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petite question sur le lagrangien en relativité



  1. #1
    gatsu

    petite question sur le lagrangien en relativité

    Bonjour,

    Le lagrangien d'une particule libre en relativité restreinte peut etre donné par l'action suivante:


    Dans ce cas le Lagrangien s'écrit .
    Je souhaiterais savoir pourquoi, lorsqu'on cherche le Hamiltonien de la particule, écrit on:
    au lieu de
    et alors que de maniere générale, pour retrouver les équations du mouvement par exemple , on utilise bien les 4 composantes des quadrivecteurs.

    Merci d'avance pour vos réponses !

    -----


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  3. #2
    GillesH38a

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    H n'est pas un invariant relativiste (l'énergie dépend du référentiel) mais la quantité conjuguée à t. Il n'y a donc pas à le construire de manière "covariante". L'expression utilisée est celle de la mécanique analytique classique, qui assure que H est une quantité conservée au cours du temps à partir du principe de moindre action, il y a aussi une formule analogue pour l'hamiltonien d'un champ.

  4. #3
    gatsu

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    Citation Envoyé par gillesh38
    H n'est pas un invariant relativiste (l'énergie dépend du référentiel) mais la quantité conjuguée à t. Il n'y a donc pas à le construire de manière "covariante". L'expression utilisée est celle de la mécanique analytique classique, qui assure que H est une quantité conservée au cours du temps à partir du principe de moindre action, il y a aussi une formule analogue pour l'hamiltonien d'un champ.
    Ok merci pour l'explication
    En revanche pour le Hamiltonien d'un champ en relativiste il me semble qu'on ecrit directement le tenseur impulsion energie sous la forme:

    On fait donc bien intervenir les quatres composantes non?
    Donc en fait ce que je ne comprends pas c'est pourquoi dans certains cas on utilise les quatres composantes et dans d'autres non.

  5. #4
    GillesH38a

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    oui mais la c'est directement le tenseur qui inclut l'énergie et l'impulsion, donc c'est normal d'avoir une écriture covariante. Si tu ne prend que la composante T00 pour n'avoir que la densité d'énergie, tu n'aurais que les dérivées temporelles dans le premier terme...

  6. #5
    gatsu

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    Oki merci
    J'aurais une derniere question si ça ne vous dérange pas
    Dans principes variationnels de Jean Louis Basdevant il est écrit que le Lagrangien d'une particule libre peut s'écrire de façon tres générale (à l'aide d'une définition de géodésique généralisée) comme:



    Ensuite on introduit ce qui donne pour le Hamiltonien:



    Est ce que c'est normal de ne pas trouver lorsque le tenseur metrique choisi est celui d'un espace de Minkowski?
    ou alors est ce une erreure de calcul de ma part?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    GillesH38a

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    Il a écrit ça Basdevant ?
    l'action étant , pour moi le lagrangien est


    Le lagrangien que tu donnes semble n'être qu'une approximation newtonienne (et encore un peu bizarre parce qu'elle inclut le dx0 , ce n'est donc pas le 1/2 m v2
    ....

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  10. #7
    gatsu

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    Citation Envoyé par gillesh38
    Il a écrit ça Basdevant ?
    l'action étant , pour moi le lagrangien est


    Le lagrangien que tu donnes semble n'être qu'une approximation newtonienne (et encore un peu bizarre parce qu'elle inclut le dx0 , ce n'est donc pas le 1/2 m v2
    ....
    Oui oui il a écrit ça (c'est peut etre une faute de frappe mais je ne crois pas).
    Mais j'ai aussi vu ça en relativité générale. Notre prof nous a dit qu'un principe de géodésique du type :
    {recherche des tq } n'était pas tout le temps valable de par le fait notamment que l'expression n'a pas touhours le droit d'exister si le tenseur métrique n'est pas défini positif. Il nous a montrer qu'il était équivalent de définir les géodésiques comme {recherche des tq }.
    Je pense que c'est de là que vient la relation que j'ai vu dans le livre non?

  11. #8
    GillesH38a

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    Alors là désolé je ne connais pas. Déjà j'aimerais connaître le sens mathématique d'une expression comme

  12. #9
    humanino

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    Je suis très surpris moi aussi parce que Basdevant n'a pas l'habitude de faire des fautes de frappes !
    Cela me rappelle le passage de la forme de Nambu-Goto a la forme de Polyakov pour l'action en theorie des cordes : il est toujours plus simple de ne pas mettre de racine carrée sous l'intégrale...
    "Puisque toute ces choses nous depassent, feignons de les avoir organisees"

  13. #10
    GillesH38a

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    voui mais de là à intégrer le carré d'une différentielle.... (ça me rappelle un exercice de bizutage de prépa : calculer ...)

