Répondre à la discussion
Page 3 sur 6 PremièrePremière 3 DernièreDernière
Affichage des résultats 61 à 90 sur 152

Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi



  1. #61
    yves95210

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi


    ------

    C'est bon :
    load("ctensor");
    dim:3;
    cframe_flag:false;
    ct_coords:[r,theta,phi];
    depends([A,E],r);
    lg:matrix([diff(A,r)^2/(1+2*E), 0, 0], [0, A^2, 0], [0, 0, (A*sin(theta))^2]);
    cmetric(false);
    scurvature();
    donne bien

    -----

  2. #62
    yves95210

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Bon, maintenant qu'on sait qu'on peut relier la métrique LTB au formalisme 3+1 de la RG (et que cette fois je ne m'étais pas planté), voici la démarche complète :






    Les coordonnées spatiales des hypersurfaces à constant sont des "coordonnées gaussiennes normales". En notant la métrique de ces hypersurfaces, leur tenseur de courbure extrinsèque et leur tenseur de Ricci,



    [Cf. le cours d'E. Gourgoulhon : "3+1 Formalism and Bases of Numerical Relativity", chapitre 4: 3+1 decomposition of Einstein equation, section 4.4.2: Analysis within Gaussian normal coordinates.]

    Les seules composantes non nulles de sont




    Alors






    D'où
    Dernière modification par mach3 ; 26/11/2019 à 14h27. Motif: correction latex

  3. #63
    yves95210

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Au passage, je me suis rendu compte que j'avais raconté des c...ries dans le message #21 :

    On peut effectivement écrire l'équation suivante :

    le taux d'expansion (du volume), le taux de cisaillement. Ces deux taux étant définis à partir du tenseur de courbure extrinsèque ou du tenseur d'expansion (le même au signe près) par

    est la 3-métrique de l'hypersurface, est le tenseur de cisaillement, sans trace, et .

    Mais, contrairement à ce que j'avais écrit, dans le cas présent n'est pas nul. Raison pour laquelle j'arrivais à un résultat faux...
    Et c'est évident, puisque le volume élémentaire ne se déforme pas de la même manière suivant la direction radiale d'une part et les deux directions orthoradiales d'autre part.

    ##
    Dernière modification par mach3 ; 26/11/2019 à 14h28. Motif: correction faite, + correction des A qui étaient caligraphiés pour une raison encore pas comprise

  4. #64
    mach3
    Modérateur

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Citation Envoyé par yves95210 Voir le message
    Même en simplifiant ça ne donne pas le bon résultat, mais dans ton code tu as oublié le ^2 sur diff(A,r).
    Ho! quel boulet!
    Never feed the troll after midnight!

  5. #65
    yves95210

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    Ho! quel boulet!
    Mais non ! J'ai bien compris que c'était juste pour m'obliger à me servir de maxima

    Et tu avais raison, ça peut rendre de sacrés services (à condition d'avoir des exemples de code comme le tien, parce qu'en partant de zéro ça risque de demander du temps pour assimiler le langage. Mais maintenant que j'ai compris cet exemple, j'aurai définitivement la flemme de calculer les tenseurs de la RG à la main...).

  6. #66
    yves95210

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Il me reste un petit (?) problème à résoudre, à propos des équations que j'avais trouvées dans le papier de Buchert (cf. message #21).


    est le scalaire de Ricci de l'hypersurface spatiale, le taux d'expansion (du volume), le taux de cisaillement. Ces deux taux étant définis à partir du tenseur de courbure extrinsèque ou du tenseur d'expansion (le même au signe près) par

    est la 3-métrique de l'hypersurface, est le tenseur de cisaillement, sans trace, et .
    Quand j'essaie de rapprocher ça de mon équation...

    ... il y a un truc qui ne colle pas.

    J'ai calculé de deux manières différentes, avec le même résultat (heureusement), donc je suis sûr de mon coup. Je ne mets ici que l'un des deux calculs, j'ai déjà donné l'autre (taux d'accroissement du volume calculé à partir du déterminant de la métrique et de sa dérivée par rapport à t).



    J'ai calculé les composantes . Evidemment seules les trois composantes diagonales sont non nulles. Mais quand je calcule , je trouve finalement 0.

