance d'un trou noir stellaire, mais on peut raisonnablement penser qu'il représente mieux la formation et la croissance du trou noir central d'une (future) galaxie durant la phase de collapse gravitationnel qui conduit à sa formation à partir d'une zone de sur-densité de l'univers.

Ce sujet est traité dans pas mal de publications, mais j'ai du mal à m'y retrouver - disons qu'elles ne sont pas au niveau "étudiant avancé".
De mon côté j'ai déjà un peu travaillé sur le sujet, en utilisant la métrique LTB (avec courbure négative ou positive suivant le cas) pour essayer de modéliser la formation des grandes structures (vides cosmiques et amas de galaxies) à partir des zones de sous- ou sur-densité de l'univers post-CMB. Cela reste assez basique, avec l'avantage que ce n'est pas trop compliqué à comprendre, et l'évolution du modèle jusqu'à l'époque actuelle donne des résultats à peu près cohérents avec les observations (taille et densité de ces structures).
En partant de conditions initiales appropriées, le modèle avec courbure positive doit pouvoir être adapté pour représenter la contraction d'une zone de sur-densité correspondant à une future galaxie. Si on fait abstraction d'autres phénomènes, il conduit inévitablement à une singularité centrale; l'idée serait de regarder si (et dans quelles conditions) un horizon se forme auparavant, et comment il évolue. Le tout en se contentant si possible du modèle simple que j'ai déjà pondu et que je peux vous mettre à disposition (NB: c'est un travail perso, mais ce n'est pas une "théorie personnelle" !).
Mais il y a encore du boulot et j'aurai sans-doute besoin d'aide...

Pensez-vous que ça en vaut la peine ?
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[mach3]

Salut,

premier passage sur l'article wiki de la métrique de Lemaitre-Tolman. Cette métrique s'écrit :

(écriture modifiée à dessein)

E étant une fonction de r supérieure à -0.5
R étant une fonction de t et r.
(précision au passage pour des lecteurs non-avertis, rien à voir avec les r et t de Schwarzschild)

Il est dit qu'un cas particulier correspond à la géométrie de Schwarzschild en "coordonnées géodésiques", je que je comprend donc comme un système de coordonnée dans lequel les géodésiques radiales sont des droites, il doit donc s'agir des coordonnées de Novikov (MTW page 826) :

(écriture modifiée à dessein)

On voit que cela correspond au cas où

Bon, à part ça je galère pas mal à comprendre le fonctionnement du bousin (la page wiki est quelque peu lapidaire), mais ce lien avec Novikov nous servira certainement de point d'ancrage pour la comparaison avec la géométrie de Schwarzschild.

m@ch3

[yves95210]

Salut,

Oui, j'avais remarqué que l'article wiki ne disait pas grand'chose... En fait j'ai trouvé mieux dans des chapitres introductifs de publications qui utilisent la métrique LTB et qui en rappellent les propriétés.

De manière générale, la métrique de Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) décrit la géométrie d'un espace-temps empli d'un fluide parfait sans pression, dont la densité d'énergie présente à tout époque une symétrie sphérique mais n'est pas nécessairement homogène radialement. En choisissant un système de coordonnées comobiles dont l'origine est le centre de symétrie on peut écrire cette métrique sous la forme

où j'ai pris c=1, et nommé la coordonnée radiale R pour ne pas la confondre avec le r de métrique FLRW. R est un nombre sans dimension et A et B ont la dimension d'une longueur.

L'équation d'Einstein (ici avec Lambda=0 pour ne pas compliquer les choses) conduit alors aux équations suivantes




où est la densité de matière, isotrope mais non homogène, et E(R) et M(R) sont des fonctions arbitraires de R.
E(R) peut être interprétée comme l'énergie totale par unité de masse d'une particule comobile et M(R) comme la masse de matière à l'intérieur de la sphère de coordonnée radiale comobile R.
Remarque : les quatre équations ne sont pas indépendantes, la quatrième pouvant être par exemple déduite des deux précédentes.

Les solutions avec courbure spatiale positive (E < 0) ou négative (E>0) s'expriment à l'aide d'un paramètre sans dimension tel que, pour E < 0,



et pour E > 0,



La solution avec courbure spatiale nulle est :


Dans les solutions cosmologiques, t_B(R) est l'instant du "bang", qui peut dépendre de R, et qui est donc un troisième paramètre arbitraire.

Moyennant les "bonnes" hypothèses, on retrouve facilement la solution de Schwarzschild dans le vide autour d'une masse centrale, et la solution de Friedmann-Lemaître pour une densité de matière spatialement homogène.

PS : le TEX du forum, c'est pas la joie,et le résultat est très laid. Je mets en PJ le pdf du document perso dont je parlais, ça sera plus lisible.

