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Coordonnées de Painlevé : lecture et translation



  1. #1
    Mailou75

    Coordonnées de Painlevé : lecture et translation


    ------

    Bonjour,

    Le but est ici de mieux comprendre la signification des coordonnées de Painlevé et d'en proposer une translation horizontale redressant une trajectoire de chute libre depuis l'infini, que j'ai nommée Slide.

    Ces dernières présentent une analogie avec les coordonnées de Lemaître (voir exemple ici https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post5909753) dans le sens où la trajectoire se trouve être verticale (axe des ordonnées). Elles présentent des avantages, comme le fait que l'horizontale soit l'espace du voyageur et un inconvénient majeur : elles ne valent que pour une seule trajectoire !

    Painlevé

    Les voyageurs (Rouge et Bleus) représentés ont été choisis de telle façon à ce qu'ils croisent des immobiles (Verts) à intervalle de temps propres régulier. Ainsi, un voyageur qui déclencherait son chronomètre à 2,826Rs passerait l'horizon à exactement 2,5s (secondes pour un trou noir de rayon 300.000km en réalité l'unité de temps est Rs/c). En jaune on voit le cône passé et en violet l'espace des immobiles, ce qui serait une horizontale en coordonnées de Schwarzschild.

    A titre d'exemple, quand Rouge croise le stationnaire Vert à 1,842Rs son chrono indique T=1,5s et cet évènement est pris comme date de référence pour l'observateur éloigné t. Les autres croisements auront eu lieu a une date ultérieure t-...

    La particularité de ces diagrammes c'est qu'ils montrent des surfaces d'espace-temps locales, cad des "carrés" de 0,1Rs par 0,1s. Carrés locaux, dans le sens où pour eux tout est normal dans leur référentiel, mais déformés quand ils sont représentés d'un autre point de vue. Les losanges des voyageurs ont une base de 0,1Rs et une hauteur de 0,1s, leur angle est donné par la vitesse de chute locale (par rapport aux immobiles). La vitesse de chute est la formule de Newton dr/dT=c*racine(Rs/r).

    Si on note (z+1) le redshift auquel l'observateur éloigné perçoit les immobiles alors les immobiles ont pour base 1/(z+1) et pour hauteur (z+1) exactement comme ils seraient représentés en coordonnées de Schwarzschild, cad vus par l'observateur éloigné : compressés radialement et étirés dans le temps (redshiftés). Cette fois leur angle est donné par la courbe de l'espace, qu'on comprendra mieux plus tard...

    Slide

    On fait glisser horizontalement tout le graphe de façon à ce que Rouge ait une trajectoire verticale. Ainsi les carrés d'espace temps de Rouge sont bien des carrés. Note : tous les losanges ont une surface identique, quel que soit le repère.

    Ces coordonnées ont le premier avantage de donner une image parlante de ce qu'on nomme l'effet de marée radial : tous les voyageurs vont s’écarter les uns des autres, dans leur espace, leur donnant une "vitesse d'écartement" qui n'est pas pour autant une vitesse relative, une simple déviation de géodésiques inertielles. Je ne m'étend pas là dessus car ce n'est pas le sujet.

    La particularité intéressante est que si on prend le même évènement que tout à l'heure, à t=0, Rouge est bien un carré et Vert est un losange au sens d'une vitesse relative locale comme elle serait représentée chez Minkowski. L'angle réciproque de Vert par rapport à Rouge est la vitesse d'un immobile par rapport au voyageur et sa coordonnée temporelle est 0,1*Y. On comprend alors naturellement pourquoi le Y associé à la vitesse de chute vaut exactement le (z+1) local. Y=z+1 est une propriété remarquable des voyageurs issus de l'infini.

