Apparence d'un cube en mouvement - relativité restreinte

[invite0510bf78]

Bonjour à tous,

Je suis bloqué face à ce problème de relativité restreinte:

Montrer qu'un cube en mouvement, passant loin devant un observateur à la hauteur de ses yeux, semble subir une rotation d'angle alpha, même si les rayons lumineux proviennent d'une direction non perpendiculaire à la trajectoire du cube.
Calculer l'angle en fonction de l'angle de visée (angle entre la direction des photons impressionnant la rétine et la direction de déplacement du cube) et de la vitesse de déplace V.

Aucune des mes idées n'a donné de résultat probant.

J'aimerai donc savoir si quelqu'un avait une idée de démarche.

Merci pour votre attention !
-----

[Mailou75]

Salut,

C’est un problème d’aberration de la lumière. Tu trouveras la formule sur wiki. Je te propose une illustration (https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post4743513) qui perso m’a permis de comprendre le fond du problème et bien poser les équations.

Bon courage

[Matmat]

Bonsoir,

Dans le plan de vision les faces ne paraissent déjà pas carré du seul fait de perspective classique : tu vois 3 faces losange dans le cas où tu vois 3 faces , tu vois 2 rectangles quand l’œil ne voit pas la face du dessus ni dessous .

Tu vois donc simplement 2 rectangles contigus , séparés par une arête, cette arête est "un segment en mouvement apparent dans le sens de V" dans ces deux rectangles .

Sans effet relativiste , cette arête bougerait par seul effet de perspective classique , par exemple il irait de complètement à gauche jusqu'au milieu exact des 2 rectangles pour thêta allant de pi/2 à pi/4.
il y a apparence de rotation parce que cette arête bouge différemment qu'en perspective seulement classique . Or , le fait que seul l'un des deux rectangles subit une contraction relativiste ( et ça c'est facile à expliquer ) va "engendrer un frein" au mouvement de l’arête (comme si le cube tournait) : de sorte que quand thêta vaut pi/4 l’arête n'est pas encore au milieu .

[invite0510bf78]

Voilà ma représentation du problème.

IMG_20190821_001311.jpg

Avec L que l'on peut trouver de la façon suivante:

J'observe donc un angle critique theta0, au-delà ce cette angle, l'observateur ne voit plus la face avant.
Je peux donc, déterminer les longueurs apparentes de la face avant et visible pour l'observateur.

Cependant, je n'arrive pas à les relier à un cube en rotation d'angle alpha.



IMG_20190821_001758.jpg

J'avoue avoir du mal avec le schéma Mailou75. Il faudrait que je me penche plus sur le sujet lié à la figure.

PS: Pour theta < pi/2, je ne vois pas comment l'observateur pourrait voir la face arrière du cube.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Matmat]

Cependant, je n'arrive pas à les relier à un cube en rotation d'angle alpha.

Comme je t'ai dis plus haut, il faut que tu compares la position de l’arête du cube relativiste à la position de l’arête du cube classique dans le plan de vision.

les largeurs des rectangles classiques sont : l.cos(théta) et l.sin(théta)
les largeurs des rectangles relativistes sont : (l/gamma).cos(théta) et l.sin(théta) car seul un des rectangles subi la contraction relativiste

l’arête relativiste retarde par rapport à l’arête classique , et la largeur entre ces deux arêtes dans le plan de vision , si on l'intérprète comme une rotation de centre le milieu de la face du haut, vaut: (l/rac(2)).tan(alpha)

donc : l.cos(théta) - (l/gamma).cos(théta) = (l/rac(2)).tan(alpha)

donc : tan(alpha) = rac(2)(1-(1/gamma)).cos(théta)

[Mailou75]

Reponse étrange car en aucun cas on ne voit ce qui se passe dans l’espace synchronisé, cad la compression selon gamma. Je tenterai une illustration de la déformation d’un carré en mouvement ce week end si je trouve le temps

[invite0510bf78]

Le résultat que tu as trouvé n'est pas égale à celui que je cherche.

Je pense qu'il faut considérer les largeurs classiques dans le référentiel R'.
On aurait donc l.cos(thêta') et l.sin(thêta').
J'avoue que je ne vois pas trop comment tu as exprimé tan(alpha).
Le résultat que je dois trouvé est sin(alpha) =(B-costheta)/(1-Bcostheta)
Si tu as le temps, je suis très partant pour une illustration

[Matmat]

Vu le résultat attendu , tu peux oublier ma tentative de t'aider , je pense que j'ai pas compris non plus de quelle rotation il parle , pour plusieurs raison :

D'abord , le calcul alpha dépend d'où on place l'axe de rotation , or il m'a semblé évident de le le faire transpercer le cube de haut en bas en passant par les centres des faces du haut et du bas . Apparemment il ne fallait pas , je pense que vu ta réponse il a du le mettre ailleurs sinon il y aurait forcément un rac(2) dans la réponse attendue .

Ensuite , il a du utiliser la formule (5.16 ) de la deuxième image que tu as envoyé en lien . et pas moi , je n'y ai même pas pensé , mais apparemment c'est ce que ton prof veut te faire faire .

Enfin , le résultat que tu dois trouver me surprend énormément , en théta = 0 (le cube se dirige vers nous ) il obtient une rotation apparente de alpha = 3pi/2 ??? comment une apparence de rotation de 3 quart de tour de cube serait elle seulement possible ? Je ne comprend pas car ça fait tellement tourner le cube qu'on voit des faces qui nous sont cachées !!!

tel que je comprend le problème , seul une rotation inférieure à pi/2 me semble possible .

