Petite question sur les symétries du lagrangien de QCD

[Aragorn_54]

Bonjour à tous !

J'étais entrain d'étudier les symétries du lagrangien de QCD (uniquement la partie faisant intervenir les quarks (u et d, par ailleurs) et où les masses ont été négligées) ainsi que les courants associés grâce à notre amie Emmy , lorsque je me suis posé une question (très stupide, sans doute mais bon ^^..) :

Voici mon lagrangien :



Ce que je me disais a priori, c'est que si je faisais une transformation



le lagrangien était invariant.


Seulement, il semble que cela ne soit bon que si ce que je note est le doublet u et d :

(on obtient alors le courant "nombre de baryons") (référence: Peskin - Quantum Field Theory)

mais pas si je considère cette transformation pour u ou d de manière individuelle, à savoir :
ou individuellement ?

Je voudrais donc vous demander si cela est vrai (ou peut-être est-ce que je n'ai pas bien compris ce qu'impliquait la notation Q ?).

En somme, on a le courant :
, où Q est le doublet ,
qui est conservé (dans ce modèle-ci).

Mais a-t-on les courant :
et
individuellement conservés ?

Je pensais que oui mais semble que non et je n'arrive pas à trouver une bonne raison de ne considérer que des transformations impliquant u et d ensemble.

Sauf :
- peut-être si l'astuce est cachée dans une éventuelle transformation de la dérivée covariante.
- si un changement de phase globale U(1) ne peut vraiment se faire que sur u et d ensemble (ik weet het niet).
- si la notation signifie en fait les relations pour u et d séparément (mais je m'étonnerais alors que ce courant s'appelle le courant "nombre baryonique")

Mais si l'une de ces trois raisons est la bonne, j'aimerais quand même que quelqu'un puisse me le confirmer


Je vous remercie donc d'avance pour vos réponses (et surtout vos explications ) !
MERCI !
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[Aragorn_54]

Je me permets un petit up à la suite de cette mise à jour du site !

Merci à tous ceux qui pourront m'éclairer !

[invite8ef897e4]

Bonjour,

il me semble que, puisque tu negliges la masse dans ton lagrangien, les courants vectoriel et axial sont tous les deux conserves (avant brisure spontannee de symetrie chirale, mais ce n'est pas ta question il me semble). Meme sans faire de calcul, tu vois bien que tous tes termes sont les memes dans le lagrangien que tu montres.

En principe, la notation Q sous-entends que les charges des quarks sont impliquees. Tu as alors un indice de saveur implicite dans ton courant vectoriel conserve, et effectivement, ce que tu appelles "conservation du nombre baryonique" signifie bien il me semble la conservation de chacune des saveurs individuelles. La raison pour laquelle la conservation est exprimee en utilisant les differentes saveurs ensemble est qu'en fait la symetrie d'isospin intervient de facon cruciale dans la symetrie chirale, qui est spontanement brisee par les condensats

[Aragorn_54]

Bonsoir !

Merci beaucoup pour ton intervention !

En fait, au passage, je travaille sur les axions donc je vois ce que tu veux dire avec la symétrie chirale (mais je n'entre dans les détails néanmoins : je ne saurais pas calculer l'anomalie Adler-Bell-Jackiw Oô ) .

Oui, mon problème, en fait, c'est qu'il me semble que la notation du Q pour exprimer le courant implique que (1)
(si j'ai bien compris la notation) est conservé.

Seulement, ça n'implique pas que (2)
et
soient conservés individuellement..

Or il me semble qu'on peut faire "tourner" la phase de u et de d individuellement (pourquoi ne pourrait-on pas?) et donc que ces courants devraient être conservés individuellement..

C'est donc ça mon problème.. (2) est plus contraignant que (1) mais dans le livre de Peskin (notamment), je ne trouve que l'expression (1)..

En résumé, j'ai les relations (2) conservées individuellement en faisant les calculs..
et je ne vois pas pourquoi je devrais "oublier" qu'elles sont conservées séparément pour n'en garder, somme toute, que la conservation de leur somme.
Ai-je loupé un épisode ?


Tentative d'explication Est-ce que les relations (2) sont finalement retrouvées (implicitement) car on sait bien qu'en jouant avec les phases U(1)V et SU(2)V on pourra également ne changer la phase que u ou d individuellement ?
Est-ce ce que tu voulais dire ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ef897e4]

A priori, le lagrangien que tu ecris est completement symetrique sous (tu as pris )
et c'est plus contraignant que de dire que tu peux choisir les phases de chaque saveur arbitrairement. En effet, il est clair que (2) => (1) mais que la reciproque n'est pas vraie. Neanmoins, pour la physique, dans un cas tu dis que tu ne peux pas distinguer gauche et droit pour chauque saveur, dans l'autre tu dis que QCD est caremenent indifferente de la saveur, pas juste de l'helicite. Il me semble.