    Avec ça, je ne vois pas comment on peut avoir

    à moins que le deuxième terme entre parenthèses, de signe négatif, soit égal à , ce qui me paraît bizarre puisqu'il n'y apparaît pas de terme en .

    Je n'imagine pas un instant qu'il y a une erreur dans l'équation de Buchert. Quant à la mienne, elle conduit bien à la formule correcte pour le scalaire de Ricci 3D...
    Donc ça me tracasse - d'autant plus que j'aime bien la formulation de cette équation à l'aide du taux d'expansion (du volume élémentaire) et du taux de cisaillement. Bref, j'aimerais bien comprendre !
    Dernière modification par yves95210 ; 26/11/2019 à 18h26.

  7. #67
    yves95210

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Citation Envoyé par yves95210 Voir le message
    J'ai calculé les composantes . Evidemment seules les trois composantes diagonales sont non nulles. Mais quand je calcule , je trouve finalement 0.
    Une précision : en calculant la trace de , soit , je trouve bien 0. Malgré les apparences, il s'agit bien d'un "trace-free tensor" comme le dit Buchert.

  8. #68
    yves95210

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Salut,

    Un scoop : je m'étais encore planté

    J'avais oublié de mettre des termes au carré dans le calcul de . J'ai repris le calcul ce matin, beaucoup plus laborieux du coup. Et, miracle (attendu) : n'est pas nul. J'avais donc bien raison hier en disant "c'est évident, puisque le volume élémentaire ne se déforme pas de la même manière suivant la direction radiale d'une part et les deux directions orthoradiales d'autre part".

    Je récapitule les résultats (et pour ceux qui voudraient vérifier les calculs, je les joints en pdf) :




    Avec ça, on arrive facilement à


    et en utilisant les expressions ci-dessus dans mon équation


    je retrouve bien celle du papier de Buchert :

    Me voilà rassuré
    Images attachées Images attachées
    Dernière modification par mach3 ; 27/11/2019 à 12h05. Motif: facteur 3

  9. #69
    yves95210

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Citation Envoyé par yves95210 Voir le message
    et en utilisant les expressions ci-dessus dans mon équation


    je retrouve bien celle du papier de Buchert :
    Et voilà comment on passe d'un sujet à l'autre : ce n'était pas le but de ce fil ni le mien en y participant, mais tout ceci va me motiver à remettre en chantier mon "toy-model" de cosmologie non homogène, basé sur la métrique LTB pour la description de l'évolution des zones de sous- et sur-densités depuis l'époque du CMB, et sur la procédure de Buchert pour l'établissement d'équations moyennes "à la Friedmann" à grande échelle.

    Pour cela j'avais besoin de connaître les trois scalaires "locaux" , et , et jusqu'à présent je ne savais calculer que .

    Et, au passage, la discussion m'a aussi permis de me rendre compte que le fait d'imposer est probablement incompatible avec les conditions initiales du modèle. Cf. les questions que je (me) pose dans le nouveau fil que j'ai ouvert - histoire d'éviter de prolonger le hors-sujet ici.

  10. #70
    mach3
    Modérateur

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Salut,

    Une synthèse partielle du cas M=0

    Repartons de l'expression de la métrique :



    Avec A tel que , et E tel que .

    L'équation d'évolution est , M fonction croissante de r.

    On s'intéresse ici au cas où , on a donc (ce qui implique ) et la métrique s'écrit :



    En réarrangeant les termes on peut réécrire la métrique :



    démo :
     Cliquez pour afficher


    On montre ensuite que , avec t un champ scalaire, ce qui permet d'écrire la métrique comme :



    démo :
     Cliquez pour afficher


    On reconnait ainsi la métrique de Minkowski en coordonnées sphériques. Fixer le paramètre M à 0 dans la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi mène donc automatiquement à la métrique de Minkowski, et on décrit alors un espace-temps plat et vide.