Du coup je pense que je ne comprend rien , et je préfère m'éclipser ,

[invite0510bf78]

J'avoue que je ne comprends pas non plus car pour moi, en theta = 0, on ne devrait observer que la face avant du cube (celle qui est dirigée vers nous)

[Mailou75]

@matmat

Il est possible de voir des faces qui sont cachées à la position réelle dans l’espace. J’essayerai de choisir une position pour le carré qui met ceci en évidence.

Par contre je pense que le mot rotation est mal choisi car il s’agit d’une distorsion plutôt.

[invite0510bf78]

Voilà ce que j'ai trouvé en changeant légèrement mon raisonnement (je ne suis pas très loin du résultat cherché).
IMG_20190823_101305.jpgIMG_20190823_101316.jpg
_Pour thêta > theta0, l'observateur verra la face arrière et la face visible
_Pour thêta < thêta0, il observe la face avant et la face visible).
_Pour theta=theta0, il n'observe que la face visible.
(L2 = 0 et L1 = l/y)
Du coup, mon expression de L1 est juste mais celle de L2 ne l'est pas, car pour costheta0 je ne trouve pas 0.

[Mailou75]

Salut,

Pas eu le temps ce week end, retour de vacances... voilà ce que j'ai pu te faire.

Sur la vue 2D+t tu as les explications de chaque élément du Minkowski. Dans le fond, on cherche à connaître l'intersection entre le cône passé de l'observateur et la trajectoire d'un carré compressé (L/Y) dans le sens du mouvement.

En haut tu as la transformation via la formule du Doppler relativiste :



Elle donne évidement le même résultat mais il faut bien faire attention à la position du carré vert : au repos non compressé et à sa position "comobile", cad à la même durée propre entre le présent de l'observateur et leur rencontre pour un cas radial. Bref, ce n'est pas faux mais il faut faire gaffe avec cette formule quand même... Elle a ceci de pratique que le Doppler vaut z+1=d/D, en l'occurrence <1 donc un blueshift.

Je ne vois pas trop ce que ton prof entend pas "tourner"... j'espère tout de même que ça pourra t'aider

Mailou

[invite0510bf78]

Merci pour avoir pris le temps de me faire un schéma !

Je ne comprends pas très bien certains points.

Le cône passé est celui par rapport à l'observateur ? (qui est alors en son sommet).

En haut, j'ai compris que tu avais représenté le carré dans son référentiel propre, puis comment il était vu par l'observateur (toujours dans le référentiel propre).
Sachant que l'axe verticale est celui du temps, que représente d? Et D?

Et ma dernière question est la suivante: que représente les lignes hyperboliques dans le cône de lumière?

Merci

[Mailou75]

Salut,

Merci pour avoir pris le temps de me faire un schéma !
Je ne comprends pas très bien certains points.

Je ne fais que tenir mes promesses
J’ai été un peu avare en explications, j’avoue...

Le cône passé est celui par rapport à l'observateur ? (qui est alors en son sommet).

En bas à gauche dans le Minkowski et dans la 2D+t, le cône passé est celui de l’observateur, c’est donc lui qui se trouve au sommet. Pour montrer ce que voit un observateur il faut toujours être dans son repère, pour pouvoir projeter le cone sur un plan euclidien perpendiculaire à la ligne d’univers, son axe de temps (c’est ce qu’on fait sans s’en rendre compte, loin=vieux). Juste au dessus du Minko c’est la vue en plan 2D. Ce ne sont que des vues de dessus et de coté de la 2D+t.

En haut, j'ai compris que tu avais représenté le carré dans son référentiel propre, puis comment il était vu par l'observateur (toujours dans le référentiel propre).

Arf, pas vraiment non. Les trois éléments qui composent le graph du haut n’ont quasiment rien à faire ensemble... Le carré peut être vu comme au repos dans son repère et l’observateur à sa position, en mouvement cette fois. C’est d’ailleurs ce que dis l'équation : ce qui devrait être perçu comme un cercle par un observateur fixe est vu comme une ellipse par un observateur en mouvement.

Le problème c’est le temps, si le carré est au présent l’observateur est au passé... le point localisant l’observateur en mouvement est dans un plan plus bas (plus loin puisqu’il se déplace), comme l’êvènement qui définit dans le Minko où doit doit être placé le carré dans la figure Doppler : sur l’axe vert (en fait quand, dans le passé de l’observateur). De plus, ce que voit l’observateur (en rouge) n’aurait absolument rien a faire ici, il faut bien savoir ce qu’on fait avec cette formule, c’est pour ça que j’en précise le sens dans le Minko, qui lui est inconstestablement cohérent.

Sachant que l'axe verticale est celui du temps, que représente d? Et D?

Il n’y a que 2D pour l’aberration, pas de temps. D est la distance vue pour un point et d sa distance «comobile». Comobile est un terme issu de la cosmo mais je le reprend en RR car la définition est la même : «distance qu’il atteint pendant une durée propre égale à celle de l’observateur» et le shift vaut z+1=d/D, pareil. Comme le résultat est inférieur a 1 c’est un blueshift (suppérieur à 1 pour un redshift).

Et ma dernière question est la suivante: que représente les lignes hyperboliques dans le cône de lumière?

La même chose que les droites en pointillé juste au dessus, des plans : quand on coupe un cône avec un plan vertical, l’intersection est une hyperbole.

Bon courage

Mailou

[invite0510bf78]

D'accord je vois, il faut que je peaufine mes connaissances sur l'effet Doppler pour bien tout saisir

Merci bien