Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

[yves95210]

C'est bon :

load("ctensor");
dim:3;
cframe_flag:false;
ct_coords:[r,theta,phi];
depends([A,E],r);
lg:matrix([diff(A,r)^2/(1+2*E), 0, 0], [0, A^2, 0], [0, 0, (A*sin(theta))^2]);
cmetric(false);
scurvature();

donne bien
-----

[yves95210]

Bon, maintenant qu'on sait qu'on peut relier la métrique LTB au formalisme 3+1 de la RG (et que cette fois je ne m'étais pas planté), voici la démarche complète :






Les coordonnées spatiales des hypersurfaces à constant sont des "coordonnées gaussiennes normales". En notant la métrique de ces hypersurfaces, leur tenseur de courbure extrinsèque et leur tenseur de Ricci,



[Cf. le cours d'E. Gourgoulhon : "3+1 Formalism and Bases of Numerical Relativity", chapitre 4: 3+1 decomposition of Einstein equation, section 4.4.2: Analysis within Gaussian normal coordinates.]

Les seules composantes non nulles de sont




Alors






D'où

[yves95210]

Au passage, je me suis rendu compte que j'avais raconté des c...ries dans le message #21 :

On peut effectivement écrire l'équation suivante :

où le taux d'expansion (du volume), le taux de cisaillement. Ces deux taux étant définis à partir du tenseur de courbure extrinsèque ou du tenseur d'expansion (le même au signe près) par

où est la 3-métrique de l'hypersurface, est le tenseur de cisaillement, sans trace, et .

Mais, contrairement à ce que j'avais écrit, dans le cas présent n'est pas nul. Raison pour laquelle j'arrivais à un résultat faux...
Et c'est évident, puisque le volume élémentaire ne se déforme pas de la même manière suivant la direction radiale d'une part et les deux directions orthoradiales d'autre part.

##

[mach3]

Même en simplifiant ça ne donne pas le bon résultat, mais dans ton code tu as oublié le ^2 sur diff(A,r).

Ho! quel boulet!

[yves95210]

Ho! quel boulet!

Mais non ! J'ai bien compris que c'était juste pour m'obliger à me servir de maxima

Et tu avais raison, ça peut rendre de sacrés services (à condition d'avoir des exemples de code comme le tien, parce qu'en partant de zéro ça risque de demander du temps pour assimiler le langage. Mais maintenant que j'ai compris cet exemple, j'aurai définitivement la flemme de calculer les tenseurs de la RG à la main...).

[yves95210]

Il me reste un petit (?) problème à résoudre, à propos des équations que j'avais trouvées dans le papier de Buchert (cf. message #21).

où est le scalaire de Ricci de l'hypersurface spatiale, le taux d'expansion (du volume), le taux de cisaillement. Ces deux taux étant définis à partir du tenseur de courbure extrinsèque ou du tenseur d'expansion (le même au signe près) par

où est la 3-métrique de l'hypersurface, est le tenseur de cisaillement, sans trace, et .

Quand j'essaie de rapprocher ça de mon équation...

... il y a un truc qui ne colle pas.

J'ai calculé de deux manières différentes, avec le même résultat (heureusement), donc je suis sûr de mon coup. Je ne mets ici que l'un des deux calculs, j'ai déjà donné l'autre (taux d'accroissement du volume calculé à partir du déterminant de la métrique et de sa dérivée par rapport à t).



J'ai calculé les composantes . Evidemment seules les trois composantes diagonales sont non nulles. Mais quand je calcule , je trouve finalement 0.

Avec ça, je ne vois pas comment on peut avoir

à moins que le deuxième terme entre parenthèses, de signe négatif, soit égal à , ce qui me paraît bizarre puisqu'il n'y apparaît pas de terme en .

Je n'imagine pas un instant qu'il y a une erreur dans l'équation de Buchert. Quant à la mienne, elle conduit bien à la formule correcte pour le scalaire de Ricci 3D...
Donc ça me tracasse - d'autant plus que j'aime bien la formulation de cette équation à l'aide du taux d'expansion (du volume élémentaire) et du taux de cisaillement. Bref, j'aimerais bien comprendre !

[yves95210]

J'ai calculé les composantes . Evidemment seules les trois composantes diagonales sont non nulles. Mais quand je calcule , je trouve finalement 0.

Une précision : en calculant la trace de , soit , je trouve bien 0. Malgré les apparences, il s'agit bien d'un "trace-free tensor" comme le dit Buchert.

