Coordonnées contrariantes et covariantes

[corentinca]

Bonjour,
J'étudie actuellement les tenseurs d'ordre 2 , les bases duals et vecteurs covariants et contravariants.
Mais quelque chose m'échappe sur l'application des vecteurs co. et contra.

Par exemple , prenons une Base Orthonormée d'un espace vectoriel de dimension 2 . Je suis à même de vous dire que la norme d'un vecteur de l'espace = racine(x^2+ y^2).
En revanche prenons une autre Base cette fois ci non orthogonal. Je ne pourrai plus appliquer le théorème de pythagore pour obtenir la norme du vecteur. Dans ce cas je devrais construire un axe perpendiculaire à un vecteur de la base et un autre axe perpendiculaire a l'autre vecteur de la base.
Ainsi on peut désormais introduire les composantes co. et contra:

Capture d’écran 2017-12-01 à 01.50.17.png



La norme du vecteur se retrouve grâce à cette relation : Capture d’écran 2017-12-01 à 01.51.19.png


Ma question est donc la suivante :

Les coordonnées contra et co. ainsi que les base duals , ont elles été introduit afin de respecter la conservation de la norme d'un vecteur quelque soit la base choisit?
Ou , servent-elles également à autre chose?

Merci de vos réponses.
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[mach3]

Coordonnées contrariantes? Elle est très bonne celle là.

C'est marrant, ces questions me rappellent moi il y a 7 ou 8 ans.

Pas le temps de vous faire une réponse complète (et je ne suis pas le mieux placé), mais je vous suggère dans un premier temps de vous concentrer sur les notions d'espace vectoriel, d'application linéaire, de dual d'un espace vectoriel, de bases (duales ou non), sans vous occuper du tout du produit scalaire ou de Pythagore (pas d'espace euclidien, seulement un espace vectoriel). Vous réintroduirez le produit scalaire une fois que tout sera démêlé.

m@ch3

[corentinca]

J'ai regardé les définitions d'un espace vectoriel , d'un espace dual , d'une application linéaire , d'une application bilinéaire , des formes linéaires , d'un espace dual , d'une base dual et des formes bilinéaires .
Je les ai comprise au bout d'un certains temps.
Mais j'aimerai savoir en quoi les coordonnées contravariantes et covariantes sont utiles que ce soit en mathématiques ou en physique.

Pourquoi un jour as-t-on décider de les introduire? Dans quel but?
J'entends par là des exemples.

Merci de votre réponse.

[mach3]

On démarre avec un espace vectoriel V, basé sur un corps K. On considère ensuite l'ensemble des applications linéaires de V vers K, c'est à dire des applications telles que a(u+v)=a(u)+a(v) et (a+b)(u) = a(u) + b(u). On montre que cet ensemble est lui-même un espace vectoriel, qu'on va noter V*, le dual de V.

Une application linéaire de V dans K est une machine transformant un vecteur de V en un scalaire de K. Ceci est indépendant de toute notion de base ou de coordonnées, l'application de a sur le vecteur u donnera le scalaire k quoi qu'il arrive, qu'on ait choisi telle base ou telles coordonnées ou ni base ni coordonnées d'ailleurs.

Ceci étant dit, si on choisi une base de V, dont on notera les vecteurs , on pourra écrire tout vecteur de V comme une combinaison linéaire des vecteurs de cette base : (j'utilise ici la sommation implicite sur indices répétés, dite sommation d'Einstein).
On peut construire une base dans V*, dont les vecteurs (ce sont des applications linéaire de V dans K pour rappel) sont tels que , c'est à dire 1 si i=j et 0 si i j. Cette base est appelé la base duale. On pourra écrire toute application linéaire de V dans K comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base dual : .

Les applications linéaires éléments de la base dual sont des machines intéressantes : quand j'applique sur un vecteur u, j'obtiens sa i-eme coordonnée dans le système de coordonnées défini par la base formée par les vecteurs . Cela se note :

Inversement, l'application de a sur donnera la i-eme coordonnée de a dans le système de coordonnée défini par la base formée par les : .