[yves95210]

... et effectivement |E| < 0,5, comme tu l'as remarqué.
Dans le cas particulier de FLRW, 2E = - k.r² (et A = a.r). Pour Schwarzschild je n'ai pas fait l'exercice.

[A voir en vidéo sur Futura]

[yves95210]

Pour simplifier l'écriture des équations, je redonne ci-dessous les mêmes dans un système d'unité (c=1, G=1). Pour le reste je conserve mes notations.








Dans le contexte de cette discussion, on s'intéresse a priori uniquement au cas E < 0 (courbure spatiale positive), et je pense qu'on peut se mettre d'accord pour poser t_B=0 pour tout R. La solution qui nous intéresse est donc :



Alors




est toujours négative. devient négative lorsque , début de la phase de contraction. Cette phase commence donc à une date t_C dépendant de R. Mais en prenant comme hypothèse que la courbure décroît lorsque R croît, pour retrouver asymptotiquement un espace plat quand R tend vers 1 (comme je l'ai fait dans mon petit document), on constate que t_C est d'autant plus petit que R est petit. Donc la coquille sphérique de rayon R₁ commence à se contracter avant toutes celles de rayon R>R₁.

La question de la formation d'un horizon des événements se résume donc à regarder si il existe une valeur R_Hde R pour laquelle devient inférieure à -c, à partir d'une date t_H, soit


Suite au prochain numéro...

[yves95210]

... la suite.

Dans le message précédent, je n'ai pas précisé que, de manière évidente, la singularité centrale apparaît dès que pour une valeur de R, atteint . Donc si en l'absence d'autre phénomène, toutes les particules suivent sagement le flux comobile, chaque coquille sphérique de rayon R atteint la singularité en un temps fini.

Pour tout R, si l'équation admet une solution , la coquille de rayon R passe sous l'horizon à la date t_H(R), avant d'atteindre la singularité.

Pour résoudre cette équation analytiquement ou numériquement, il faut choisir une fonction E(R), ce qui peut se faire arbitrairement, mais pas trop puisqu'il faut qu'elle respecte les conditions aux limites (courbure spatiale max en R=0, et tendant vers 0 quand R tend vers 1). Par analogie avec la solution de Friedmann-Lemaître qu'on doit retrouver à la limite, on peut écrire
, avec

Dans ma petite étude j'avais choisi , avec , et une valeur de de l'ordre de 0,01 pour permettre de modéliser l'évolution d'une zone de sur-densité à partir de l'époque du CMB où la densité de matière est presque homogène. Je vais garder les mêmes hypothèses et utiliser le tableau à l'aide duquel j'avais déjà calculé numériquement les valeurs de A et pour 0. Quand ça sera fait, je posterai les résultats, avec un diagramme montrant l'évolution de .

La suite avant ce soir si j'ai le temps de faire les calculs...

[yves95210]

Je pense que j'ai écrit une bêtise.

Rigoureusement, ce n'est pas qu'il faut comparer à c, mais la variation du "rayon propre" de la sphère comobile de coordonnée radiale R,


@mach3, si tu passes par là et as eu le temps de digérer les messages précédents, tu pourras confirmer ?

Ceci dit, avec mes hypothèses, on a pour tout x, donc on peut sans-doute se contenter de l'approximation r_p(R,t)=A(R,t), et considérer que

Autre bêtise, mais sans conséquence : dans l'équation de c'est un signe moins qu'il faut mettre devant le sin², la bonne équation (qui du coup se simplifie) est

et est toujours négative. Ouf !
(il y a la même erreur dans mon pdf, et le pire c'est qu'un peu plus loin j'ai recalculé correctement; ça manque de relecture, tout ça)

[mach3]

@mach3, si tu passes par là et as eu le temps de digérer les messages précédents, tu pourras confirmer ?

Hélas, il va falloir patienter un peu, le decorticage va prendre du temps.

m@ch3

[yves95210]

Bonjour,

Hélas, il va falloir patienter un peu, le decorticage va prendre du temps.

En fait le point que je voulais confirmer est indépendant des propriétés particulières de la métrique LTB. Il se résume à ceci :

Une géodésique lumière radiale remplit les conditions , ce qui conduit à


Si B ne dépendait que de R, pour un photon émis depuis l'origine à t=t_0 (et parcourant une géodésique lumière sortante), on pourrait intégrer cela pour obtenir l'équation

Sauf que, dans le cas de la métrique LTB, B dépend aussi de t... Bref, c'est pas si simple, même en faisant l'approximation B = A'

[mach3]

Une géodésique lumière radiale remplit les conditions , ce qui conduit à


Si B ne dépendait que de R, pour un photon émis depuis l'origine à t=t_0 (et parcourant une géodésique lumière sortante), on pourrait intégrer cela pour obtenir l'équation

Sauf que, dans le cas de la métrique LTB, B dépend aussi de t... Bref, c'est pas si simple, même en faisant l'approximation B = A'

Si B dépend de t, alors il faut, dans l'expression de B, remplacer t par son expression en fonction R pour intégrer par rapport à R. Le problème c'est que c'est justement cette expression que l'on recherche.