    On va maintenant s'intéresser aux différentes solutions de ce cas (on considère et fixes dans ce qui suit). On a :



    démo
     Cliquez pour afficher


    et donc :
    qui est la vitesse radiale dans les coordonnées de Minkowski sphériques, associé à une rapidité , donc et

    démo
     Cliquez pour afficher


    On peut donc réécrire et en fonction de et :


    démo
     Cliquez pour afficher


    ou, d'une façon plus symétrique et évocatrice :




    Pour un r donné, la vitesse radiale dans les coordonnées de Minkowski est donc constante : il s'agit d'un mouvement rectiligne uniforme. r étiquette des comobiles (et c'est ce qu'on lui demande). De son côté, est le temps propre de ces comobiles. On considère donc un ensemble de droites (ou au moins de segments) de genre temps, chacune portant une étiquette r. Chaque droite est paramètrée par , le temps propre le long le long de la droite et possède donc une équation paramétrique :


    avec l'angle hyperbolique entre la droite r et l'axe A=0, et les coordonnées de l'évènement choisi comme origine sur la droite r

    Ces équations paramétriques sont contraintes, et étant fortement liées l'une à l'autre pour satisfaire les expressions de dt et dA. C'est ce dernier point qui reste à explorer pour clore l'étude du cas M=0

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  11. #71
    mach3
    Modérateur

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Ces équations paramétriques sont contraintes, et étant fortement liées l'une à l'autre pour satisfaire les expressions de dt et dA. C'est ce dernier point qui reste à explorer pour clore l'étude du cas M=0
    Donc, on a



    Si on différencie, on a :







    Or on sait que :



    (au passage, c'est une transformation de Lorentz locale de la base vers la base , cette dernière n'étant pas holonomique, joli non?)

    Donc




    Ce qui donne :



    Je l'avais déjà mentionné il y a quelques semaines, mais je le remets au propre pour étudier les solutions possibles.

    A suivre

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  12. #72
    yves95210

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Salut,

    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    Ce qui donne :

    Bon. Alors, sauf erreur de ma part,



    et, étant constante (indépendante de t),



    En faisant tendre t vers 0 à r constant, on obtient



    Les seules solution sont donc ou . La première est sans intérêt.

    La deuxième impose que soit indépendant de r, ainsi que puisque .

  13. #73
    mach3
    Modérateur

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Il doit y avoir une faille dans ta démonstration, car j'ai trouvé bien plus de solutions que cela, mais je ne la trouve pas.

    Voici les solutions que j'ai trouvée pour l'instant (j'illustrais plus tard par des schémas) :


    (K et L des constantes)













    Toute combinaison linéaire de ces 5 solutions est également solution, et on doit pouvoir en trouver encore d'autres, mais je pense que l'exhaustivité n'est ni possible, ni souhaitable.

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  14. #74
    yves95210

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    Il doit y avoir une faille dans ta démonstration, car j'ai trouvé bien plus de solutions que cela, mais je ne la trouve pas.
    Oui. J'ai oublié que

  15. #75
    yves95210

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    Voici les solutions que j'ai trouvée pour l'instant (j'illustrais plus tard par des schémas) :


    (K et L des constantes)




    (...)
    La première solution est celle sur laquelle j'étais tombé grâce (?) à mon erreur...

    Je me suis un peu amusé avec le second ( ). Voilà ce que ça donne, si je ne me suis pas de nouveau planté...




    D'autre part,

    d'où

    et


    Au passage ça donne


    est une fonction "qui va bien" (continue, croissante, dérivable...)
    Donc


    Mais on a aussi

    est une constante quelconque. D'où finalement



  16. #76
    yves95210

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Citation Envoyé par yves95210 Voir le message
    D'où finalement


    Et je viens de m'apercevoir que ça ressemble comme deux gouttes d'eau aux équations que tu avais données dans ton message d'hier. Bref, j'ai encore tourné en rond pour pas grand'chose
    Au moins ça prouve que je suis parfois capable de faire un calcul (même inutile) sans me planter...

  17. #77
    mach3
    Modérateur

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Les deux premier cas sont des croisement de tous les comobiles en un unique couple t,A.

    La première solution (avec des constantes) est simplement le décalage de l'évènement de croisement suivant t et A, ou plutôt de la sphère de croisement, car lorsque le croisement à lieu en A différent de 0, le point de croisement est une sphère de rayon A.
    Changer le t de croisement ne change rien, c'est juste un changement de l'origine de t. Par contre changer le A du croisement produit des changements.

