Formalisme tensoriel en relativité restreinte:

**Zefram Cochrane** · 03/12/2019, 09h16

Bonjour,
je suis en train de tenter de sauter le gap entre la RR et la RG et donc d'aborder le calcul tensoriel; j'aurais plein de question à poser.
Avant toute chose , peut on comment faire une matrice carrée en LATEX ; par exemple
$\text{[math]}$
Merci d'avance pour votre aide.
Cordialement,
Zefram
.
P.S J'ai jeté mon dévolu sur gravitation relativiste de Rémi Hakim.

**Deedee81** · 03/12/2019, 09h59

Salut,

Envoyé par Zefram Cochrane

Avant toute chose , peut on comment faire une matrice carrée en LATEX ; par exemple

Et même pas carrée

Voir : https://forums.futura-sciences.com/f...e-demploi.html
.

Envoyé par Zefram Cochrane

P.S J'ai jeté mon dévolu sur gravitation relativiste de Rémi Hakim.

Je viens de jeter un oeil, il ne va pas très loin mais pour une introduction il a l'air complet et très bien fait.

**mach3** · 03/12/2019, 10h07

tu peux regarder ici : https://forums.futura-sciences.com/a...e-demploi.html

il y a un exemple.

J'en donne un autre (la notation || est celle utilisée dans le MTW )

\left \| \eta_{\mu\nu}\right \| =\left \| \array{1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1}\right \|

$\text{[math]}$

m@ch3

**Zefram Cochrane** · 03/12/2019, 13h34

Envoyé par mach3

tu peux regarder ici : https://forums.futura-sciences.com/a...e-demploi.html

il y a un exemple.

J'en donne un autre (la notation || est celle utilisée dans le MTW )

\left \| \eta_{\mu\nu}\right \| =\left \| \array{1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1}\right \|

$\text{[math]}$

m@ch3

Merci vous deux pour le lien.
Commençons ( je mets le n° de l'équation du bouquin en ref) :
-1 - les indices:
Pour $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ désigne l'indice en ligne et $\text{[math]}$ en colonne ou inversement?
.
-2- J'ai un problème avec $\text{[math]}$ (2.26)
.
Quand je regarde l'équation 2.29 je vois :
$\text{[math]}$ (2.29)
.
Pour moi L est défini par : $\text{[math]}$
Est-ce correct?
Zefram
P.S J'aurais d'autres questions à poser mais j'y reviendrais plus tard.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Deedee81** · 03/12/2019, 14h29

Envoyé par Zefram Cochrane

$\text{[math]}$ désigne l'indice en ligne et $\text{[math]}$ en colonne ou inversement?

Le premier, ligne/colonne, enfin selon la convention habituelle (je suis sûr qu'il doit y avoir des auteurs qui suivent une autre convention, mais ça doit être rare. Contrairement à d'autres conventions).

Envoyé par Zefram Cochrane

Pour moi L est défini par : $\text{[math]}$

Il ne donne pas la relation pour bêta (en fonction de theta, ou l'inverse) ? Car oui, la règle que je connais est la même que toi mais l'auteur pourrait avoir une convention différente (suffit de changer le signe de theta !!!)

**mach3** · 03/12/2019, 14h44

Attention tout d'abord à ne pas confondre les objets mathématiques "tenseur" et "matrice". On peut représenter les tenseurs d'ordre 2 par des matrices, et les contractions de tenseurs vont se comporter comme les produits matriciels des matrices qui représentent ces tenseurs, mais un tenseur n'est pas une matrice, et une matrice n'est pas un tenseur.

Il y a pas mal de fils sur le sujet à lire, entre autres :

https://forums.futura-sciences.com/m...l-indices.html
https://forums.futura-sciences.com/m...e-tenseur.html
https://forums.futura-sciences.com/p...r-matrice.html
https://forums.futura-sciences.com/p...e-lorentz.html
https://forums.futura-sciences.com/m...variantes.html

Bonne lecture

En général, quand il s'agit d'une matrice, le premier indice est le numéro de ligne et le seconde le numéro de colonne. Parfois, le premier indice est mis en haut et le second en bas (donc ligne en haut, colonne en bas). Pour les matrices symétriques, pas d'importance.
Il y a plusieurs conventions pour le positionnement des indices sur les composantes d'un tenseur dans la littérature, suivant le contexte. Dans un contexte cartésien, avec la métrique euclidienne et base orthonormale donc, tous les indices sont bas car il y a identification entre les vecteurs et les formes, entre tenseurs covariants et contravariants. Dans un contexte plus général il est important de différencier les indices haut et bas, et de reporter cette différentiation quand on utilise l'écriture matricielle.
Par exemple on ne devrait pas écrire $\text{[math]}$ pour la transformation de Lorentz : c'est quelque chose qui agit sur soit un vecteur, soit la représentation d'un vecteur pour donner soit un autre vecteur, soit une autre représentation du même vecteur (ça dépend si elle est active -fabrication d'un nouveau vecteur- ou passive -obtention des coordonnées du vecteur, sa représentation, dans une nouvelle base à partir d'une autre). Mieux vaut écrire $\text{[math]}$ . Et même, mieux vaut écrire $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ son inverse pour ne pas perdre la trace de qui transforme les vecteurs de R vers R' et réciproquement.

