Coordonnées contravariantes et covariantes.

[Curuxa]

Bonjour à tous,

Ces deux déclinaisons des coordonnées d'un vecteur me posent depuis pas mal de temps maintenant certaines difficultés de compréhension que je viens peut-être de dépasser.

Je sollicite ici votre avis critique sur la façon dont je me représente la notion.

On utilise la convention de sommation d'Einstein et on se donne un EV admettant deux bases e et f:



liées entre elles par une matrice de passage P (contenant sur sa colonne j les composantes du vecteur f_j dans la base des vecteurs e_i):

.

Si on suppose un vecteur quelconque , dont les coordonnées seraient dans la base e et dans la base f, et qu'on considère, en outre un covecteur dans le dual, comme ce covecteur se représente par un vecteur ligne (représentation de Riesz) on est contraint d'adapter les composantes de ce covecteur de façon à ce que la forme linéaire ait un résultat indépendant de la base dans laquelle est exprimée le vecteur.

Si notre covecteur appliqué à exprimé dans la base e vaut : alors, pour v exprimé dans la base f on doit avoir ...

Le passage de a_i à b_i est donc donné par car, les f^i étant des composantes contravariantes d'un vecteur, elles varient dans le sens opposé des vecteurs de base, c'est-à-dire et ainsi et on a ce que l'on cherchait.

Finalement, les coordonnées covariantes sont en fait des coordonnées dans le dual! qui varient dans le même sens que les vecteurs de la base primale! Mais qui, relativement aux vecteurs de base du dual, demeure contravariantes...

J'espère avoir été aussi clair que possible et merci d'avoir lu! Je suis encore un peu incertain par rapport à ceci (et particulièrement par rapport au fait que les coordonnées soient covariantes pour la base primale mais contra pour la base duale...) .
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[Amanuensis]

Cela paraît correct.

Une approche plus synthétique:

Soit un espace vectoriel réel de dimension fini E muni d'un produit scalaire défini (mais pas nécessairement positif) ; ce produit scalaire induit un isomorphisme entre E et son dual, , avec pour tout w,

On appelle coordonnées contravariantes d'un éléments de E les coordonnées dans une base de E.

On appelle coordonnées covariantes d'un éléments de E les coordonnées dans une base de E* de son image par cet isomorphisme.

(Tout le reste s'en déduit.)

[Curuxa]

Cela parait...Mais cela est-il?

Merci pour votre définition, elle est très claire! j'avais besoin du chemin étendu suivi dans le message 1 (principalement à partir de wikipédia) mais une vision plus synthétique est fort bienvenue.

Lorsque vous parlez d'un produit scalaire défini mais non nécessairement positif, vous faites allusion à des choses telles que la métrique de Minkowski? (ces choses que j'ai encore du mal à nommer "produit scalaire" ^^)

[Amanuensis]

Lorsque vous parlez d'un produit scalaire défini mais non nécessairement positif, vous faites allusion à des choses telles que la métrique de Minkowski? (ces choses que j'ai encore du mal à nommer "produit scalaire" ^^)

Oui. Le cas le plus usuel est le produit scalaire euclidien (métrique euclidienne), de la géométrie euclidienne, mais le principe s'applique aussi pour la métrique de Minkowski.

J'ai utilisé "produit scalaire" plutôt que "métrique" simplement parce que l'isomorphisme indiqué se définit à partir du produit scalaire, mais pour les cas en question on peut considérer que métrique et produit scalaire parlent de la même chose. Un avantage de "produit scalaire" est que cela évite le "pseudo" pour la "métrique" de Minkowski, qui n'est pas une métrique (une métrique demande "positif") ; "produit scalaire" est un poil plus neutre, mais on voit souvent imposée la condition "défini positif".

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

liées entre elles par une matrice de passage P (contenant sur sa colonne j les composantes du vecteur f_j dans la base des vecteurs e_i):

.

Attention à ce genre de notation. P ainsi définie n'est pas une "matrice de passage" mais une application linéaire (une relation linéaire entre vecteurs).

Pour une matrice de passage faut parler de composantes, par exemple:

, où w sont les composantes selon f, et v les composantes selon e, d'un même vecteur.

Dans ce cas, la colonne i de n'est pas les coordonnées de dans la base e, mais les coordonnées de dans la base f.

