split de la discussion "L'Univers à son commencement avait-il un centre de gravité ?"

[yves95210]

Bonjour,

J'ouvre ce fil pour revenir plus dans le détail sur la proposition énoncée dans ce message, la suite n'ayant pas sa place dans le forum "Questions de base".

A la fin du message je suggérais l'utilisation de la métrique de Lemaître-Tolman pour traiter le problème plus rigoureusement qu'avec l'approximation newtonienne "naïve".
Effectivement il s'agit clairement d'un cas où la géométrie de l'espace-temps présente une symétrie spatiale sphérique, mais où la densité de matière/énergie n'est pas homogène : une boule à l'intérieur de laquelle la densité est homogène, plongée dans un espace vide, où la densité est nulle.

Pour rappel, la métrique de LT s'écrit (avec c= 1)


En se limitant à un modèle d'espace-temps dans lequel , l'équation d'Einstein conduit aux équations suivantes, où et sont des fonctions arbitraires de :


Dans le cas particulier où la courbure spatiale est nulle, et les deux premières équations ci-dessus deviennent

et la métrique s'écrit simplement


A l'intérieur de la boule de densité homogène , la troisième équation s'intègre en

et la deuxième devient

où on reconnaît "presque" l'équation de Friedmann.

La dernière équation donne

ne dépendant pas de , on obtient , ,
ce qui confirme que la métrique est bien celle de Friedmann-Lemaître en espace "plat",

Remarque : on aurait pu arriver à la même conclusion dans le cas plus général constante (indépendante de ), qui correspond à la métrique de Friedmann-Lemaître avec courbure spatiale négative si ou positive si .


A l'extérieur de la boule, où est la coordonnée radiale de la surface de la boule.
Les autres équations donnent


D'où , à une constante d'intégration (fonction de la seule variable t) près. Mais celle-ci doit être nulle pour retrouver à la surface de la boule.


... suite dans un prochain message : là je commence à saturer.

Mais on devrait retomber sur la métrique de Schwarzschild avec une masse centrale M>0 (exprimée dans le système de coordonnées de Lemaître où la coordonnée radiale r étiquette les sphères comobiles de rayon aréal A(r,t)), comme déjà vu dans notre vieille discussion (pas finie) "Exploration de la métrique de Lemaître-Tolman". Et, moyennant le changement de coordonnées approprié, retrouver l'expression usuelle de la métrique de Schw.[/QUOTE]
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[andretou]

Merci Yves pour ce travail !
En conclusion, est-ce que ces résultats sont compatibles avec l'existence d'un centre de gravité (dans un espace euclidien simplement connexe contenant une quantité finie de matière) ? Ou non ?

[yves95210]

Merci Yves pour ce travail !
En conclusion, est-ce que ces résultats sont compatibles avec l'existence d'un centre de gravité (dans un espace euclidien simplement connexe contenant une quantité finie de matière) ? Ou non ?

Pour le moment, oui, et ils ne font que confirmer ce que j'avais déjà établi dans l'autre fil en utilisant l'approximation newtonienne (le contraire m'aurait surpris).
Mais je n'ai pas fini : il reste à confirmer que la métrique de Lemaître-Tolman, valide sur tout l'espace (la boule massive et son extérieur vide) se ramène à la métrique de Schwarzschild à l'extérieur de la boule (et à vérifier sous quelle condition le rayon de celle-ci est supérieur à son "rayon de Schwarzschild").

Et, par simple curiosité car ce sera quelque-chose d'invérifiable depuis notre galaxie (puisque nous observons un CMB à peu près isotrope sur la totalité de la sphère céleste), à regarder ce qui se passe pour un objet comobile situé assez près de la surface de la boule pour qu'une portion de celle-ci se trouve à l'intérieur de son horizon des événements : intuitivement le fait que dans son cône passé l'univers ne soit pas isotrope et qu'il y ait une dissymétrie dans la distribution des masses dont il ressent l'influence gravitationnelle, devrait conduire à une géométrie de l'espace-temps distincte de celle du modèle de Friedmann-Lemaître. Sauf que, pour le moment, je ne vois pas comment c'est compatible avec le modèle de Lemaître-Tolman tel que je l'ai appliqué ci-dessus (j'ai juste un doute sur le fait qu'il reste valide lorsqu'il y a une discontinuité de M', comme c'est le cas à la surface de la boule).
Mais c'est éventuellement là qu'il y a un problème, contrairement à ce qui se passerait si la gravitation était newtonienne (l'interaction gravitationnelle étant alors instantanée, la symétrie sphérique conduirait à ce que les composantes de l'accélération gravitationnelle dues à l'ensemble des masses situées dans la coquille sphérique comprise entre l'observateur et la surface de la boule se compensent).

[yves95210]

Je reprends là où j'en étais resté à la fin de mon premier message :

A l'extérieur de la boule, où est la coordonnée radiale de la surface de la boule.
Les autres équations donnent


D'où , à une constante d'intégration (fonction de la seule variable t) près. Mais celle-ci doit être nulle pour retrouver à la surface de la boule.

