géodésique, relativité générale

[invite8415a75d]

Bonjour à tous, j'ai un petit problème avec le développement d'un variationnel du lagrangien pour obtenir les équations des géodésiques !
Voilà : http://www.sciences.ch/htmlfr/cosmol...vistegen01.php

Pourriez vous voir à la relation 50.118 ? Je ne comprends pas comment développer le "ds^2" lorsque le tenseur métrique ne concerne pas un espace plat mais courbe, en effet avec la matrice de minkowski, le développement est banal mais là, je ne vois pas d'où sort le facteur dx^k !

Merci d'avance
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[roll]

Peut-être une coquille? J'ai envie de dire qu'on devrait avoir:

[invite8415a75d]

Merci pour la réponse rapide, oui mais c'est là mon problème, pourquoi avons nous un indice k alors que les indices du tenseur sont i et j ?

[roll]

Les indices répétés sont sommés, c'est la convention d'Einstein:

du coup il faut choisir un autre indice (que i et j) pour ne pas faire n'importe quoi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8415a75d]

Ah d'accord ! Oui mais je pensais que la sommation se faisait sur les indices répétés en position supérieur et inférieur ? Ouf je pensais que c'était une autre composante ou je ne sais quoi !

Et une dernière question si tu veux bien, aurais tu une explication claire de ce que signifie les coefficients de Christoffel ? Je ne me suis pas tellement avancé sur le sujet et alors pour simplifier l'équation des géodésiques ( et autres) on peut utiliser ces fameux symboles, cependant as t-on besoin d'avoir vu toute les notions de géométrie différentielle ?

Merci

[roll]

Ah d'accord ! Oui mais je pensais que la sommation se faisait sur les indices répétés en position supérieur et inférieur ? Ouf je pensais que c'était une autre composante ou je ne sais quoi !

Et une dernière question si tu veux bien, aurais tu une explication claire de ce que signifie les coefficients de Christoffel ? Je ne me suis pas tellement avancé sur le sujet et alors pour simplifier l'équation des géodésiques ( et autres) on peut utiliser ces fameux symboles, cependant as t-on besoin d'avoir vu toute les notions de géométrie différentielle ?

Merci

Le truc c'est que quand tu dérive par rapport à x^k "ça compte" comme si c'était un indice inférieur. Tu as peut-être déjà vu la notation suivante:

qui rend cela plus harmonieux. Du coup, comme tu peux t'en douter, on note aussi:


Pour la signification des coefficients de Christoffel, suppose que tu as un champs de vecteurs, donc en chaque points de l'espace-temps tu as un vecteur:

Si veux calculer la dérivée suivant une certaine direction , naïvement tu pourrais vouloir écrire:

Ce serait correct en espace-temps plat, mais tu dois tenir compte de la variation des vecteurs de base en espace-temps courbe qui n'est pas nulle. En fait tu as:

Maintenant, on définit les coefficients de Christoffel, de telle sorte que:

On met tout ensemble et on a la dérivée covariante:

Voilà en très simplifié

[invite8415a75d]

D'accord, merci pour l'explication, l'exemple est vraiment clair !
Juste cependant deux questions : Pour la notation de la dérivée covariante, y'a t-il un rapport avec l'opérateur nabla ? car quand on écrit " Ui x D(rond)i " est-ce équivalent à la dérivée partielle du vecteur en fonction de i ?

Et une deuxième, quand tu définis les coefficients de Christoffel, en gros ils expriment comment les vecteurs de base changent ?

Voilà c'est tout ! Merci

[roll]

D'accord, merci pour l'explication, l'exemple est vraiment clair !
Juste cependant deux questions : Pour la notation de la dérivée covariante, y'a t-il un rapport avec l'opérateur nabla ? car quand on écrit " Ui x D(rond)i " est-ce équivalent à la dérivée partielle du vecteur en fonction de i ?

La dérivée covariante d'un scalaire, c'est juste la dérivée partielle:

où dans la direction :

C'est juste le principe de la dérivée directionnelle:
http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?s...ck=derivdirect

Et une deuxième, quand tu définis les coefficients de Christoffel, en gros ils expriment comment les vecteurs de base changent ?
Voilà c'est tout ! Merci

Oui c'est tout à fait ça