C'est un sacré sac de noeud, j'ai beaucoup de mal à entrer dedans. Quelques intuitions qui me viennent cependant. Dans le cas de Schwarzschild (on reste en radial), les courbes de rayon aréal constant (la variable qu'on retrouve devant le ) sont de genre temps à l'extérieur de l'horizon (on peut rester indéfiniment sur une même sphère de la géométrie) mais sont de genre espace à l'intérieur (on ne peut plus rester sur une même sphère), le changement de genre s'opérant quand le rayon aréal vaut 2M (courbe de genre nul, c'est l'horizon). La courbe correspondant au rayon aréal 0 est la singularité.
Dans le cas de Minkowski, ou dans le cas FLRW, toutes les courbes de rayon aréal constant sont de genre temps a priori, même celle de rayon aréal 0.
Dans les métriques d'effondrement "simples" (coquille de lumière sphèrique : accolement Minkowski/Schwarzschild ou Oppenheiner-Snyder : accolement FLRW/Schwarzschild), les courbes de rayon aréal inférieur à 2M basculent de genre temps à genre espace le long de l'accolement : on entre dans la région II de la géométrie de Schwarzschild.

J'intuite qu'il faut chercher dans LTB les zones où il y a des courbes de rayon aréal constant de genre espace, ce sont elles qui vont témoigner de l'effondrement irréversible menant à une singularité.

m@ch3

[yves95210]

J'avais rédigé l'essentiel du message ci-dessous cet après-midi, avant que tu aies posté le tien, et ton approche est certainement plus rigoureuse que la mienne. Mais...

... il me semble que ce que je disais au message #7 est correct, et qu'après je me suis fait des nœuds au cerveau pour rien. Je reprends à partir de là:

Rigoureusement, ce n'est pas qu'il faut comparer à c, mais la variation du "rayon propre" de la sphère comobile de coordonnée radiale R,


Une géodésique lumière radiale remplit les conditions , ce qui conduit à


Pour un photon émis depuis l'origine parcourt une géodésique lumière sortante,


A l'instant t, le photon, de coordonnées LTB (R,t)se trouve à une distance propre de l'origine


"Localement" il se déplace à la vitesse c, et on a


Ayant fait le choix d'une fonction E(R) telle que E(R) < 10^-2 pour tout R, on peut faire l'approximation


Si à l'instant t où le photon atteint la sphère de coordonnée radiale R, , en distance propre il se rapproche de l'origine. Mais ça ne veut pas dire que finalement il n'arrivera pas à "s'échapper", ça dépend de la façon dont évolue sur le trajet du photon au-delà de cet événement.

Ceci dit, en faisant l'application numérique avec les hypothèses évoquées plus haut, n'atteint jamais la valeur -c. Il s'en vaut de beaucoup (je trouve au max quelques milliers de km/s). Avec ces hypothèses, le modèle conduit à une singularité nue, ce qui est bien éloigné de la réalité physique.
Raison pour laquelle dans mon petit document j'avais considéré que la modèle LTB (qui correspond à un espace-temps empli d'un fluide parfait sans pression, dont toutes les particules ont une vitesse propre nulle par rapport au flux comobile) n'était applicable que jusqu'au début de la virialisation de la structure concernée.

Mais là je m'avance un peu. Faudrait déjà que le raisonnement ci-dessus soit correct (ton avis sera le bienvenu). Et il faut que je réfléchisse aux pistes que tu donnes dans ton message.

[mach3]

Je n'ai lu qu'en diagonal, mais la piste semble intéressante. A est le rayon areal. La pente d'une courbe de A constant dans une représentation r,t depend de A' et \dot{A} (la 1-forme dA y est orthogonal et A' et \dot{A} sont les coordonnées de dA dans le système r,t). Cette pente doit être comparé à la pente d'une radiale de genre nul sortante.

C'est sûrement de signe de dA appliqué sur d/dlambda avec d/dlambda de genre nul et orienté vers le futur qu'il faut étudier en fait.

m@ch3

[yves95210]

Bonjour,

Hier soir j'ai juste posté le message que j'avais préparé plus tôt dans la journée, et n'ai pas eu le temps de répondre au tien. (et là je vois que tu viens de poster un nouveau message, j'y répondrai ensuite)

Si B dépend de t, alors il faut, dans l'expression de B, remplacer t par son expression en fonction R pour intégrer par rapport à R. Le problème c'est que c'est justement cette expression que l'on recherche.

