Relativité générale : temps propre maximisé géodésique

[invite31917c27]

Bonjour,
Je vois souvent qu'on spécifie la géodésique de type temps (celle que suit une particule libre de toute interaction hormis gravitationnelle) comme la ligne d'univers où le temps propre est maximisé. Je comprends bien la logique, dans le paradoxe des jumeaux, c'est celui qui accélère qui sera moins vieux à la fin mais je ne trouve pas de démonstration. Existe-t-il une démonstration en partant des expressions du temps propre tau et éventuellement des équations des géodésiques qui montre bien cette notion que tau est maximal ?
Merci de votre lecture
-----

[Amanuensis]

Détail, ce n'est pas qui est maximal, mais la durée entre deux événements, soit .

(Et c'est valable pour n'importe quel paramétrage, pas seulement pour )

Ensuite, c'est la démonstration usuelle pour la notion géométrique de géodésique avec une métrique, à savoir le calcul variationnel, qui montre qu'une géodésique extrémalise (localement) la mesure du chemin.

Voir par exemple https://en.wikipedia.org/wiki/Geodes...onary_interval

(Dans le texte "paramétrage affine" est la même chose que temps propre, que )

Que ce soit le max pour le genre temps et le min pour le genre espace est plus subtil, mais se voit immédiatement sur un exemple comme le faux-paradoxe des jumeaux.

[Amanuensis]

J'ai été imprécis pour les géodésiques spatiales. Elles minimisent la distance si on les pense dans l'espace. Mais si on les prend dans l'espace-temps, elles ne minimisent pas la distance, ni ne la maximisent. Il y a un troisième cas d'extrémalisation, un point-selle.

Que ce soit une maximisation pour le genre temps se comprend "avec les mains" parce que dévier de la géodésique (calcul variationnel) ne peut se faire que spatialement (toutes les dimensions perpendiculaires sont de genre espace), et la signature de la métrique va amener une variation dans le sens inverse de la métrique temporelle.

Pour une géodésique de genre espace, la variation peut se faire aussi bien de genre temps que de genre espace, d'où un point selle.

[invite31917c27]

D'accord, merci pour ces infos.

[A voir en vidéo sur Futura]