[yves95210]

Salut,

Un scoop : je m'étais encore planté

J'avais oublié de mettre des termes au carré dans le calcul de . J'ai repris le calcul ce matin, beaucoup plus laborieux du coup. Et, miracle (attendu) : n'est pas nul. J'avais donc bien raison hier en disant "c'est évident, puisque le volume élémentaire ne se déforme pas de la même manière suivant la direction radiale d'une part et les deux directions orthoradiales d'autre part".

Je récapitule les résultats (et pour ceux qui voudraient vérifier les calculs, je les joints en pdf) :




Avec ça, on arrive facilement à


et en utilisant les expressions ci-dessus dans mon équation


je retrouve bien celle du papier de Buchert :

Me voilà rassuré

[yves95210]

et en utilisant les expressions ci-dessus dans mon équation


je retrouve bien celle du papier de Buchert :

Et voilà comment on passe d'un sujet à l'autre : ce n'était pas le but de ce fil ni le mien en y participant, mais tout ceci va me motiver à remettre en chantier mon "toy-model" de cosmologie non homogène, basé sur la métrique LTB pour la description de l'évolution des zones de sous- et sur-densités depuis l'époque du CMB, et sur la procédure de Buchert pour l'établissement d'équations moyennes "à la Friedmann" à grande échelle.

Pour cela j'avais besoin de connaître les trois scalaires "locaux" , et , et jusqu'à présent je ne savais calculer que .

Et, au passage, la discussion m'a aussi permis de me rendre compte que le fait d'imposer est probablement incompatible avec les conditions initiales du modèle. Cf. les questions que je (me) pose dans le nouveau fil que j'ai ouvert - histoire d'éviter de prolonger le hors-sujet ici.

[mach3]

Salut,

Une synthèse partielle du cas M=0

Repartons de l'expression de la métrique :



Avec A tel que , et E tel que .

L'équation d'évolution est , M fonction croissante de r.

On s'intéresse ici au cas où , on a donc (ce qui implique ) et la métrique s'écrit :



En réarrangeant les termes on peut réécrire la métrique :



démo :

 Cliquez pour afficher

On montre ensuite que , avec t un champ scalaire, ce qui permet d'écrire la métrique comme :



démo :

 Cliquez pour afficher

On va simplement montrer que la dérivée extérieure de la 1-forme s'annule, ce qui prouvera que cette 1-forme est bien la dérivée extérieure d'un champ scalaire (rappel, pour un champ scalaire t, on a )

Rappelons que :


Ce qui donne les relations utiles :



Ensuite développons :

On reconnait ainsi la métrique de Minkowski en coordonnées sphériques. Fixer le paramètre M à 0 dans la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi mène donc automatiquement à la métrique de Minkowski, et on décrit alors un espace-temps plat et vide.

On va maintenant s'intéresser aux différentes solutions de ce cas (on considère et fixes dans ce qui suit). On a :



démo

 Cliquez pour afficher

, donc
, donc

et donc :
qui est la vitesse radiale dans les coordonnées de Minkowski sphériques, associé à une rapidité , donc et

démo

 Cliquez pour afficher

On peut donc réécrire et en fonction de et :


démo

 Cliquez pour afficher

On a la relation :
On peut la réécrire :

ou, d'une façon plus symétrique et évocatrice :




Pour un r donné, la vitesse radiale dans les coordonnées de Minkowski est donc constante : il s'agit d'un mouvement rectiligne uniforme. r étiquette des comobiles (et c'est ce qu'on lui demande). De son côté, est le temps propre de ces comobiles. On considère donc un ensemble de droites (ou au moins de segments) de genre temps, chacune portant une étiquette r. Chaque droite est paramètrée par , le temps propre le long le long de la droite et possède donc une équation paramétrique :


avec l'angle hyperbolique entre la droite r et l'axe A=0, et les coordonnées de l'évènement choisi comme origine sur la droite r

Ces équations paramétriques sont contraintes, et étant fortement liées l'une à l'autre pour satisfaire les expressions de dt et dA. C'est ce dernier point qui reste à explorer pour clore l'étude du cas M=0

m@ch3

[mach3]

Ces équations paramétriques sont contraintes, et étant fortement liées l'une à l'autre pour satisfaire les expressions de dt et dA. C'est ce dernier point qui reste à explorer pour clore l'étude du cas M=0

Donc, on a



Si on différencie, on a :







Or on sait que :



(au passage, c'est une transformation de Lorentz locale de la base vers la base , cette dernière n'étant pas holonomique, joli non?)

Donc




Ce qui donne :



Je l'avais déjà mentionné il y a quelques semaines, mais je le remets au propre pour étudier les solutions possibles.

