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Formalisme tensoriel en relativité restreinte:



  1. #1
    Zefram Cochrane

    Formalisme tensoriel en relativité restreinte:


    ------

    Bonjour,
    je suis en train de tenter de sauter le gap entre la RR et la RG et donc d'aborder le calcul tensoriel; j'aurais plein de question à poser.
    Avant toute chose , peut on comment faire une matrice carrée en LATEX ; par exemple

    Merci d'avance pour votre aide.
    Cordialement,
    Zefram
    .
    P.S J'ai jeté mon dévolu sur gravitation relativiste de Rémi Hakim.

    -----
    On the influence of gravitation on the propagation of light.

  2. Publicité
  3. #2
    Deedee81

    Re : Formalisme tensoriel en relativité restreinte:

    Salut,

    Citation Envoyé par Zefram Cochrane Voir le message
    Avant toute chose , peut on comment faire une matrice carrée en LATEX ; par exemple
    Et même pas carrée
    Voir : https://forums.futura-sciences.com/f...e-demploi.html
    .
    Citation Envoyé par Zefram Cochrane Voir le message
    P.S J'ai jeté mon dévolu sur gravitation relativiste de Rémi Hakim.
    Je viens de jeter un oeil, il ne va pas très loin mais pour une introduction il a l'air complet et très bien fait.
    Keep it simple stupid

  4. #3
    mach3

    Re : Formalisme tensoriel en relativité restreinte:

    tu peux regarder ici : https://forums.futura-sciences.com/a...e-demploi.html

    il y a un exemple.

    J'en donne un autre (la notation || est celle utilisée dans le MTW )

    \left \| \eta_{\mu\nu}\right \| =\left \| \array{1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1}\right \|



    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  5. #4
    Zefram Cochrane

    Re : Formalisme tensoriel en relativité restreinte:

    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    tu peux regarder ici : https://forums.futura-sciences.com/a...e-demploi.html

    il y a un exemple.

    J'en donne un autre (la notation || est celle utilisée dans le MTW )

    \left \| \eta_{\mu\nu}\right \| =\left \| \array{1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1}\right \|



    m@ch3
    Merci vous deux pour le lien.
    Commençons ( je mets le n° de l'équation du bouquin en ref) :
    -1 - les indices:
    Pour , désigne l'indice en ligne et en colonne ou inversement?
    .
    -2- J'ai un problème avec (2.26)
    .
    Quand je regarde l'équation 2.29 je vois :
    (2.29)
    .
    Pour moi L est défini par :
    Est-ce correct?
    Zefram
    P.S J'aurais d'autres questions à poser mais j'y reviendrais plus tard.
    On the influence of gravitation on the propagation of light.

  6. #5
    Deedee81

    Re : Formalisme tensoriel en relativité restreinte:

    Citation Envoyé par Zefram Cochrane Voir le message
    désigne l'indice en ligne et en colonne ou inversement?
    Le premier, ligne/colonne, enfin selon la convention habituelle (je suis sûr qu'il doit y avoir des auteurs qui suivent une autre convention, mais ça doit être rare. Contrairement à d'autres conventions).

    Citation Envoyé par Zefram Cochrane Voir le message
    Pour moi L est défini par :
    Il ne donne pas la relation pour bêta (en fonction de theta, ou l'inverse) ? Car oui, la règle que je connais est la même que toi mais l'auteur pourrait avoir une convention différente (suffit de changer le signe de theta !!!)
    Keep it simple stupid

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    mach3

    Re : Formalisme tensoriel en relativité restreinte:

    Attention tout d'abord à ne pas confondre les objets mathématiques "tenseur" et "matrice". On peut représenter les tenseurs d'ordre 2 par des matrices, et les contractions de tenseurs vont se comporter comme les produits matriciels des matrices qui représentent ces tenseurs, mais un tenseur n'est pas une matrice, et une matrice n'est pas un tenseur.

    Il y a pas mal de fils sur le sujet à lire, entre autres :

    https://forums.futura-sciences.com/m...l-indices.html
    https://forums.futura-sciences.com/m...e-tenseur.html
    https://forums.futura-sciences.com/p...r-matrice.html
    https://forums.futura-sciences.com/p...e-lorentz.html
    https://forums.futura-sciences.com/m...variantes.html