[J'ai mis des parenthèses autour des indices quand ils indiquent l'index d'un vecteur de base dans la base, et non l'index d'une composante de vecteur.]

Si on suppose un vecteur quelconque , dont les coordonnées seraient dans la base e et dans la base f, et qu'on considère, en outre un covecteur dans le dual, comme ce covecteur se représente par un vecteur ligne (représentation de Riesz) on est contraint d'adapter les composantes de ce covecteur de façon à ce que la forme linéaire ait un résultat indépendant de la base dans laquelle est exprimée le vecteur.

Une forme linéaire (covecteur) a toujours un résultat indépendant de la base choisie!

En fait cela définit la notion de base duale. Pour une base e donnée et une forme linéaire donnée, il existe une base (base duale) telle que les coordonnées de la forme linéaire sont telles que le résultat de la forme appliquée à un vecteur est donné par , avec les coordonnées (covariantes) du vecteur dans la base e.

Si notre covecteur appliqué à exprimé dans la base e vaut : alors, pour v exprimé dans la base f on doit avoir ...

Problème de notation entre composantes et vecteurs de base, il me semble.

Finalement, les coordonnées covariantes sont en fait des coordonnées dans le dual! qui varient dans le même sens que les vecteurs de la base primale! Mais qui, relativement aux vecteurs de base du dual, demeure contravariantes...

On peut le présenter comme cela, en faisant attention que le dernier "contravariante" suppose d'inverser les rôles entre espace vectoriel et espace dual. Mais cela capture correctement l'idée.

[invite47ecce17]

Bonjour,
Un conseil tres rapide

On utilise la convention de sommation d'Einstein et on se donne un EV admettant deux bases e et f:

Justement essaie d'ecrire plutot ce qu'il se passe dans le cas general d'un morphisme f entre deux espaces vectoriels V et V', differents, munis de bases (e) et (f). Curieusement les choses y sont plus claires. Le reste ensuite n'est qu'une application de ces regles au cas où f=1 et V=V' (mais (e) et (f) restent differentes).

[Curuxa]

Je prends bonne note de vos explications/rectifications, je les comprends globalement (un merci tout particulier pour la nuance essentielle entre matrice de passage et application linéaire, ce sont les deux mêmes matrices qui jouent des rôles fondamntalement différents, c'était à l'origine de certaines confusions chez moi) même s'il me faudra encore réfléchir sur le sujet...une sorte de malaise persiste.

Je cherche juste mtn à tenir un petit raisonnement qui me permettrait de relier tout ceci à une interprétation géométrique, le voici:

Soit v et w des vecteurs de E, on a:


où est le tenseur métrique associé à la base choisie dans E.

On considère de E* la forme associée à v qui est donc telle que:

(1)

Si est exprimé dans la base duale, ses composantes vérifient:



au vu de (1), on peut poser c'est à dire que les composantes covariantes v_i d'un vecteur v s'obtiennent en faisant et, de là, en repartant sur la définition "classique" du produit scalaire (produit des normes et cos) on peut rapidement tomber sur la distinction entre projection parallèle et projection perpendiculaire...

[Curuxa]

MiPaMa je viens de vous lire! Merci du conseil, je vais prendre le temps de digérer un peu mais je garde en mémoire la manipulation proposée.

[Amanuensis]

(...)

Tout OK

au vu de (1), on peut poser

C'est l'isomorphisme dont je parlais, la forme bilinéaire symétrique non dégénérée g ("tenseur métrique") étant une autre vision du "produit scalaire".

[invite47ecce17]

Il y a des soucis dans tes i et tes j.

Au passage, et pour enfoncer le clou sur mon conseil. Il n'y a pas de difference entre matrice de passage et matrice d'application linéaire (enfin, plus precisement le premier est un cas particulier du second), la difference en general est entre matrice et application linéaire.

Dit autrement, tu as une identification "canonique" (au meme sens que la base canonique de R^n est canonique) entre Hom_R(R^n, R^m) et Mat(m,n, R) (où le premier espace est celui des applications R-linéaires de R^n dans R^m) et si V et V' sont deux espace vectoriels de dimension n et m, alors tu as pleins d'isomorphismes entre Hom_R(V, V') et Hom_R(R^n, R^m). Le choix de matrices revient a identifier tes espaces a R^n et R^m (i.e de choisir des bases).

Une matrice de passage n'est que la matrice de l'application linéaire identité d'un espace dans lui meme.