    On comprend donc que si l'angle de déplacement est donné par la vitesse, la base définit l'espace de cet immobile. Ainsi la courbe violette trouve toute sa justification en tant "qu'espace des immobiles" et on comprend mieux pourquoi elle a cette forme en coordonnées de Painlevé (équivalent des courbes notées 0, Rs/c etc... dans le lien déjà cité, cad une horizontale chez Schwarzschild).

    On compend aussi pourquoi l'horizontale en Painlevé comme en Slide est l'espace des voyageurs : c'est la base d'un carré qui représente l'espace-temps local du voyageur Rouge (et des autres). Le Slide est donc continuellement un Minkowski local. Si vous vous posez la question de savoir si le cône passé est symétrique la réponse est non, pouillème de différence mais non.

    Pourquoi tout ce bla bla ?

    J'ai crée le Slide à l'origine pour tenter de décrire ce que voient les voyageurs en chute libre radialement. L'idée était d'avoir un espace et un temps orthogonaux et de faire "comme chez Minkowski" une projection du cône passé sur une horizontale pour obtenir une distance "vue" (comprendre "distance angulaire" si on plaçait une petite bille à la place du "point" en négligeant la courbure des rayons lumineux non radiaux).

    Mais ça ne marche pas... à nouveau pouillème par rapport à ce qui est attendu mais pouillème de trop pour que ça me convienne. Ce qui est attendu c'est simplement que, si on arrive à définir ce que voit un immobile alors ce que voit le voyageur peut être obtenu simplement par application de l'aberration de la lumière en fonction de la vitesse relative par rapport à l'immobile, cad la vitesse de chute. On remarque que le cône passé ne croisera jamais la courbe de l'horizon Rs et donc qu'au fur et à mesure que le voyageur s'approche du trou noir, ce dernier va s'éloigner visuellement (radialement bien sur, inutile de me parler du reste merci).

    Si on essaye de faire le même exercice avec Lemaitre on est complètement dans les choux par rapport aux attendus. Pourtant ce système présente, a priori, des caractéristiques "similaires"...

    Questions

    1/ Etes vous d'accord avec le principe d'application de l'aberration RR entre ce qui est vu par un immobile de Schwarzchild et un voyageur en chute libre ? Justifier un poil la réponse.

    2/ Pourquoi est-ce que le Slide ne permet pas de réaliser une projection du cône passé sur un plan euclidien perpendiculaire à la ligne d'univers de Rouge, cad les axes de la figure ?

    3/ La plus importante : proposer un système de coordonnées dans lequel on puisse projeter le cône passé pour obtenir ce qui est vu par le voyageur !

    Merci d'avance pour votre aide

    Mailou

    -----
    Images attachées Images attachées  
    Trollus vulgaris

  2. #2
    Mailou75

    Re : Coordonnées de Painlevé : lecture et translation

    Remoi,

    Amanuensis, Mach3, Archi3, Jacknicklaus, Yves, Phys4... ou tout autre amoureux de la physique théorique des trous noirs, cette question vous était adressée. Si vous avez peur de la 3, oubliez là, moi même j'avoue qu'elle me fait un peu peur et les formules ne seraient pas sans doute pas élégantes... je voulais surtout m'en servir pour valider ce qui serait obtenu par d'autres moyens.

    En fait la 2 aussi n'est pas indispensable, je constate que le Slide ne fonctionne pas pour projeter le cône passé sur un plan euclidien et obtenir une image. J'aurais simplement aimé comprendre pourquoi, et pourquoi Lemaitre ne fonctionne pas non plus... J'aurais aimé comprendre quelles sont les caractéristiques d'un système le permettant sachant que, par exemple, Schwarzschild fonctionne pour l'observateur éloigné.

    Donc la vraie question c'est la 1, pour rappel : Etes vous d'accord avec le principe d'application de l'aberration RR entre ce qui est vu par un immobile de Schwarzchild et un voyageur en chute libre ?

    Merci d'avance pour votre aide

    Mailou
    Dernière modification par Mailou75 ; 20/03/2021 à 01h13.
    Trollus vulgaris

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