    La seconde solution est le décalage du paramètre tau : le croisement ne se produit pas pour tau=0 mais pour tau=-1. En multipliant par une constante arbitraire, on peut decaler la valeur de tau au croisement. Cela n'engendre pas de changement autre que decaler l'origine de tau : le croisement s'effectue toujours en t=A=0.

    Les trois autres sont plus bizarres... Tous les comobiles ne se croisent pas en un unique événement. Ce sera plus clair avec des graphiques. Peut-être ce soir.

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  18. #78
    mach3
    Modérateur

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Voici quelques graphiques dans des repère A,t qui illustrent les champs scalaires et des différentes solutions.

    D'abord des solutions avec point d'intersection unique

    Solution de base :



    LTB M=0 zero.png

    Solutions avec ou constantes :



    LTB M=0 t0.png
    LTB M=0 A0+.png
    LTB M=0 A0-.png

    Solution décalant la valeur de à l'intersection :



    LTB M=0 cosh sinh.png

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  19. #79
    mach3
    Modérateur

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Passons maintenant aux solutions "bizarres". Celles où le point d'intersection n'est pas unique. Pour certaines d'entre-elles j'ai réalisé plusieurs vue pour bien montrer l'allure générale.

    Solution



    LTB M=0 ln cosh id.png
    LTB M=0 ln cosh id-2.png

    Solution



    LTB M=0 id ln sinh.png

    Solution



    LTB M=0 cosh² coshsinh+id.png
    LTB M=0 cosh² coshsinh+id-2.png

    Aucune idée de si ce sera utile ou pas, mais au moins on sait que ce genre de trucs existe.
    Il me reste encore à formaliser la "détection" de la présence d'une singularité de coordonnée.

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  20. #80
    yves95210

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    Voici quelques graphiques dans des repère A,t qui illustrent les champs scalaires et des différentes solutions.

    D'abord des solutions avec point d'intersection unique
    En fait (et heureusement) les solutions avec t0 ou A0 donnent le même graphique que la solution de base à une translation près suivant t ou suivant A. Et la solution avec une valeur de tau non nulle à l'intersection donne encore le même graphique: il est simplement tronqué, les demi-lignes d'univers (iso-eta) démarrant à tau=1.
    Bref c'est du Minkowski classique, avec la représentation du temps propre (les iso-tau) des objets parcourant chaque géodésique.

  21. #81
    yves95210

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    Passons maintenant aux solutions "bizarres". Celles où le point d'intersection n'est pas unique. Pour certaines d'entre-elles j'ai réalisé plusieurs vue pour bien montrer l'allure générale.
    Bon, là c'est plus original..

    Aucune idée de si ce sera utile ou pas, mais au moins on sait que ce genre de trucs existe.

  22. #82
    yves95210

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Citation Envoyé par yves95210 Voir le message
    Et la solution avec une valeur de tau non nulle à l'intersection donne encore le même graphique: il est simplement tronqué, les demi-lignes d'univers (iso-eta) démarrant à tau=1.
    Pardon : à t=1.

  23. #83
    mach3
    Modérateur

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Les équations suivantes :




    permettent le changement de coordonnées du système ,r vers le système t,A. A chaque couple ,r, on doit trouver un unique couple t,A. Mais l'inverse n'est pas forcément vrai : à un couple t,A pourrait correspondre plusieurs couples ,r, c'est ce qu'on appelle une singularité de coordonnée (exemple du pole nord en coordonnée sphérique). Cela va se voir en inversant la matrice de passage, et en particulier, en calculant le déterminant de cette matrice de passage. Si ce déterminant est nul, il y a singularité de coordonnée.

    Calculons ce déterminant dans notre cas :





    Si est constant, le déterminant s'annule pour : c'est l'unique évènement où toutes les droites se croisent.

    Si , on a , donc :

    Il s'annule si , là encore, c'est l'unique évènement où toutes les droites se croisent.

    Par contre, si , alors , donc :

    Il s'annule si . Ce n'est plus un unique évènement qui est concerné.

    Cette fois-ci je pense avoir fait le tour, plus qu'à boucler la synthèse et on passe, enfin, à M=cst, qui va être beaucoup plus amusant.

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  24. #84
    mach3
    Modérateur

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Variante en utilisant le coefficient de la métrique.

