Lagrangien (QED,QCD) et dérivée covariantes et contravariantes

[invite9f80122c]

Bonjour,

Désolé si ma question est à côté de la plaque, mais pourquoi utiliser des dérivées covariantes et contravariantes dans les lagrangiens des théories quantiques des champs ?

Est-ce à cause de coordonnées curviligne ?
Pour tenir compte d'une courbure (hors RG, c'est bizarre, non) ?

Pourquoi ne pas introduire le tenseur métrique ou et n'utiliser que les dérivées covariantes (ou contravariantes) ? Pour avoir une équation plus jolie ou y a-t-il une raison plus profonde ?

Merci

PS : si vous avez des liens pour approfondire le sujet ...
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[invite60be3959]

Bonjour,

Désolé si ma question est à côté de la plaque, mais pourquoi utiliser des dérivées covariantes et contravariantes dans les lagrangiens des théories quantiques des champs ?

Est-ce à cause de coordonnées curviligne ?
Pour tenir compte d'une courbure (hors RG, c'est bizarre, non) ?

Tout simplement parce que la notion de coordonnées covariantes et contravariantes est déjà nécessaire en relativité restreinte, et ceci afin d'exprimer une formulation covariante de lois de la physique. C'est cela que tu dois approfondir.

p.s: pas besoin d'être en QED pour le voir, c'est déjà le cas en électrodynamique classique.(formulation covariante des équations de Maxwell, etc...)

[invite9f80122c]

Tout simplement parce que la notion de coordonnées covariantes et contravariantes est déjà nécessaire en relativité restreinte, et ceci afin d'exprimer une formulation covariante de lois de la physique.

Oui, d'accord, mais on peut passer de l'une à l'autre par le tenseur métrique. Du coup il n'y aurait qu'un élément contravariant. Justement celui d'où la nécessité de définir les deux types de coordonnées vient.

Sinon pas d'autres raisons fondamentales ?

Si je remplace par est-ce que ça pose un problème quelque part (ou à quelqu'un ?) ?

Et cela pour tout ce qui est contravariant ? Particulièrement dans un lagrangien de TQC ? (ou ailleurs, mais c'est surtout ça qui m'intéresse)

[invite60be3959]

Est-ce-que tu pourrais me montrer le lagrangien qui t'as interpellé sur cette question ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite60be3959]

Déjà est-ce-que tu as compris(ou admis) le fait que ce n'est pas parce que l'on est en pas en coordonnées curvilignes, que l'on a pas besoin des coordonnées co- ou contravariantes ?

[invite9f80122c]

Déjà est-ce-que tu as compris(ou admis) le fait que ce n'est pas parce que l'on est en pas en coordonnées curvilignes, que l'on a pas besoin des coordonnées co- ou contravariantes ?

Oui, mais ma question concerne le fait de pouvoir réécrire les lagrangiens TQC, par exemple celui de QED présenté classiquement, avec le champ EM libre, l'interaction et le terme de dirac.
Et pourquoi pas généraliser à d'autres comme celui de l'interaction , ou toute autre interaction.

Je veux juste savoir si on peut remplacer les termes contravariant par des termes covariants en introduisant le tenseur métrique (son inverse en fait). Et s'il y a une raison autre que la simplicité d'écriture pour utiliser ces composantes.

Et par extension réécrire le tenseur EM en fonction du potentiel vecteur en convertissant le tout en coordonnées covariantes.

Disons que c'est pour avoir une vision plus claire des densités lagrangiennes en exprimant tout en covariant en introduisant le tenseur métrique qui serait la seule composante contravariante.

[Deedee81]

Salut,

Et s'il y a une raison autre que la simplicité d'écriture pour utiliser ces composantes.

Il n'y a pas d'autres raisons que la simplicité et la clarté.

On peut toujours tout réécrire, même en notation classique non covariantes (en séparant l'espace et le temps).

Ca peut même parfois être utile (l'électrodynamique classique ou quantique, en jauge de Coulomb, par exemple, admet une formulation plus simple dans certaines circonstance. Dans ce cas on peut n'avoir que deux composantes pour le potentiel et aucune rédondance... mais ce n'est vrai que dans un référentiel donné).

Mais les formulations covariantes + contravariantes ont l'avantage d'être générales et compactes.

[mtheory]

Bonjour,

Désolé si ma question est à côté de la plaque, mais pourquoi utiliser des dérivées covariantes et contravariantes dans les lagrangiens des théories quantiques des champs ?

Attention !

La dérivé covariante en théorie de jauge ce n'est pas une dérivé avec un symbole de Christoffell, c'est une dérivée faisant intervenir un espace fibré et la notion générale de connexion sur un espace fibré. Dérivées covariante en RG et en TQC sont deux cas particuliers mais distincts de cette notion.

J'ai pas le temps d'en dire plus

[invite60be3959]

Attention !

La dérivé covariante en théorie de jauge ce n'est pas une dérivé avec un symbole de Christoffell, c'est une dérivée faisant intervenir un espace fibré et la notion générale de connexion sur un espace fibré. Dérivées covariante en RG et en TQC sont deux cas particuliers mais distincts de cette notion.

J'ai pas le temps d'en dire plus

Oui voilà d'où doit venir la confusion. On appelle derivée covariante plusieurs choses. En TQC c'est simplement la 4-dérivée en coordonnées covariantes, c-à-d . En QED on peut définir la dérivée covariante de jauge, . Et en RG on définit la dérivée covariante .

[invite9f80122c]

Oui voilà d'où doit venir la confusion. On appelle derivée covariante plusieurs choses. En TQC c'est simplement la 4-dérivée en coordonnées covariantes, c-à-d . En QED on peut définir la dérivée covariante de jauge, . Et en RG on définit la dérivée covariante .

Merci de cette précision, je parlais de la 4-dérivée, mais ma question peut s'étendre aux autres aussi.

Merci beaucoup à tous de vos réponses !

[invite9c7554e3]

vous auriez pas un lien vers un cours sur ceci car ça m'interesse également?

merci