Pour le reste je pense comme Deedee, on est censé avoir $\text{[math]}$ , mais l'argument $\text{[math]}$ est peut-être l'opposé de ce que l'on pense.

m@ch3

**Zefram Cochrane** · 03/12/2019, 16h58

-2- Problème :

Envoyé par Deedee81

Il ne donne pas la relation pour bêta (en fonction de theta, ou l'inverse) ? Car oui, la règle que je connais est la même que toi mais l'auteur pourrait avoir une convention différente (suffit de changer le signe de theta !!!)

Envoyé par mach3

Pour le reste je pense comme Deedee, on est censé avoir $\text{[math]}$ , mais l'argument $\text{[math]}$ est peut-être l'opposé de ce que l'on pense.

Pour être précis le formalisme de l'auteur est :
$\text{[math]}$ (2.26)
et
$\text{[math]}$ (2.29)

grâce à (2.26) on trouve:
$\text{[math]}$ (2.27) (effectivement il faut comprendre que téta est négatif et donc que Sh(0) aussi...., j'essaierai de voir ce que ça donne dans ma lecture du livre).
donc je retiens pour la suite :
$\text{[math]}$
Ce qui change pas mal de choses

Envoyé par mach3

Attention tout d'abord à ne pas confondre les objets mathématiques "tenseur" et "matrice". On peut représenter les tenseurs d'ordre 2 par des matrices, et les contractions de tenseurs vont se comporter comme les produits matriciels des matrices qui représentent ces tenseurs, mais un tenseur n'est pas une matrice, et une matrice n'est pas un tenseur.

Il y a pas mal de fils sur le sujet à lire, entre autres :

https://forums.futura-sciences.com/m...l-indices.html
https://forums.futura-sciences.com/m...e-tenseur.html
https://forums.futura-sciences.com/p...r-matrice.html
https://forums.futura-sciences.com/p...e-lorentz.html
https://forums.futura-sciences.com/m...variantes.html

Bonne lecture

merci, je pense que ces liens me seront utiles pour la suite

-1- Indices :

Envoyé par Deedee81

Le premier, ligne/colonne, enfin selon la convention habituelle (je suis sûr qu'il doit y avoir des auteurs qui suivent une autre convention, mais ça doit être rare. Contrairement à d'autres conventions).

Envoyé par mach3

En général, quand il s'agit d'une matrice, le premier indice est le numéro de ligne et le seconde le numéro de colonne. Parfois, le premier indice est mis en haut et le second en bas (donc ligne en haut, colonne en bas). Pour les matrices symétriques, pas d'importance.
Il y a plusieurs conventions pour le positionnement des indices sur les composantes d'un tenseur dans la littérature, suivant le contexte. Dans un contexte cartésien, avec la métrique euclidienne et base orthonormale donc, tous les indices sont bas car il y a identification entre les vecteurs et les formes, entre tenseurs covariants et contravariants. Dans un contexte plus général il est important de différencier les indices haut et bas, et de reporter cette différentiation quand on utilise l'écriture matricielle.

Merci de la précision, j'aurais pensé l'inverse.
Zefram

**Deedee81** · 04/12/2019, 07h48

Salut,

Envoyé par Zefram Cochrane

Ce qui change pas mal de choses

D'accord, ça devient en effet plus clair.

**Zefram Cochrane** · 04/12/2019, 14h06

Bonjour,
-1- INDICES

Envoyé par mach3

$\text{[math]}$ . Et même, mieux vaut écrire $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ son inverse pour ne pas perdre la trace de qui transforme les vecteurs de R vers R' et réciproquement.

Je trouve logique ta notation ( je vais la réutiliser en réécrivant les formules).
L'auteur note :
$\text{[math]}$
et son inverse :
$\text{[math]}$
Puis-je l'écrire comme suit ?
$\text{[math]}$
et son inverse :
$\text{[math]}$
.
Que veut dire l'auteur quand il dit que mathématiquement, $\text{[math]}$ est le tenseur (pseudo_) métrique de l'espace dual?

**mach3** · 04/12/2019, 14h56

Oulala...