A suivre

m@ch3

[yves95210]

Salut,

Ce qui donne :

Bon. Alors, sauf erreur de ma part,



et, étant constante (indépendante de t),



En faisant tendre t vers 0 à r constant, on obtient



Les seules solution sont donc ou . La première est sans intérêt.

La deuxième impose que soit indépendant de r, ainsi que puisque .

[mach3]

Il doit y avoir une faille dans ta démonstration, car j'ai trouvé bien plus de solutions que cela, mais je ne la trouve pas.

Voici les solutions que j'ai trouvée pour l'instant (j'illustrais plus tard par des schémas) :


(K et L des constantes)













Toute combinaison linéaire de ces 5 solutions est également solution, et on doit pouvoir en trouver encore d'autres, mais je pense que l'exhaustivité n'est ni possible, ni souhaitable.

m@ch3

[yves95210]

Il doit y avoir une faille dans ta démonstration, car j'ai trouvé bien plus de solutions que cela, mais je ne la trouve pas.

Oui. J'ai oublié que

[yves95210]

Voici les solutions que j'ai trouvée pour l'instant (j'illustrais plus tard par des schémas) :


(K et L des constantes)




(...)

La première solution est celle sur laquelle j'étais tombé grâce (?) à mon erreur...

Je me suis un peu amusé avec le second ( ). Voilà ce que ça donne, si je ne me suis pas de nouveau planté...




D'autre part,

d'où

et


Au passage ça donne


où est une fonction "qui va bien" (continue, croissante, dérivable...)
Donc


Mais on a aussi

où est une constante quelconque. D'où finalement

[yves95210]

D'où finalement

Et je viens de m'apercevoir que ça ressemble comme deux gouttes d'eau aux équations que tu avais données dans ton message d'hier. Bref, j'ai encore tourné en rond pour pas grand'chose
Au moins ça prouve que je suis parfois capable de faire un calcul (même inutile) sans me planter...

[mach3]

Les deux premier cas sont des croisement de tous les comobiles en un unique couple t,A.

La première solution (avec des constantes) est simplement le décalage de l'évènement de croisement suivant t et A, ou plutôt de la sphère de croisement, car lorsque le croisement à lieu en A différent de 0, le point de croisement est une sphère de rayon A.
Changer le t de croisement ne change rien, c'est juste un changement de l'origine de t. Par contre changer le A du croisement produit des changements.

La seconde solution est le décalage du paramètre tau : le croisement ne se produit pas pour tau=0 mais pour tau=-1. En multipliant par une constante arbitraire, on peut decaler la valeur de tau au croisement. Cela n'engendre pas de changement autre que decaler l'origine de tau : le croisement s'effectue toujours en t=A=0.

Les trois autres sont plus bizarres... Tous les comobiles ne se croisent pas en un unique événement. Ce sera plus clair avec des graphiques. Peut-être ce soir.

m@ch3

[mach3]

Voici quelques graphiques dans des repère A,t qui illustrent les champs scalaires et des différentes solutions.

D'abord des solutions avec point d'intersection unique

Solution de base :



LTB M=0 zero.png

Solutions avec ou constantes :



LTB M=0 t0.png
LTB M=0 A0+.png
LTB M=0 A0-.png

Solution décalant la valeur de à l'intersection :



LTB M=0 cosh sinh.png

m@ch3

[mach3]

Passons maintenant aux solutions "bizarres". Celles où le point d'intersection n'est pas unique. Pour certaines d'entre-elles j'ai réalisé plusieurs vue pour bien montrer l'allure générale.

Solution



LTB M=0 ln cosh id.png
LTB M=0 ln cosh id-2.png

Solution



LTB M=0 id ln sinh.png

Solution



LTB M=0 cosh² coshsinh+id.png
LTB M=0 cosh² coshsinh+id-2.png

Aucune idée de si ce sera utile ou pas, mais au moins on sait que ce genre de trucs existe.
Il me reste encore à formaliser la "détection" de la présence d'une singularité de coordonnée.

m@ch3

[yves95210]

Voici quelques graphiques dans des repère A,t qui illustrent les champs scalaires et des différentes solutions.

D'abord des solutions avec point d'intersection unique

En fait (et heureusement) les solutions avec t₀ ou A₀ donnent le même graphique que la solution de base à une translation près suivant t ou suivant A. Et la solution avec une valeur de tau non nulle à l'intersection donne encore le même graphique: il est simplement tronqué, les demi-lignes d'univers (iso-eta) démarrant à tau=1.
Bref c'est du Minkowski classique, avec la représentation du temps propre (les iso-tau) des objets parcourant chaque géodésique.