Dans le prochain message nous parlerons des changements de base (c'est là que contravariant et covariant prennent sens), puis de la généralisation des concepts de vecteurs et d'applications linéaires : les tenseurs.

m@ch3

PS : je n'avais pas vu votre message précédent en postant cela

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Donc, suite.

Si on choisi une base B = {} pour l'espace vectoriel V sur K, il y a une base B* = {} dans l'espace dual V*, qui contient les applications linéaires de V vers K, telle que

On peut choisir une autre base dans V, B' = {}. Ces vecteurs de base peuvent s'exprimer en fonction des anciens :

Où est la j-ième coordonnée du vecteur dans la base B.

Ces forment une matrice, dite matrice de passage de B vers B'.

Cette nouvelle base B' possède elle aussi une base duale, B'* = {} qui doit être telle que . Posons une nouvelle matrice de passage :


on a :

donc Q est l'inverse de P. Le passage de B' vers B'* se fait à l'inverse du passage de B vers B*.

Si on s'intéresse aux coordonnées des vecteurs de V maintenant. On prend un vecteur u, qui se décompose dans la base B :



ou dans la base B' :



L'application linéaire donne la coordonnée i d'un vecteur dans la base B, alors que l'application linéaire donne la coordonnée i d'un vecteur dans la base B'. On a :



le coordonnées des vecteurs dans la base B sont transformés en coordonnées des vecteurs dans la base B' en utilisant la matrice de passage inverse de celle de P. C'est pour cela qu'on parle de coordonnées "contravariantes" : les coordonnées des vecteurs changent à l'inverse de la base.

Si, en revanche, on s'intéresse aux coordonnées des vecteurs de V* (les applications linéaires de V vers K donc), on constate qu'elles sont transformées par la matrice P !



On dit alors qu'elles sont "covariantes". Les coordonnées des vecteurs de V* changent de la même manière que la base de V. On parle également, pour qualifier les vecteurs du dual, de "covecteurs". Le mot "forme linéaire" ou "1-forme" est également employé.

L'application d'un covecteur ou d'une forme a sur un vecteur u, donnera toujours le même scalaire quelque soit le système de coordonnées :



Dans le prochain message, les tenseurs, promis!

m@ch3

[corentinca]

Merci de vos réponses !
J'attends avec impatience les tenseurs !
Encore merci pour le temps que vous m'accordez

[mach3]

Donc, suite (note : on utilise toujours la sommation implicite sur indices répétés).

On a donc un espace vectoriel V sur un corps K, on a construit dessus un espace vectoriel dual V*, qui contient les applications linéaires de V vers K, qu'on appelle aussi covecteurs ou formes linéaires.
On peut remarquer d'ailleurs une symétrie : l'espace vectoriel V peut être également vu comme contenant les application linéaires de V* vers K, en inversant les rôles.

On généralise cela en considérant les applications multilinéaires, c'est-à-dire les applications de VxVxVxV....V*xV*xV* vers K, autrement dit qui associent un scalaire à un n-uplet de vecteurs et de covecteurs. Le cas le plus simple est celui des applications bilinéaires de VxV vers K. On parle de formes bilinéaires. On aura quelque chose comme :

T(u,v) = k

avec T la forme bilinéaire, u et v deux vecteurs et k un scalaire.

les formes bilinéaires de VxV vers K forment un espace vectoriel, comme le font les formes linéaires de V vers K.

Regardons un peu le détail. Pour une forme linéaire a de V*, avec une base B={} dans V et une base duale B*={} dans V*, on avait remarqué que :

L'application sur le i-eme vecteur de base donne la i-eme coordonnée selon la base duale.
On a la même chose pour une forme de VxV vers K :



Sauf, que les coordonnées possèdent deux indices. On peut (et cela se voit souvent) représenter cela comme un tableau ou une matrice (mais il ne faut pas oublier que ce n'est qu'une représentation de la forme bilinéaire, dépendante du système de coordonnées de surcroit, et pas la forme bilinéaire elle-même).