Non, $\text{[math]}$ c'est le tenseur métrique, c'est covariant, c'est à dire que ça agit sur un couple de vecteurs, les composantes s'écrivent $\text{[math]}$ . Jamais on ne l'écrira avec un indice haut et un indice bas. C'est covariant, donc deux indices bas. Et son inverse est contravariant, il agit sur un couple de 1-formes. Ses composantes s'écrivent $\text{[math]}$ . C'est contravariant, indices bas

La transformation de Lorentz par contre, c'est un indice haut et un indice bas. Soit c'est un tenseur mixte, qui agit sur un vecteur et un 1-forme, ou qui transforme un vecteur en un autre vecteur, c'est covariant sur un indice, contravariant sur un autre, donc un indice bas, un indice haut. Soit c'est la matrice de passage d'un système de coordonnées à un autre, donc ça agit sur les représentations matricielles des vecteurs ou des 1-formes, ça transforme par exemple les coordonnées d'un vecteur dans un système en ses coordonnées dans un autre système, donc pareil un indice bas, un indice haut.

Je pense que tu as besoin d'un cours d'algèbre tensoriel... Au moins Gravitation de MTW fait le boulot de ce côté là (même si ce n'est pas très approfondi et pas hyper rigoureux, au moins on acquière les notions de tenseur sans se taper un cours en plus du bouquin), ça n'a pas l'air d'être le cas de ton bouquin (ou alors peut-être en annexes?).

m@ch3

**mach3** · 04/12/2019, 15h00

As tu bien lu ce fil qu'il me semble avoir déjà cité :

https://forums.futura-sciences.com/m...variantes.html

il y a pas mal d'élément de réponse concernant les tenseurs, l'espace dual, etc.

m@ch3

**Zefram Cochrane** · 04/12/2019, 15h06

Si, il y a les appendices A B et C avant je vais y jeter un oeuil.
A moins que je reprenne préalablement la calcul tensoriel en physique de Jean Hladick.

**Deedee81** · 04/12/2019, 15h08

Salut,

EDIT ah ben m... alors, un croisement télépathique

A noter qu'en composantes mixtes, le tenseur métrique, sous forme matricielle, est la matrice identité !!!!! Mais je suis d'avis aussi qu'il faut un peu améliorer les connaissances techniques.

Un super bon bouquin :
https://www.amazon.fr/calcul-tensori...5468429&sr=8-2

Pas trop cher et super facile à lire (avec en plus pleins d'exercices).

**Zefram Cochrane** · 04/12/2019, 15h35

Envoyé par Deedee81

Salut,

EDIT ah ben m... alors, un croisement télépathique

A noter qu'en composantes mixtes, le tenseur métrique, sous forme matricielle, est la matrice identité !!!!! Mais je suis d'avis aussi qu'il faut un peu améliorer les connaissances techniques.

Justement, à propos :
$\text{[math]}$
tandis que :
$\text{[math]}$
non?

Envoyé par Deedee81

Un super bon bouquin :
https://www.amazon.fr/calcul-tensori...5468429&sr=8-2

Je vais m'y replonger dès ce soir..

**mach3** · 04/12/2019, 16h08

Envoyé par Zefram Cochrane

Justement, à propos :
$\text{[math]}$
tandis que :
$\text{[math]}$
non?

Les transformations de Lorentz sont telles qu'elles laissent invariantes les composantes du tenseur métrique (sous-entendu dans un système de coordonnées de Lorentz, vu que c'est au passage entre ces systèmes de coordonnées que servent les transformations de Lorentz) :

$\text{[math]}$
avec $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$
et $\text{[math]}$ et et $\text{[math]}$

On constate que le machin "hybride" $\text{[math]}$ est tel que
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

ça colle avec ta première égalité.

Pour la deuxième c'est simplement le produit de la transformation de Lorentz par son inverse :
$\text{[math]}$

m@ch3

**mizambal** · 20/01/2020, 13h18

hey. j'avais trouvé ce document l'autre fois que j'ai cherché sur ce thème, peut etre ça peut te servir je le trouve bien expliqué mm si j'ai pas le temps ni envie de me lancer dans ce formalisme (et la RG aussi donc puisque c'est un pré requis il me semble) :
https://dournac.org/sciences/Tensor_Calculus.pdf
et pour plus tard _> https://dournac.org/sciences/Introdu...Relativity.pdf
ça existe aussi en ligne : https://dournac.org/sciences/tensor_calculus/index.html
attention je peux pas juger de la qualité mais demande à d'autres qui pourront te donner leur avis

(de toute evidence c'est libre de droit puisque c'est l'auteur qui propose le telechargement)

**Zefram Cochrane** · 22/01/2020, 16h05

Je vais potasser les docs, merci...

Formalisme tensoriel en relativité restreinte:

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