[yves95210]

Passons maintenant aux solutions "bizarres". Celles où le point d'intersection n'est pas unique. Pour certaines d'entre-elles j'ai réalisé plusieurs vue pour bien montrer l'allure générale.

Bon, là c'est plus original..

Aucune idée de si ce sera utile ou pas, mais au moins on sait que ce genre de trucs existe.

[yves95210]

Et la solution avec une valeur de tau non nulle à l'intersection donne encore le même graphique: il est simplement tronqué, les demi-lignes d'univers (iso-eta) démarrant à tau=1.

Pardon : à t=1.

[mach3]

Les équations suivantes :




permettent le changement de coordonnées du système ,r vers le système t,A. A chaque couple ,r, on doit trouver un unique couple t,A. Mais l'inverse n'est pas forcément vrai : à un couple t,A pourrait correspondre plusieurs couples ,r, c'est ce qu'on appelle une singularité de coordonnée (exemple du pole nord en coordonnée sphérique). Cela va se voir en inversant la matrice de passage, et en particulier, en calculant le déterminant de cette matrice de passage. Si ce déterminant est nul, il y a singularité de coordonnée.

Calculons ce déterminant dans notre cas :





Si est constant, le déterminant s'annule pour : c'est l'unique évènement où toutes les droites se croisent.

Si , on a , donc :

Il s'annule si , là encore, c'est l'unique évènement où toutes les droites se croisent.

Par contre, si , alors , donc :

Il s'annule si . Ce n'est plus un unique évènement qui est concerné.

Cette fois-ci je pense avoir fait le tour, plus qu'à boucler la synthèse et on passe, enfin, à M=cst, qui va être beaucoup plus amusant.

m@ch3

[mach3]

Variante en utilisant le coefficient de la métrique.

Si s'annule, l'expression de la métrique est singulière. Ce terme peut s'écrire :




Donc on a singularité de coordonnées si :



On retrouve les même résultats qu'au post précédent :

Si est constant, le coefficient de la métrique s'annule pour : c'est l'unique évènement où toutes les droites se croisent.

Si , on a , donc :

là encore, c'est l'unique évènement où toutes les droites se croisent.

Par contre, si , alors , donc :

On avait trouvé avec le déterminant, mais on n'avait pas pensé à factoriser par , ce qui donne bien .

m@ch3

[yves95210]

Bonsoir,

Je viens de m'apercevoir que l'article de Hermann Bondi (1947) est disponible en ligne (et téléchargeable en pdf en cliquant sur le bouton imprimer) :
Spherically symmetrical models in general relativity

Je ne l'ai pas encore lu mais ça devrait être intéressant...

[mach3]

Synthèse finale sur le cas M=0

Partie 1 : solution générale

Repartons de l'expression de la métrique :



Avec A tel que , et E tel que .

L'équation d'évolution est , M fonction croissante de r.

On s'intéresse ici au cas où , on a donc (ce qui implique ).
On note que cela peut se réécrire , ce qui rappelle l'énergie cinétique classique.

La métrique s'écrit :



En réarrangeant les termes on peut réécrire la métrique :



démo :

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On montre ensuite que , avec t un champ scalaire, ce qui permet d'écrire la métrique comme :



démo :

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On va simplement montrer que la dérivée extérieure de la 1-forme s'annule, ce qui prouvera que cette 1-forme est bien la dérivée extérieure d'un champ scalaire (rappel, pour un champ scalaire t, on a )

Rappelons que :


Ce qui donne les relations utiles :



Ensuite développons :

On reconnait ainsi la métrique de Minkowski en coordonnées sphériques. Fixer le paramètre M à 0 dans la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi mène donc automatiquement à la métrique de Minkowski, et on décrit alors un espace-temps plat et vide.

On va maintenant s'intéresser aux différentes solutions de ce cas (on considère et fixes dans ce qui suit). On a :



démo

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, donc
, donc

et donc :
qui est la vitesse radiale dans les coordonnées de Minkowski sphériques, associé à une rapidité , donc et

démo

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On peut donc réécrire et en fonction de et :


démo

 Cliquez pour afficher

On a la relation :
On peut la réécrire :

ou, d'une façon plus symétrique et évocatrice :




c'est une transformation de Lorentz locale de la base vers la base , cette dernière n'étant pas holonomique.

On peut proposer la solution générique suivante :




avec comme contrainte .