Développement totalement inutile puisque je n'ai fait que retrouver la première équation...
(mach3 reconnaîtra là ma propension à me faire des nœuds au cerveau pour rien et à poster avant de m'être relu soigneusement )

est la vitesse radiale d'une particule-test (de masse assez petite pour ne pas perturber la géométrie de l'espace-temps, puisqu'on suppose l'espace vide à l'extérieur de la boule) partie en et appartenant à la sphère étiquetée par la coordonnée radiale , sphère dont le rayon aréal à l'instant est et valait 0 en .

(Remarque : en toutes ces sphères sont confondues en un point unique de l'espace, où la densité d'énergie est infinie - une singularité. Ce n'est pas physique, mais on s'en fout, il ne s'agit que d'un modèle, pas de la réalité physique, et on sait que ce modèle n'est valide que jusqu'à un seuil minimum de densité d'énergie; la singularité en , où est infinie et pour tout , n'est que le résultat du prolongement du modèle au-delà de son domaine de validité; exactement comme lorsqu'on prolonge le modèle cosmologique standard jusqu'en , ce qui ne l'empêche pas de décrire plutôt bien la partie de l'univers que nous pouvons observer, à partir de l'époque CMB.)

Tout ça pour rappeler que, dans le système de coordonnées choisi (celui dans lequel on a exprimé la métrique de Lemaître-Tolman), les coordonnées spatiales étiquettent les observateurs comobiles et est leur temps propre. Exactement comme dans l'expression habituelle de la métrique FLRW, ce qui a permis de voir sans difficulté que celle-ci n'est qu'un cas particulier de la première.

Mais il y a un problème : pour que la métrique de LT reste bien définie au moins jusqu'à un quelconque , il faudrait que à constant, soit strictement positif et donc strictement croissant pour tout .
Mais alors la vitesse radiale d'une particule comobile de coordonnée radiale telle que serait plus faible que celle de la surface de la boule, puisque , et d'autant plus faible que est grand.

Autrement dit, les éventuelles particules comobiles de masse négligeable extérieures à la boule massive vont être rattrapées par la surface de la boule à mesure que celle-ci grandit (j'ai essayé de rentrer dans les détails, mais j'ai laissé tomber...). Il faudrait regarder si cela empêche d'utiliser leurs lignes d'univers (jusqu'à l'instant où elles sont rattrapées par la surface de la boule, ce qui se produit plus tard pour les particules de coordonnée radiale r plus grande) pour étendre le référentiel au-delà de la boule (pour qu'il couvre tout l'espace-temps, il faudrait montrer qu'en tout t il existe une valeur de r assez grande pour que A(r,t) soit encore supérieur à A(R,t)).

De toute façon l'intérêt (même théorique) est assez limité, puisqu'on sait que, dans un espace vide autour d'une masse centrale, la géométrie de l'espace-temps est représentée par la métrique de Schwarzschild. Le problème est le "recollage" des deux métriques à la surface de la boule, à cause de la discontinuité de la densité de matière (ou de M' dans la solution de Lemaître-Tolman). Mais le problème est le même lorsqu'on utilise la métrique de Schw. à l'extérieur d'une étoile et une autre métrique pour décrire l'intérieur, avec comme seule condition aux limites le fait que la gravité à la surface de l'étoile, calculée à l'aide de l'une ou l'autre des deux métriques, doit être la même.

Mais même si on imagine que l'espace dans lequel la boule est plongée est infini mais ne contient qu'un ensemble fini de particules massives (à l'extérieur de la boule et de masse suffisamment faible pour ne pas perturber la géométrie de l'espace-temps), et peut donc être représenté par la géométrie de Schwarzschild, chacune de ces particules est à une distance finie du centre de la boule et "tombera" (ou est déjà tombée) vers la surface de celle-ci en un temps fini à moins d'être doté d'une vitesse radiale suffisante (la vitesse de libération en gravitation newtonienne).
Ou, même si sa vitesse radiale est supérieure à la vitesse de libération, elle sera rattrapée par cette surface en un temps fini à cause de l'expansion de la boule : en supposant que ce modèle décrive l'Univers, la boule doit être plus grande que l'univers observable; or la vitesse d'éloignement (par rapport à nous) des particules les plus lointaines appartenant à l'univers observable (dont nous observons le rayonnement qu'elles ont émis dans un lointain passé) est très supérieure à c.

[A voir en vidéo sur Futura]

[andretou]

De toute façon l'intérêt (même théorique) est assez limité, puisqu'on sait que, dans un espace vide autour d'une masse centrale, la géométrie de l'espace-temps est représentée par la métrique de Schwarzschild. Le problème est le "recollage" des deux métriques à la surface de la boule, à cause de la discontinuité de la densité de matière (ou de M' dans la solution de Lemaître-Tolman). Mais le problème est le même lorsqu'on utilise la métrique de Schw. à l'extérieur d'une étoile et une autre métrique pour décrire l'intérieur, avec comme seule condition aux limites le fait que la gravité à la surface de l'étoile, calculée à l'aide de l'une ou l'autre des deux métriques, doit être la même.