Mon message d'hier soir répond à ce point (si le raisonnement est correct): en fait on n'a besoin que de la dérivée partielle par rapport à t de cette intégrale, donc on intègre par rapport à R à t constant.

C'est un sacré sac de noeud, j'ai beaucoup de mal à entrer dedans.

Ce n'est pas facile de raisonner à partir de la forme générale de la solution, avec ses trois fonctions arbitraires de R (deux si tu ne comptes pas t_{_B}). Mais tu as dû comprendre les choix que j'ai fait pour les fonctions M(R) et E(R) :
L'idée étant de suivre l'évolution d'une zone (une boule) de sur-densité à partir de l'époque de quasi-homogénéité, j'ai simplement pris M(R)=M(1)/R³. Dans le modèle, c'est juste le fait d'avoir une courbure positive (E<0), même très faible^(*), qui provoque l'évolution de la zone. D'autre part |E| doit décroître quand R croît, et tendre vers 0 quand R tend vers 1 (ainsi que E'), pour qu' il n'y ait pas de discontinuité à la frontière R=1 entre la géométrie de la région décrite par la métrique LTB et celle de l'espace-temps "extérieur" décrite par la métrique FLRW avec k=0 et Lambda=0.
(*) pour conduire à un écart suffisamment faible entre la densité de matière locale partout dans la zone et la densité moyenne à l'extérieur de la zone, de manière à autoriser l'approximation M(R)=M(1)/R³.

Quelques intuitions qui me viennent cependant. Dans le cas de Schwarzschild (on reste en radial), les courbes de rayon aréal constant (la variable qu'on retrouve devant le ) sont de genre temps à l'extérieur de l'horizon (on peut rester indéfiniment sur une même sphère de la géométrie) mais sont de genre espace à l'intérieur (on ne peut plus rester sur une même sphère), le changement de genre s'opérant quand le rayon aréal vaut 2M (courbe de genre nul, c'est l'horizon). La courbe correspondant au rayon aréal 0 est la singularité.
Dans le cas de Minkowski, ou dans le cas FLRW, toutes les courbes de rayon aréal constant sont de genre temps a priori, même celle de rayon aréal 0.
Dans les métriques d'effondrement "simples" (coquille de lumière sphèrique : accolement Minkowski/Schwarzschild ou Oppenheiner-Snyder : accolement FLRW/Schwarzschild), les courbes de rayon aréal inférieur à 2M basculent de genre temps à genre espace le long de l'accolement : on entre dans la région II de la géométrie de Schwarzschild.

J'intuite qu'il faut chercher dans LTB les zones où il y a des courbes de rayon aréal constant de genre espace, ce sont elles qui vont témoigner de l'effondrement irréversible menant à une singularité.

Tu pourrais essayer de lire la publication que j'ai citée dans l'autre discussion. Je ne l'ai lue qu'en diagonale, d'une part parce que, à moins d'aller piocher dans les références qu'elle donne, il y a des points qui sont abordés sans assez d'explications pour moi, mais qui devraient t'être plus accessibles.
D'autre part je m'entête (peut-être à tort) avec le petit modèle à l'aide duquel j'ai déjà fait des calculs qui avaient l'air de donner de bons résultats...

The central singularity is spacelike and not naked. In the case of flat or open universe models the singularity is weak and has distinct apparent and event horizons. The apparent horizons are not everywhere spacelike, to be compared with the Schwarzschild one which is null everywhere.

[yves95210]

Je n'ai lu qu'en diagonal, mais la piste semble intéressante. A est le rayon areal. La pente d'une courbe de A constant dans une représentation r,t depend de A' et \dot{A} (la 1-forme dA y est orthogonal et A' et \dot{A} sont les coordonnées de dA dans le système r,t). Cette pente doit être comparé à la pente d'une radiale de genre nul sortante.

C'est sûrement de signe de dA appliqué sur d/dlambda avec d/dlambda de genre nul et orienté vers le futur qu'il faut étudier en fait.

Dans mes tentatives d'avancée hier j'ai effectivement trouvé une équation mettant en jeu dA. Sauf que je n'avais pas compris ce à quoi elle pouvait servir... Je colle ça ici :
Pour une géodésique lumière sortante,




Avec |E|<< 1, on obtient l'approximation

[yves95210]

(...)
L'idée étant de suivre l'évolution d'une zone (une boule) de sur-densité à partir de l'époque de quasi-homogénéité, j'ai simplement pris M(R)=M(1)/R³.

Oups ! M(R)=M(1)*R³.