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Si on différencie, on a :




Par comparaison avec la transformation de Lorentz locale ci-dessus, on obtient :






Ce qui donne :

on aura

, et , sont des fonctions de r en toute généralité, mais peuvent être constantes.

Les lignes de r donné sont des droites, des mouvements rectilignes uniformes. Ce sont les lignes d'univers de comobiles étiquetés par r (ainsi que par et ). De son côté, est le temps propre de ces comobiles. On considère donc un ensemble de droites (ou au moins de segments) de genre temps, chacune portant une étiquette r et paramètrée par .
l'angle hyperbolique entre la droite r et l'axe A=0, et les coordonnées de l'évènement choisi comme origine sur la droite r. Dans le cas où elle n'est pas constante, il semble raisonnable d'imposer que soit une fonction monotone de r : en effet, il est souhaitable que chaque comobile porte une valeur unique de r (,).

Partie 2 : exemples de solutions

Intéressons-nous à la contrainte .

On peut choisir arbitrairement , prendre sa dérivée, la multiplier par et calculer la primitive pour obtenir le correspondant. Si on souhaite que ait une expression analytique, il faut bien choisir .

constante

Dans le cas où est une constante, peut être une fonction monotone quelconque de r et on aura donc simplement . On note que cette fonction de r n'a pas tellement d'importance, la remplacer par une autre fonction correspond à un simple ré-étiquetage des comobiles.

Si est nul, est une constante. Dans ce cas les comobiles sont simplement des immobiles par rapport à la droite A=0, on retombe en fait sur la métrique de Minkowski en coordonnées sphériques.

Si est non nul, les comobiles ont tous la même vitesse radiale constante. Ils sont synchronisés le long d'hypersurfaces partout orthogonales aux lignes d'univers des comobiles, hypersurfaces qui sont des cônes sphériques.

(graphes à venir)

fonction de r

Voici quelques exemples de couples , parmi une infinité possible dans le cas où est une fonction de r :


(K et L des constantes)













(graphes à venir, impossible d'insérer plus de 5 pièces jointes, donc montage nécessaire, se référer aux posts 78 et 79 en attendant)

Toute combinaison linéaire de ces 5 couples est également valide.

Ces cas présentent une singularité de coordonnée, qui peut être caractérisée en recherchant les conditions qui annulent le 2e coefficient de la métrique :

La condition d'annulation est :


m@ch3

[mach3]

Premier pas dans le cas M=cst. On va regarder quelles sont les contraintes à respecter pour que LTB est Schwarzschild correspondent.

On a d'un côté la métrique de Schwarzschild:



De l'autre la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi:



Laissons de côté le terme en . La métrique LTB peut se réécrire :



La correspondance avec la métrique de Schwarzschild revient donc à avoir :



On développe :



On regroupe les termes :



On met tout sur le même dénominateur :



On a l'équation d'évolution , donc :



On peut donc factoriser :



Ce qui donne l'expression suivante pour dt :



Ou encore :



On a donc :



Pour que la correspondance soit valide, il faut voir dans quelles conditions (sur M, E, A...) on a bien :



ou, autre façon de le dire, dans quelles conditions on a bien

A suivre

m@ch3

[yves95210]

Salut,

On a donc :

Jusque là, c'est bon (je n'ai pas relu tous les calculs, mais j'ai fait le développement de mon côté de manière un peu différente et j'arrive au même résultat).

[mach3]

Bon, il me reste à rédiger correctement et à faire la vérification, mais j'ai trouvé que la correspondance ne fonctionne que si ou , cette dernière condition étant interdite.
Donc, à confirmer définitivement, mais on aurait bien correspondance stricte entre la géométrie de Schwarzschild et une géométrie LTB avec M constant, et cela quelque soit la forme de . On peut donc imaginer générer une infinité de variantes de systèmes de coordonnées possibles, chacun ayant pour comobiles un ensemble différent de géodésiques radiales de la géométrie de Schwarzschild. Les cas particuliers connus sont Novikov et Lemaitre. Je suis curieux de voir ce qu'on peut générer d'autre qui serait "inédit" (au moins pour nous pauvres petits autodidactes).

A suivre

m@ch3

[yves95210]

Bon, il me reste à rédiger correctement et à faire la vérification, mais j'ai trouvé que la correspondance ne fonctionne que si ou , cette dernière condition étant interdite.

Bon, en même temps on se doutait bien que si M est constante M' doit être nulle

Quand à , c'est curieux : ça donne , et .

De mon côté, j'ai dû faire une erreur quelque-part, car j'arrive bêtement à une condition . Il y aurait un -1 à la place du 3, ça me choquerait moins...