[Aragorn_54]

Je veux bien, à la symétrie U(1)_V et SU(2)_V correspondent les courants nombre de baryons et d'isospin,
et

et aux symétries U(1)_A et SU(2)_A, les courants axiaux


Il y a donc bien plus de symétries que la seule symétrie U(1)V dont je parle ici.


Mais je ne comprends toujours pas vraiment pourquoi il faut absolument écrire les courants selon Q pour les symétries U(1).. :P

[Aragorn_54]

(je ne peux plus éditer mon post pour ajouter cette petite conclusion donc je refais un message..)

En fait, il y a deux possibilités :
- soit ce n'est pas obligé et il y a moyen de retrouver les courants conservés séparément en chipotant un peu les courants exprimés ci-dessus en fonction de Q.. (auquel cas, il n'y a plus de problème pour moi. (sauf de voir la combinaison qui permettrait de les retrouver)
- soit il y a une raison qui m'échappe et qui fait que ces deux courants ne sont pas individuellement conservés.. (auquel cas j'apprécierais grandement quelques explications ^^)

Quelle est la bonne explication :/?

[invite8ef897e4]

Mais je ne comprends toujours pas vraiment pourquoi il faut absolument écrire les courants selon Q pour les symétries U(1).. :P

On peut tout a fait ecrire chaque courant conserve au niveau des quarks comme tu l'as d'ailleurs fait pour chaque indice a. Dans la vie reelle neanmoins, la partie axiale n'est pas conservee, a cause de la brisure de symetrie chirale. Donc les gens ne le font pas d'habitude c'est tout.

En tout cas, c'est ce que je comprends. Peut-etre quelqu'un de plus qualifie que moi peut t'aider. Karibou Blanc ? Rincevent ? ... ?

[Aragorn_54]

Ah ok ! (j'avoue que je ne comprenais pas exactement où tu voulais en venir dans tes précédents messages ^^) Ca serait donc bien ce que je pensais à priori (il ne resterait qu'à le montrer ^^)

Merci beaucoup d'avoir pris le temps de me formuler ton avis, en tout cas; même si tu n'es pas tout à fait certain (merci de l'indiquer, d'ailleurs !).


Peut-être quelqu'un d'autre pourrait-il également me confirmer ceci, alors ?
Merci encore pour votre aide, avis ou réflexions!

[Aragorn_54]

Je me permets un dernier petit up au cas où un visiteur du soir serait à même de valider ce qui a été dit (vu que humanino n'est pas vraiment certain).

MERCI

[Aragorn_54]

Promis, j'arrête de parler tout seul

Je voulais juste donner le fin mot de l'histoire (en tout cas, pour l'instant ) au cas où quelqu'un d'autre que moi se poserait la même question.

J'ai demandé confirmation à mon promoteur.

La symétrie U(1)V peut bien être considérée pour les deux quarks u et d individuellement (V est là pour signifier Vecteur, pour signifier que la symétrie agit de la même manière sur les parties lévogyres et dextrogyre (L et R)).
On a donc bien conservation du courant pour chacune de ces deux symétries, ce qui signifie conservation du nombre de quarks u et de quarks d; nous considérons en effet le lagrangien de l'intéraction forte (voir le premier message de ce sujet) et ne parlons pas d'interaction faible (suite à laquelle le d se désintègre en u).

En somme, nous pouvons faire un changement de phase global pour u et pour d individuellement.


Cela étant, le lagrangien que nous considérons est également invariant sous une transformation SU(2)V d'isospin (qui mélange les quarks u et d ensemble). Son effet est également de changer la phase globale mais il fait intervenir des matrices de Pauli. Il est ainsi possible de "faire tourner" u et d dans des sens opposés (si nous prenons par exemple ).


De fait, considérons maintenant le doublet Q (u et d ensemble). Suite à une transformation d'isospin (avec , nous pouvons ajouter une phase exp(i alpha) à u et exp(-i alpha) à d.
Prenant maintenant une symétrie globale U(1)V agissant sur le même doublet Q avec une phase globale exp(i alpha), nous pouvons nous ramener au final à un changement de phase exp(i alpha) pour u et rien du tout pour d:
C'est à dire une transformation U(1)V uniquement pour u.


Le fait de considérer le doublet Q au lieu de u et d individuellement ne nous empêche ainsi pas d'avoir la symétrie U(1)V portant uniquement sur u ou d individuellement.

La symétrie U(1)V pour u et d individuellement n'étant pas vraie en interaction faible, on note préférentiellement ces symétries en utilisant Q.

Bien cordialement,
A. P.