Et d'une manière générale, on aura :



On peut considérer des formes bilinéaires qui nous donnent le produit de la i-ieme coordonnée de u par la j-ieme coordonnée de v dans la base B :



et réaliser que de telles formes sont en fait une base de l'espace vectoriel formé par les formes bilinéaires de VxV vers K, dans laquelle on peut tous les décomposer :



et quand la base change, il faut appliquer la matrice de passage inverse deux fois sur les et la matrice de passage directe deux fois sur les . Les coordonnées des formes bilinéaires de VxV vers K sont donc deux fois covariantes.

On pourrait disserter sur tous les exemples possibles, les bilinéaires qui vont de VxV* vers K (une fois covariante, une fois contravariante), celle qui vont de V*xV* vers K (deux fois contravariante), les trilinéaires de VxVxV vers K (trois fois covariantes), etc... Mais le mieux est de généraliser tout cela sous une seule notion, celle de tenseur : un tenseur n fois covariant et p fois contravariant, dit tenseur (p,n) et une application nxp linéaire, de V^n x V*^p vers K.
En particulier, un scalaire est un tenseur (0,0), un vecteur de V est un tenseur (1,0), un covecteur est un tenseur (0,1) et une forme bilinéaire de VxV dans K est un tenseur (0,2).

Toute relation entre tenseurs est indépendante du système de coordonnées. En effet, si j'écris la relation dans un système de coordonnées, puis que j'en change, le jeu des matrices de passages directes et inverses fait que la relation est conservée.

On peut signaler que l'on peut généraliser encore plus, car ici je me suis restreint à des tenseurs construits sur un seul espace vectoriel et son dual. On peut aussi en construire sur plusieurs espaces vectoriels genre une application bilinéaire de VxW vers K.

Dans le prochain post, on se dirigera tranquillement vers les espaces euclidiens...

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Merci mach3
Je vais pouvoir peut-être aborder quelques bouquins qui prennent la poussière dans ma bibliothèque

[mach3]

Jusqu'à maintenant, nous avons considéré un espace vectoriel (ainsi que tous les espaces vectoriels contenant des applications linéaires que cela engendre), où les notions de norme, longueur, distance, angle, etc, n'existent pas.

Pour introduire ces notions, présentes notamment en géométrie euclidienne, il faut rajouter une couche. On muni l'espace vectoriel d'une forme bilinéaire . Dans le cas de l'espace euclidien, cette forme est symétrique et définie positive, c'est à dire que:
et
si
Vu que vous semblez vous intéressez à la RG, notez au passage que dans le cas de l'espace-temps de Minkowski, la forme est dans ce cas symétrique mais indéfinie (c'est à dire qu'elle peut être positive, négative ou nulle pour un vecteur différent du vecteur nul). Notons que d'autres notations sont souvent utilisées :

Cette forme, on l'appelle produit scalaire, ou encore métrique ou tenseur métrique. A partir de cela on définit toute la géométrie (euclidienne si métrique euclidienne, minkowskienne si métrique de Minkowski, etc). Restons dans le cas d'Euclide :

-On a le carré scalaire, , qui permet de définir la norme d'un vecteur
-On a l'orthogonalité entre deux vecteurs non nuls u et v, définie par
-On a "plus qu'à" construire tout le reste de la géométrie

Nous n'avons pas encore parlé de coordonnées ici. Il nous faut les introduire. Si le système de coordonnée est "quelconque", les coordonnées du tenseur métrique vont être quelconques. Par souci pratique, on va "préferer" certains systèmes de coordonnées qui donnent une forme "sympa" au tenseur.
Dans toutes les bases dont les vecteurs ont tous pour norme "1" et sont orthogonaux entre eux, le tenseur métrique à ses coordonnées diagonales valant 1 et les autres coordonnées valant 0, autrement dit il peut être représenté par une matrice identité. On se retrouve alors avec du "connu" :



Si on change de système de coordonnées, mais que les nouvelles coordonnées sont orthonormées, les coordonnées du tenseur métrique ne changent pas. Tout reste simple. Par contre si on change pour des coordonnées non orthonormées, le tenseur métrique va prendre une "sale tête", la matrice le représentant va rester symétrique mais ne sera plus diagonale, car elle aura subit une double multiplication par la matrice de passage et cette matrice peut être non constante d'un point à l'autre de l'espace (cas des coordonnées polaire ou sphérique, où les vecteurs de base dépendent du point de l'espace).

m@ch3