Mais même si on imagine que l'espace dans lequel la boule est plongée est infini mais ne contient qu'un ensemble fini de particules massives (à l'extérieur de la boule et de masse suffisamment faible pour ne pas perturber la géométrie de l'espace-temps), et peut donc être représenté par la géométrie de Schwarzschild, chacune de ces particules est à une distance finie du centre de la boule et "tombera" (ou est déjà tombée) vers la surface de celle-ci en un temps fini à moins d'être doté d'une vitesse radiale suffisante (la vitesse de libération en gravitation newtonienne).
Ou, même si sa vitesse radiale est supérieure à la vitesse de libération, elle sera rattrapée par cette surface en un temps fini à cause de l'expansion de la boule : en supposant que ce modèle décrive l'Univers, la boule doit être plus grande que l'univers observable; or la vitesse d'éloignement (par rapport à nous) des particules les plus lointaines appartenant à l'univers observable (dont nous observons le rayonnement qu'elles ont émis dans un lointain passé) est très supérieure à c.

Est-ce donc à dire que notre Univers ne peut pas être modélisé par une quantité finie de matière contenue dans un espace euclidien simplement connexe, quelle que soit la valeur de la constante cosmologique ?

[yves95210]

Est-ce donc à dire que notre Univers ne peut pas être modélisé par une quantité finie de matière contenue dans un espace euclidien simplement connexe, quelle que soit la valeur de la constante cosmologique ?

Je ne sais pas. Il faudrait refaire le développement sans imposer Lambda=0 (c'est faisable, mais je n'avais pas trop envie d'y passer du temps).
Mais même dans le cas Lambda=0, je ne sais pas si un tel modèle pourrait fonctionner (représenter un univers physiquement "viable").

D'autre part, même s'il fonctionne, cela ne répondra pas à ta question : quel que soit le modèle d'univers, quand on parle de sa partie spatiale (l'ensemble des événements (points de l'espace-temps) dont la date est la même, dans un découpage où la coordonnée de temps t est le temps cosmologique et où les hypersurfaces spatiales sont orthogonales à dt), ça n'a pas de sens de parler de son centre de masse, car l'interaction gravitationnelle n'est pas instantanée et les sources de gravitation (les masses) dont on ressent l'influence en un événement appartiennent à son cône passé. Plus elles sont lointaines, plus c'est leur position dans un passé lointain (celle qu'on observe, car la vitesse de propagation de l'influence gravitationnelle est la même que celle des ondes électromagnétiques) qui détermine leur influence gravitationnelle ici et maintenant. Et le cône passé de deux événements distincts (mais de date identique) est évidemment différent. C'est l'ensemble des masses appartenant à ce cône passé et les distances parcourues entre elles et nous à la vitesse c par les photons ou les (éventuels) gravitons qui déterminent la direction et l'intensité de l'accélération gravitationnelle dont nous pouvons mesurer l'effet - et qui permettent en quelque sorte de définir autant de centres de gravité "locaux" de l'univers, qu'il y a d'événements dans la tranche spatiale considérée(*).

C'est plutôt ça qui m'intriguait quand j'ai répondu à la suggestion de mach3 et que j'espérais éclaircir en faisant ce développement : dans le modèle qu'il proposait, même en supposant la densité de matière homogène dans la boule, le fait qu'elle soit nulle à l'extérieur entraîne une anisotropie de la distribution de masse dans le cône passé d'un événement suffisamment proche de la surface de la boule. En cet événement, un astronome n'observerait donc pas un univers homogène et isotrope.
En raisonnant naïvement (approximation newtonienne), la galaxie dans laquelle il se trouve, serait soumise à l'attraction gravitationnelle de l'ensemble des masses d'une boule (plus petite que la première) dont il manquerait un morceau (celui qui se trouve à l'extérieur de la première boule, plus grande) et, contrairement à ce qui se passe pour une galaxie suffisamment éloignée de la surface de la première boule, devrait subir une accélération s'opposant à l'expansion.
J'espérais confirmer plus rigoureusement (ou infirmer) ce raisonnement en utilisant la RG, à l'aide de la métrique de Lemaître-Tolman couvrant potentiellement tout l'espace-temps. Mais comme tu as pu le voir dans mon dernier message, je me suis aperçu que c'est (peut-être) impossible, ou en tout cas plus compliqué qu'à première vue... Pour le moment je n'ai pas d'idée pour aller plus loin.


(*) Ce qui fait de ta question n'a pas de sens. Tout au plus peut-on se demander si les hypersurfaces spatiales (homogènes et isotropes) à temps cosmologique constant d'un modèle d'espace-temps représentant correctement l'univers physique (i.e. permettant d'expliquer tous les phénomènes observés à l'échelle cosmologique) pourraient avoir un centre géométrique.