[yves95210]

Autre détail, pour compléter ce que j'écrivais hier soir:

Si à l'instant t où le photon atteint la sphère de coordonnée radiale R, , en distance propre il se rapproche de l'origine. Mais ça ne veut pas dire que finalement il n'arrivera pas à "s'échapper", ça dépend de la façon dont évolue sur le trajet du photon au-delà de cet événement.

J'ai vérifié ce point (toujours avec ma feuille de calcul numérique. Pour un R donné, décroît quand t croît.
EDIT: Mais c'était évident puisque est toujours négative (cf. l'équation dans le message #7).

Donc s'il existe un (R,t) pour lequel , mon photon ne s'échappera jamais. Une façon comme une autre de montrer qu'on a affaire à un horizon.
Reste à voir les conditions dans lesquelles il se forme, puisque avec mes choix de fonctions E(R) et M(R), n'atteint jamais -c.

Faudrait peut-être que je refasse les calculs avec les fonctions choisies par les auteurs de la publication citée plus haut. Mais le résultat est déjà connu, suffit de la lire... il faudrait plutôt regarder si leur choix est compatible avec les conditions initiales que je m'étais fixées (c'est peut-être sur ce point que je suis à côté de la plaque - en fait c'est bien une question d'astrophysique et pas juste de maths, puisque ça concerne le scénario de formation des galaxies et de leur TN central; et ce scénario est certainement bien plus complexe que mon modèle à deux balles).

[yves95210]

Pour une géodésique lumière sortante,




Avec |E|<< 1, on obtient l'approximation

Plus rigoureusement, pour on peut faire l'approximation , et


Avec E négative, c'est donc même à partir d'une valeur de légèrement supérieure à -c que l'horizon apparaît.

[yves95210]

Tu pourrais essayer de lire la publication que j'ai citée dans l'autre discussion. Je ne l'ai lue qu'en diagonale, d'une part parce que, à moins d'aller piocher dans les références qu'elle donne, il y a des points qui sont abordés sans assez d'explications pour moi, mais qui devraient t'être plus accessibles.

J'y ai de nouveau jeté un coup d’œil, un peu plus aiguisé maintenant que tu m'as mis sur la voie. Concernant le genre de l'horizon apparent (celui qui nous intéresse pour le moment), voici ce qu'elle dit:

Therefore, the condition for the apparent horizon R = 2M to be spacelike is, (...) , leads to the condition R′ − M′ > 0, which is not everywhere satisfied in our model.

où le R de la publication est mon A. Le passage que je n'ai pas pu coller ci-dessus est l'équation
(AH pour "apparent horizon")

Pour plus d'explication sur la raison pour laquelle on arrive à cette condition, il faudrait aller voir les références citées dans la publication, on doit pouvoir trouver les plus récentes sur arxiv. Mais pour le moment je vais me contenter du résultat
Il va me permettre de vérifier à quel genre d'horizon mon modèle pourrait conduire (si du moins il suffit d'y modifier le choix de la fonction E pour autoriser l'apparition d'un horizon).

[mach3]

Merci pour la ref que je vais lire de ce pas (enfin, en pointillé sur la journée, en espérant avoir un moment moins pointillé pour me concentrer assez).

m@ch3

[mach3]

Bon, je suis largué dans les définitions du II... il me manque des maths là, j'espère que ce ne sera pas trop gênant pour comprendre la suite...

[yves95210]

Merci pour la ref que je vais lire de ce pas (enfin, en pointillé sur la journée, en espérant avoir un moment moins pointillé pour me concentrer assez).

Et, après avoir jeté un coup d'oeil aux références citées par cette publication, il me semble que celle-ci devrait permettre de mieux comprendre le problème.

[yves95210]

Bon, je suis largué dans les définitions du II... il me manque des maths là, j'espère que ce ne sera pas trop gênant pour comprendre la suite...

Je suppose que c'est plus une question de notations que de maths.

Les , ce sont les composantes diagonales du tenseur d'expansion (avec i l'un ou l'autre des vecteurs normaux à la 2_surface; dans le cas d'une symétrie sphérique, les deux directions doivent être le temps et la direction radiale).
Le doit représenter la dérivation de l'une de ces composantes suivant l'autre vecteur. Mais je ne suis pas sûr, j'ai déjà failli te poser la question...
Tu trouveras les mêmes notations dans l'autre publication, où c'est peut-être plus clair.

Quant au tenseur d'expansion, c'est lui qui dit comment un volume comobile infinitésimal s'expand (différemment) suivant les 3 direction du référentiel de l'hypersurface 3D. Chaque composante est de dimension t^-1 (comme H dans la solution de Friedman).

[mach3]

Je n'ai lu qu'en diagonal, mais la piste semble intéressante. A est le rayon areal. La pente d'une courbe de A constant dans une représentation r,t depend de A' et \dot{A} (la 1-forme dA y est orthogonal et A' et \dot{A} sont les coordonnées de dA dans le système r,t). Cette pente doit être comparé à la pente d'une radiale de genre nul sortante.