    Bonne lecture

    En général, quand il s'agit d'une matrice, le premier indice est le numéro de ligne et le seconde le numéro de colonne. Parfois, le premier indice est mis en haut et le second en bas (donc ligne en haut, colonne en bas). Pour les matrices symétriques, pas d'importance.
    Il y a plusieurs conventions pour le positionnement des indices sur les composantes d'un tenseur dans la littérature, suivant le contexte. Dans un contexte cartésien, avec la métrique euclidienne et base orthonormale donc, tous les indices sont bas car il y a identification entre les vecteurs et les formes, entre tenseurs covariants et contravariants. Dans un contexte plus général il est important de différencier les indices haut et bas, et de reporter cette différentiation quand on utilise l'écriture matricielle.
    Par exemple on ne devrait pas écrire pour la transformation de Lorentz : c'est quelque chose qui agit sur soit un vecteur, soit la représentation d'un vecteur pour donner soit un autre vecteur, soit une autre représentation du même vecteur (ça dépend si elle est active -fabrication d'un nouveau vecteur- ou passive -obtention des coordonnées du vecteur, sa représentation, dans une nouvelle base à partir d'une autre). Mieux vaut écrire . Et même, mieux vaut écrire et son inverse pour ne pas perdre la trace de qui transforme les vecteurs de R vers R' et réciproquement.

    Pour le reste je pense comme Deedee, on est censé avoir , mais l'argument est peut-être l'opposé de ce que l'on pense.

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

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  10. #7
    Zefram Cochrane

    Re : Formalisme tensoriel en relativité restreinte:

    -2- Problème :

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Il ne donne pas la relation pour bêta (en fonction de theta, ou l'inverse) ? Car oui, la règle que je connais est la même que toi mais l'auteur pourrait avoir une convention différente (suffit de changer le signe de theta !!!)
    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    Pour le reste je pense comme Deedee, on est censé avoir , mais l'argument est peut-être l'opposé de ce que l'on pense.
    Pour être précis le formalisme de l'auteur est :
    (2.26)
    et
    (2.29)

    grâce à (2.26) on trouve:
    (2.27) (effectivement il faut comprendre que téta est négatif et donc que Sh(0) aussi...., j'essaierai de voir ce que ça donne dans ma lecture du livre).
    donc je retiens pour la suite :

    Ce qui change pas mal de choses

    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    Attention tout d'abord à ne pas confondre les objets mathématiques "tenseur" et "matrice". On peut représenter les tenseurs d'ordre 2 par des matrices, et les contractions de tenseurs vont se comporter comme les produits matriciels des matrices qui représentent ces tenseurs, mais un tenseur n'est pas une matrice, et une matrice n'est pas un tenseur.

    Il y a pas mal de fils sur le sujet à lire, entre autres :

    https://forums.futura-sciences.com/m...l-indices.html
    https://forums.futura-sciences.com/m...e-tenseur.html
    https://forums.futura-sciences.com/p...r-matrice.html
    https://forums.futura-sciences.com/p...e-lorentz.html
    https://forums.futura-sciences.com/m...variantes.html

    Bonne lecture
    merci, je pense que ces liens me seront utiles pour la suite



    -1- Indices :

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Le premier, ligne/colonne, enfin selon la convention habituelle (je suis sûr qu'il doit y avoir des auteurs qui suivent une autre convention, mais ça doit être rare. Contrairement à d'autres conventions).
    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    En général, quand il s'agit d'une matrice, le premier indice est le numéro de ligne et le seconde le numéro de colonne. Parfois, le premier indice est mis en haut et le second en bas (donc ligne en haut, colonne en bas). Pour les matrices symétriques, pas d'importance.
    Il y a plusieurs conventions pour le positionnement des indices sur les composantes d'un tenseur dans la littérature, suivant le contexte. Dans un contexte cartésien, avec la métrique euclidienne et base orthonormale donc, tous les indices sont bas car il y a identification entre les vecteurs et les formes, entre tenseurs covariants et contravariants. Dans un contexte plus général il est important de différencier les indices haut et bas, et de reporter cette différentiation quand on utilise l'écriture matricielle.
    Merci de la précision, j'aurais pensé l'inverse.
    Zefram
    Dernière modification par Zefram Cochrane ; 03/12/2019 à 17h01.
    On the influence of gravitation on the propagation of light.

  11. #8
    Deedee81

    Re : Formalisme tensoriel en relativité restreinte:

    Salut,

    Citation Envoyé par Zefram Cochrane Voir le message
    Ce qui change pas mal de choses
    D'accord, ça devient en effet plus clair.
    Keep it simple stupid

  12. #9
    Zefram Cochrane

    Re : Formalisme tensoriel en relativité restreinte:

    Bonjour,
    -1- INDICES
    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    . Et même, mieux vaut écrire et son inverse pour ne pas perdre la trace de qui transforme les vecteurs de R vers R' et réciproquement.
    Je trouve logique ta notation ( je vais la réutiliser en réécrivant les formules).
    L'auteur note :

    et son inverse :

    Puis-je l'écrire comme suit ?

    et son inverse :

    .
    Que veut dire l'auteur quand il dit que mathématiquement, est le tenseur (pseudo_) métrique de l'espace dual?
    On the influence of gravitation on the propagation of light.

  13. #10
    mach3

    Re : Formalisme tensoriel en relativité restreinte:

    Oulala...