    Si s'annule, l'expression de la métrique est singulière. Ce terme peut s'écrire :




    Donc on a singularité de coordonnées si :



    On retrouve les même résultats qu'au post précédent :

    Si est constant, le coefficient de la métrique s'annule pour : c'est l'unique évènement où toutes les droites se croisent.

    Si , on a , donc :

    là encore, c'est l'unique évènement où toutes les droites se croisent.

    Par contre, si , alors , donc :

    On avait trouvé avec le déterminant, mais on n'avait pas pensé à factoriser par , ce qui donne bien .

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  25. #85
    yves95210

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Bonsoir,

    Je viens de m'apercevoir que l'article de Hermann Bondi (1947) est disponible en ligne (et téléchargeable en pdf en cliquant sur le bouton imprimer) :
    Spherically symmetrical models in general relativity

    Je ne l'ai pas encore lu mais ça devrait être intéressant...

  26. #86
    mach3
    Modérateur

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Synthèse finale sur le cas M=0

    Partie 1 : solution générale


    Repartons de l'expression de la métrique :



    Avec A tel que , et E tel que .

    L'équation d'évolution est , M fonction croissante de r.

    On s'intéresse ici au cas où , on a donc (ce qui implique ).
    On note que cela peut se réécrire , ce qui rappelle l'énergie cinétique classique.

    La métrique s'écrit :



    En réarrangeant les termes on peut réécrire la métrique :



    démo :
     Cliquez pour afficher


    On montre ensuite que , avec t un champ scalaire, ce qui permet d'écrire la métrique comme :



    démo :
     Cliquez pour afficher


    On reconnait ainsi la métrique de Minkowski en coordonnées sphériques. Fixer le paramètre M à 0 dans la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi mène donc automatiquement à la métrique de Minkowski, et on décrit alors un espace-temps plat et vide.

    On va maintenant s'intéresser aux différentes solutions de ce cas (on considère et fixes dans ce qui suit). On a :



    démo
     Cliquez pour afficher


    et donc :
    qui est la vitesse radiale dans les coordonnées de Minkowski sphériques, associé à une rapidité , donc et

    démo
     Cliquez pour afficher


    On peut donc réécrire et en fonction de et :


    démo
     Cliquez pour afficher


    ou, d'une façon plus symétrique et évocatrice :




    c'est une transformation de Lorentz locale de la base vers la base , cette dernière n'étant pas holonomique.

    On peut proposer la solution générique suivante :




    avec comme contrainte .

     Cliquez pour afficher


    on aura

    , et , sont des fonctions de r en toute généralité, mais peuvent être constantes.

    Les lignes de r donné sont des droites, des mouvements rectilignes uniformes. Ce sont les lignes d'univers de comobiles étiquetés par r (ainsi que par et ). De son côté, est le temps propre de ces comobiles. On considère donc un ensemble de droites (ou au moins de segments) de genre temps, chacune portant une étiquette r et paramètrée par .
    l'angle hyperbolique entre la droite r et l'axe A=0, et les coordonnées de l'évènement choisi comme origine sur la droite r. Dans le cas où elle n'est pas constante, il semble raisonnable d'imposer que soit une fonction monotone de r : en effet, il est souhaitable que chaque comobile porte une valeur unique de r (,).

    Partie 2 : exemples de solutions

    Intéressons-nous à la contrainte .

    On peut choisir arbitrairement , prendre sa dérivée, la multiplier par et calculer la primitive pour obtenir le correspondant. Si on souhaite que ait une expression analytique, il faut bien choisir .

    constante

    Dans le cas où est une constante, peut être une fonction monotone quelconque de r et on aura donc simplement . On note que cette fonction de r n'a pas tellement d'importance, la remplacer par une autre fonction correspond à un simple ré-étiquetage des comobiles.

    Si est nul, est une constante. Dans ce cas les comobiles sont simplement des immobiles par rapport à la droite A=0, on retombe en fait sur la métrique de Minkowski en coordonnées sphériques.

    Si est non nul, les comobiles ont tous la même vitesse radiale constante. Ils sont synchronisés le long d'hypersurfaces partout orthogonales aux lignes d'univers des comobiles, hypersurfaces qui sont des cônes sphériques.