C'est sûrement de signe de dA appliqué sur d/dlambda avec d/dlambda de genre nul et orienté vers le futur qu'il faut étudier en fait.

Pour creuser et formaliser un peu plus cette idée (et oui, je n'arrive pas à prioriser la lecture et l'assimilation par rapport à la réflexion, je suis incorrigible). Dans le plan radial (r,t), j'ai en chaque évènement une paire de géodésique radiale nulle, qui admette des 4-vecteurs tangents dont les coordonnées sont (1,dr/dt) (avec dr/dt la vitesse coordonnée de la lumière, soit entrante, soit sortante, ce qui donne 2 4-vecteurs tangent un pour chaque géodésique de la paire. D'une manière générale pour toute métrique diagonale :


Considérons le champ scalaire du rayon aréal A, et la 1-forme associée, dA, qui est le gradient de A. Si dA est appliquée sur un vecteur, on obtient la dérivée directionnelle de A suivant ce vecteur. En un évènement donné, on va appliquer dA sur les deux 4-vecteurs nul de coordonnées (1,dr/dt) :



Si les deux résultats sont positifs, cela signifie que le rayon aréal ne peut qu'augmenter si on poursuit dans le cône futur, ce qui est typique de la région IV de Schwarzchild (le trou blanc). Si les deux résultats diffèrent par leur signe, alors c'est typique de la région I de Schwarzschild. Si les deux sont négatifs alors le rayon aréal ne peut que diminuer si on poursuite dans le futur, ce qui est typique de la région II. En fait quand c'est de même signe on a dA de genre espace et quand c'est de signe différent on a dA de genre temps.
Question cependant : dans le cas de Schwarzschild, quand on se retrouve dans la région II, le champ scalaire A est tel que jamais on ne se retrouvera à nouveau avec un dA de genre temps, jamais, c'est irréversible, on finira forcément à la singularité A=0, mais hors de ce cas particulier, le champ scalaire A pourrait très bien ne pas avoir ce caractère définitif, on pourrait imaginer que les zones avec dA de genre temps et espace alternent suivant les cas... Du coup je ne suis pas tout à fait sûr qu'il s'agisse de la vraie signature d'un trou noir. Un rapport avec le signe de la dérivée seconde de A par rapport à la coordonnée t?

m@ch3

[yves95210]

Pour creuser et formaliser un peu plus cette idée (et oui, je n'arrive pas à prioriser la lecture et l'assimilation par rapport à la réflexion, je suis incorrigible).

C'est bien qu'il y en ait au moins un ici qui réfléchit plutôt que de sauter trop vite aux conclusions (et de tâtonner à partir d'une intuition pour aboutir à un résultat peut-être cohérent)...

Dans le plan radial (r,t), j'ai en chaque évènement une paire de géodésique radiale nulle, qui admette des 4-vecteurs tangents dont les coordonnées sont (1,dr/dt) (avec dr/dt la vitesse coordonnée de la lumière, soit entrante, soit sortante, ce qui donne 2 4-vecteurs tangent un pour chaque géodésique de la paire. D'une manière générale pour toute métrique diagonale :


Considérons le champ scalaire du rayon aréal A, et la 1-forme associée, dA, qui est le gradient de A. Si dA est appliquée sur un vecteur, on obtient la dérivée directionnelle de A suivant ce vecteur. En un évènement donné, on va appliquer dA sur les deux 4-vecteurs nul de coordonnées (1,dr/dt) :

Ce qui, avec mes notations pour les composantes de la métrique LTB, revient à


ça me rappelle quelque-chose...

Si les deux résultats sont positifs, cela signifie que le rayon aréal ne peut qu'augmenter si on poursuit dans le cône futur, ce qui est typique de la région IV de Schwarzchild (le trou blanc). Si les deux résultats diffèrent par leur signe, alors c'est typique de la région I de Schwarzschild. Si les deux sont négatifs alors le rayon aréal ne peut que diminuer si on poursuite dans le futur, ce qui est typique de la région II. En fait quand c'est de même signe on a dA de genre espace et quand c'est de signe différent on a dA de genre temps.
Question cependant : dans le cas de Schwarzschild, quand on se retrouve dans la région II, le champ scalaire A est tel que jamais on ne se retrouvera à nouveau avec un dA de genre temps, jamais, c'est irréversible, on finira forcément à la singularité A=0, mais hors de ce cas particulier, le champ scalaire A pourrait très bien ne pas avoir ce caractère définitif, on pourrait imaginer que les zones avec dA de genre temps et espace alternent suivant les cas... Du coup je ne suis pas tout à fait sûr qu'il s'agisse de la vraie signature d'un trou noir. Un rapport avec le signe de la dérivée seconde de A par rapport à la coordonnée t?