    Non, c'est le tenseur métrique, c'est covariant, c'est à dire que ça agit sur un couple de vecteurs, les composantes s'écrivent . Jamais on ne l'écrira avec un indice haut et un indice bas. C'est covariant, donc deux indices bas. Et son inverse est contravariant, il agit sur un couple de 1-formes. Ses composantes s'écrivent . C'est contravariant, indices bas

    La transformation de Lorentz par contre, c'est un indice haut et un indice bas. Soit c'est un tenseur mixte, qui agit sur un vecteur et un 1-forme, ou qui transforme un vecteur en un autre vecteur, c'est covariant sur un indice, contravariant sur un autre, donc un indice bas, un indice haut. Soit c'est la matrice de passage d'un système de coordonnées à un autre, donc ça agit sur les représentations matricielles des vecteurs ou des 1-formes, ça transforme par exemple les coordonnées d'un vecteur dans un système en ses coordonnées dans un autre système, donc pareil un indice bas, un indice haut.

    Je pense que tu as besoin d'un cours d'algèbre tensoriel... Au moins Gravitation de MTW fait le boulot de ce côté là (même si ce n'est pas très approfondi et pas hyper rigoureux, au moins on acquière les notions de tenseur sans se taper un cours en plus du bouquin), ça n'a pas l'air d'être le cas de ton bouquin (ou alors peut-être en annexes?).

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  14. #11
    mach3

    Re : Formalisme tensoriel en relativité restreinte:

    As tu bien lu ce fil qu'il me semble avoir déjà cité :

    https://forums.futura-sciences.com/m...variantes.html

    il y a pas mal d'élément de réponse concernant les tenseurs, l'espace dual, etc.

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  15. #12
    Zefram Cochrane

    Re : Formalisme tensoriel en relativité restreinte:

    Si, il y a les appendices A B et C avant je vais y jeter un oeuil.
    A moins que je reprenne préalablement la calcul tensoriel en physique de Jean Hladick.
    On the influence of gravitation on the propagation of light.

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  17. #13
    Deedee81

    Re : Formalisme tensoriel en relativité restreinte:

    Salut,

    EDIT ah ben m... alors, un croisement télépathique

    A noter qu'en composantes mixtes, le tenseur métrique, sous forme matricielle, est la matrice identité !!!!! Mais je suis d'avis aussi qu'il faut un peu améliorer les connaissances techniques.

    Un super bon bouquin :
    https://www.amazon.fr/calcul-tensori...5468429&sr=8-2

    Pas trop cher et super facile à lire (avec en plus pleins d'exercices).
    Keep it simple stupid

  18. #14
    Zefram Cochrane

    Re : Formalisme tensoriel en relativité restreinte:

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Salut,

    EDIT ah ben m... alors, un croisement télépathique

    A noter qu'en composantes mixtes, le tenseur métrique, sous forme matricielle, est la matrice identité !!!!! Mais je suis d'avis aussi qu'il faut un peu améliorer les connaissances techniques.
    Justement, à propos :

    tandis que :

    non?
    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Je vais m'y replonger dès ce soir..
    On the influence of gravitation on the propagation of light.

  19. #15
    mach3

    Re : Formalisme tensoriel en relativité restreinte:

    Citation Envoyé par Zefram Cochrane Voir le message
    Justement, à propos :

    tandis que :

    non?
    Les transformations de Lorentz sont telles qu'elles laissent invariantes les composantes du tenseur métrique (sous-entendu dans un système de coordonnées de Lorentz, vu que c'est au passage entre ces systèmes de coordonnées que servent les transformations de Lorentz) :


    avec , ,
    et et et

    On constate que le machin "hybride" est tel que





    ça colle avec ta première égalité.

    Pour la deuxième c'est simplement le produit de la transformation de Lorentz par son inverse :


    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  20. #16
    mizambal

    Re : Formalisme tensoriel en relativité restreinte:

    hey. j'avais trouvé ce document l'autre fois que j'ai cherché sur ce thème, peut etre ça peut te servir je le trouve bien expliqué mm si j'ai pas le temps ni envie de me lancer dans ce formalisme (et la RG aussi donc puisque c'est un pré requis il me semble) :
    https://dournac.org/sciences/Tensor_Calculus.pdf
    et pour plus tard _> https://dournac.org/sciences/Introdu...Relativity.pdf
    ça existe aussi en ligne : https://dournac.org/sciences/tensor_calculus/index.html
    attention je peux pas juger de la qualité mais demande à d'autres qui pourront te donner leur avis
    (de toute evidence c'est libre de droit puisque c'est l'auteur qui propose le telechargement)
    Dernière modification par mizambal ; 20/01/2020 à 13h22.

  21. #17
    Zefram Cochrane

    Re : Formalisme tensoriel en relativité restreinte:

    Je vais potasser les docs, merci...
    On the influence of gravitation on the propagation of light.

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