    (graphes à venir)

    fonction de r

    Voici quelques exemples de couples , parmi une infinité possible dans le cas où est une fonction de r :


    (K et L des constantes)













    (graphes à venir, impossible d'insérer plus de 5 pièces jointes, donc montage nécessaire, se référer aux posts 78 et 79 en attendant)

    Toute combinaison linéaire de ces 5 couples est également valide.

    Ces cas présentent une singularité de coordonnée, qui peut être caractérisée en recherchant les conditions qui annulent le 2e coefficient de la métrique :

    La condition d'annulation est :


    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  27. #87
    mach3
    Modérateur

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Premier pas dans le cas M=cst. On va regarder quelles sont les contraintes à respecter pour que LTB est Schwarzschild correspondent.

    On a d'un côté la métrique de Schwarzschild:



    De l'autre la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi:



    Laissons de côté le terme en . La métrique LTB peut se réécrire :



    La correspondance avec la métrique de Schwarzschild revient donc à avoir :



    On développe :



    On regroupe les termes :



    On met tout sur le même dénominateur :



    On a l'équation d'évolution , donc :



    On peut donc factoriser :



    Ce qui donne l'expression suivante pour dt :



    Ou encore :



    On a donc :



    Pour que la correspondance soit valide, il faut voir dans quelles conditions (sur M, E, A...) on a bien :



    ou, autre façon de le dire, dans quelles conditions on a bien

    A suivre

    m@ch3
    Dernière modification par mach3 ; 16/12/2019 à 14h49. Motif: coquille, merci Yves
    Never feed the troll after midnight!

  28. #88
    yves95210

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Salut,

    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    On a donc :

    Jusque là, c'est bon (je n'ai pas relu tous les calculs, mais j'ai fait le développement de mon côté de manière un peu différente et j'arrive au même résultat).
    Dernière modification par mach3 ; 16/12/2019 à 14h50. Motif: correction faite

  29. #89
    mach3
    Modérateur

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Bon, il me reste à rédiger correctement et à faire la vérification, mais j'ai trouvé que la correspondance ne fonctionne que si ou , cette dernière condition étant interdite.
    Donc, à confirmer définitivement, mais on aurait bien correspondance stricte entre la géométrie de Schwarzschild et une géométrie LTB avec M constant, et cela quelque soit la forme de . On peut donc imaginer générer une infinité de variantes de systèmes de coordonnées possibles, chacun ayant pour comobiles un ensemble différent de géodésiques radiales de la géométrie de Schwarzschild. Les cas particuliers connus sont Novikov et Lemaitre. Je suis curieux de voir ce qu'on peut générer d'autre qui serait "inédit" (au moins pour nous pauvres petits autodidactes).

    A suivre

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  30. #90
    yves95210

    Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    Bon, il me reste à rédiger correctement et à faire la vérification, mais j'ai trouvé que la correspondance ne fonctionne que si ou , cette dernière condition étant interdite.
    Bon, en même temps on se doutait bien que si M est constante M' doit être nulle

    Quand à , c'est curieux : ça donne , et .

    De mon côté, j'ai dû faire une erreur quelque-part, car j'arrive bêtement à une condition . Il y aurait un -1 à la place du 3, ça me choquerait moins...

Page 3 sur 6 PremièrePremière 3 DernièreDernière

Discussions similaires

  1. Effet Ehrenfest-Tolman (La masse produit-elle de la chaleur)
    Par alovesupreme dans le forum Physique
    Réponses: 5
    Dernier message: 17/01/2019, 17h50
  2. petite précision sur la loi de Hubble-LeMaître
    Par fabio123 dans le forum Archives
    Réponses: 18
    Dernier message: 13/01/2019, 17h05
  3. Lemaitre Vs Hubble
    Par atrahasis dans le forum Archives
    Réponses: 23
    Dernier message: 04/05/2011, 07h22
  4. Mort d'Herman Bondi
    Par mtheory dans le forum Actualités
    Réponses: 4
    Dernier message: 19/09/2005, 17h44
  5. Essais de cosmologie : Friedmann et Lemaître
    Par deep_turtle dans le forum Lectures scientifiques
    Réponses: 4
    Dernier message: 10/06/2005, 23h55