Je suppose. Dans mon raisonnement "avec les mains", c'est bien le fait que le signe de est toujours négatif qui me permet de conclure que, si , un photon ne pourra jamais s'échapper de la région intérieure à la 2-sphère de rayon aréal .

[mach3]

En developpant ça j'arrive à quelque chose qui me semble à la fois élégant et logique mais trop simple...
Pour LTB on a :

on a

Donc



Dans le cas du signe -, c'est forcément négatif, mais dans le cas du signe +, cela n'est négatif que si

Comme les deux termes membres sont positifs, je peux passer au carré :

Or, on sait que , donc :



Dès que la masse contenue sous le rayon aréal A dépasse A/2, on serait dans des conditions où le cône futur est forcément à rayon aréal décroissant. En d'autres terme, quand il y a une surdensité de taille inférieure à son rayon de Schwarzschild, il y aurait quelque chose de similaire à l'effondrement (reste à voir si cet effondrement est forcément définitif comme dit dans le message précédent). Sauf erreur de calcul bien-sûr...

m@ch3

croisement lol

[yves95210]

(...)
Si les deux résultats sont positifs, cela signifie que le rayon aréal ne peut qu'augmenter si on poursuit dans le cône futur, ce qui est typique de la région IV de Schwarzchild (le trou blanc). Si les deux résultats diffèrent par leur signe, alors c'est typique de la région I de Schwarzschild. Si les deux sont négatifs alors le rayon aréal ne peut que diminuer si on poursuite dans le futur, ce qui est typique de la région II. En fait quand c'est de même signe on a dA de genre espace et quand c'est de signe différent on a dA de genre temps.
Question cependant : dans le cas de Schwarzschild, quand on se retrouve dans la région II, le champ scalaire A est tel que jamais on ne se retrouvera à nouveau avec un dA de genre temps, jamais, c'est irréversible, on finira forcément à la singularité A=0, mais hors de ce cas particulier, le champ scalaire A pourrait très bien ne pas avoir ce caractère définitif, on pourrait imaginer que les zones avec dA de genre temps et espace alternent suivant les cas... Du coup je ne suis pas tout à fait sûr qu'il s'agisse de la vraie signature d'un trou noir.

Je pense que ça vaut le coup de lire le papier "Marginally trapped tubes and dynamical horizons" (celui que j'ai trouvée en référence dans le premier). Il donne les bases théoriques à partir desquelles les auteurs du premier papier ont construit leurs modèles et en tirent les conclusions, ainsi que la terminologie et les notations qu'ils utilisent. Il constitue donc un prérequis pour qui ne possède pas déjà ces bases et ne veut pas jouer aux devinettes comme je l'ai fait jusqu'à présent.

C'est un peu long, mais tu pourras sans-doute sauter certains passages. Et ça devrait répondre à toutes tes questions - et à celles que j'aurais dû me poser avant de lancer ce sujet...

[yves95210]

En developpant ça j'arrive à quelque chose qui me semble à la fois élégant et logique mais trop simple...
(...)

Or, on sait que , donc :



Dès que la masse contenue sous le rayon aréal A dépasse A/2, on serait dans des conditions où le cône futur est forcément à rayon aréal décroissant. En d'autres terme, quand il y a une surdensité de taille inférieure à son rayon de Schwarzschild, il y aurait quelque chose de similaire à l'effondrement (reste à voir si cet effondrement est forcément définitif comme dit dans le message précédent). Sauf erreur de calcul bien-sûr...

Il n'y a pas d'erreur. Ton résultat final correspond à celui trouvé dans les deux publications, et à celui que j'avais pifométré (ouf!) - il ne me restait plus qu'à utiliser l'équation .
Comme tu dis, c'est élégant et logique; et si ça paraît trop simple, ce n'est pas moi que ça va gêner

[yves95210]

Je trouve qu'on a bien avancé. et merci mach3.

Pour consolider ça théoriquement, la lecture de la publication "Marginally trapped tubes and dynamical horizons" ne sera pas de trop. Je vais m'y atteler en tâche de fond, puis reprendre la lecture de la publication "Asymptotically FRW black holes" qui traite spécifiquement le problème que j'avais posé. En particulier, je suis curieux de comprendre pourquoi il peut y avoir dans certains cas un horizon des événements distinct de l'horizon apparent.

S'il y a des points qui me posent des problèmes de compréhension, ou si j'y trouve de nouvelles pistes, j'en parlerai ici. Et bien sûr c'est réciproque : si tu as le temps de continuer d'approfondir le sujet, j'espère que tu nous feras part de tes réflexions et de tes questions éventuelles. J'espère aussi que d'autres forumeurs vont s'intéresser au sujet, il me semble qu'il le mérite.

En parallèle, comme je suis têtu, je vais essayer de vérifier :

1) si mon modèle (choix des fonctions M et E différent de celui du papier ci-dessus) peut conduire à la formation d'un horizon apparent à R=2M moyennant des conditions initiales appropriées (mais compatibles avec les observations du CMB, point qui demande un peu de réflexion, j'y reviendrai), et

2) si cet horizon est de genre espace (en vérifiant la condition énoncée dans la section VI.B du deuxième papier ci-dessus, R'-M'>0, soit A'-M' selon mes notations).

3) ou, alternativement, si le modèle "Example II: asymptotically flat LTB metric 1" du même papier peut être paramétré de manière compatible avec ces mêmes conditions initiales.

L'idée derrière ça est d'essayer de voir si cela conduit à l'apparition d'un horizon (dynamique) - celui du futur trou noir central - pendant la phase d'effondrement de la zone de sur-densité qui conduit à la formation d'une galaxie, tant que cette zone peut encore être modélisée par un fluide parfait sans pression - en tout cas avant que les coquilles sphériques les plus proches du centre commencent à se virialiser et arrêtent donc de s'effondrer (ce qui doit se produire au plus tard lorsque si le calcul qui figure dans mon pdf est correct).

[mach3]

Bon, ça y est je commence à apprivoiser le truc.

Je lis ton document. Un détail au passage, tu parles de R comme d'un rayon, mais c'est trompeur, ce n'est le rayon d'aucun cercle ou sphère. J'aime bien par contre que la variable devant s'appelle A, comme Aréal, car pour un t donné, l'ensemble des évènements de même A forme une sphère de même surface qu'une sphère Euclidienne de rayon A ()

Un point de détail m'a aiguillonné, la densité :


Si on touille un peu, on arrive à :


Ce que je ne peux m'empêcher d'écrire, vu que A est le rayon aréal :
avec V le volume d'une sphère euclidienne de rayon A.

La densité en R,t est la masse entre la sphère A(R+h,t) et la sphère A(R,t) divisée par la différence de volume euclidien entre la sphère A(R+h,t) et la sphère A(R) quand h tend vers 0. Je trouve assez étrange que malgré la courbure éventuelle de l'espace, ce soit le volume euclidien qui intervienne. Quelque chose m'échappe surement.

m@ch3

[yves95210]

Bon, ça y est je commence à apprivoiser le truc.

Je lis ton document. Un détail au passage, tu parles de R comme d'un rayon, mais c'est trompeur, ce n'est le rayon d'aucun cercle ou sphère.

Tu as raison. Mais je me comprends... et à l'origine le doc n'était pas destiné à être lu par quelqu'un d'autre que moi.
Je ne l'avais pas relu de A à Z (la dernière fois que j'y avais travaillé, ça remonte à un an), je me suis contenté d'en extraire la partie pertinente pour notre discussion.
Je viens d'y jeter un coup d’œil. Au moins, à ma décharge, la première fois que j'utilise le mot rayon pour R, je précise "en coordonnées comobiles" - et dans mon langage peu rigoureux ça voulait dire R = la coordonnée radiale dans le système de coordonnées choisi.

Bref il faudrait que je fasse une petite recherche sur le mot rayon pour le remplacer par coordonnée radiale chaque fois qu'il s'agit de R... Mais, ne t'inquiète pas, je ne fais pas la confusion.

J'aime bien par contre que la variable devant s'appelle A, comme Aréal, car pour un t donné, l'ensemble des évènements de même A forme une sphère de même surface qu'une sphère Euclidienne de rayon A ()

Oui. J'avais pris ces notations (et les équations qui figurent dans la première page) dans une publication, je ne sais plus laquelle, et j'avais trouvé qu'elles faisaient sens (le E aussi).
Accessoirement à la limite homogène, le 'A' devient le 'a' de la métrique FLRW.

Un point de détail m'a aiguillonné, la densité :


Si on touille un peu, on arrive à :


Ce que je ne peux m'empêcher d'écrire, vu que A est le rayon aréal :
avec V le volume d'une sphère euclidienne de rayon A.

La densité en R,t est la masse entre la sphère A(R+h,t) et la sphère A(R,t) divisée par la différence de volume euclidien entre la sphère A(R+h,t) et la sphère A(R) quand h tend vers 0. Je trouve assez étrange que malgré la courbure éventuelle de l'espace, ce soit le volume euclidien qui intervienne. Quelque chose m'échappe surement.

ça m'avait surpris aussi. D'où la note 2 en bas de la première page. Tu as du lire trop vite