  14. #11
    Rincevent

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    Citation Envoyé par humanino
    il est toujours plus simple de ne pas mettre de racine carrée sous l'intégrale...
    oui, c'est le principe ici aussi: ça permet d'avoir un lagrangien valable pour les géodésiques du genre temps comme des autres genres.

    mais c'est vrai que je connais plutôt l'écriture qui semble un peu plus propre ("c" est un chemin)
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  15. #12
    gatsu

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    Citation Envoyé par gillesh38
    Alors là désolé je ne connais pas. Déjà j'aimerais connaître le sens mathématique d'une expression comme
    Pour justement ne pas avoir à integrer un élément differentiel au carré on parametrise, apparemment toujours, les coordonnées en fonction d'un parametre (qui n'est pas quelconque...je n'ai pas compris pourquoi d'ailleur ) appelé "parametre affine". Ainsi le principe variationnel peut s'écrire:



    Dans notre cas, il semblerait que

    P.S: je crois que c'est ce que ce Rincevent avait déjà dit d'ailleurs non?

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  17. #13
    GillesH38a

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    il semblerait surtout qu'il te manque un au numérateur ; a priori, moi je sais integrer un élément différentiel de degré n sur une variété de dimension n !!!

  18. #14
    Rincevent

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    Citation Envoyé par gillesh38
    il semblerait surtout qu'il te manque un au numérateur ; a priori, moi je sais integrer un élément différentiel de degré n sur une variété de dimension n !!!
    je crois que c'est avant tout un problème de notations. Le g fait pas référence ici à la forme de degré 2 qui définit le produit scalaire (laquelle dépend de deux arguments indépendants) mais à la forme "norme associée", laquelle n'a qu'un argument. La longueur se calcule bien le long d'une variété de dimension 1, non?

    exemple tout simple : si je te demande d'intégrer ça te choquera pas, pourtant c'est équivalent à si g et h sont les dérivées de G et H...
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  19. #15
    GillesH38a

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    euh, oui, d'accord, mais pour moi il est incorrect mathématiquement d'écrire
    !

  20. #16
    gatsu

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    Ok Ok désolé c'est moi qui ai écrit UNE GROSSE BETISE mon prof n'a jamais écrit une annerie pareille cf
    (preuve que je n'ai pas encore tout compris d'ailleurs ).
    En fait il part effectivement de la definition de géodesique usuelle c'est à dire:


    Ensuite il introduit un "Lagrangien" qui est défini par:

    et qui vérifie les équations d'Euler Lagrange :


    Il introduit ensuite une fonction telle que (à un facteur deux pres )
    et il montre que vérifie les équation de Lagrange à condition qu'il existe (c'est bon je crois que j'ai compris maintenant) tel que
    Il utilise ce raisonnement pour ensuite donner une définition plus générale des géodésiques:
    "toute courbe d'une variété Riemanienne dont les points ont pour coordonnées locales vérifiant:

    "

    De cette définition il postule ensuite le Lagrangien qui doit etre de la forme:

    voilà normallement c'est correct (du moins c'est ce qu'il y a écrit dans mon cours).

  21. #17
    GillesH38a

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    aaaaaaaahhh ça me paraît beaucoup plus correct effectivement, je me doutais que Basdevant n'aurait pas pu faire ça ! bon, tu es tout excusé!

    Gilles

  22. #18
    gatsu

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    Citation Envoyé par gillesh38
    aaaaaaaahhh ça me paraît beaucoup plus correct effectivement, je me doutais que Basdevant n'aurait pas pu faire ça ! bon, tu es tout excusé!

    Gilles
    Merci
    Néammoins je ne comprends toujours pas pourquoi le Lagrangien donné par Basdevant ne conduit il pas à pour le tenseur métrique de Minkowski ?

    Pourquoi est ce que le fait de généraliser la notion de géodésique changerait l'energie d'une particule libre?
    Dernière modification par gatsu ; 21/12/2005 à 18h55.

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  24. #19
    GillesH38a

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    Citation Envoyé par gatsu
    Merci
    Néammoins je ne comprends toujours pas pourquoi le Lagrangien donné par Basdevant ne conduit il pas à pour le tenseur métrique de Minkowski ?

    Pourquoi est ce que le fait de généraliser la notion de géodésique changerait l'energie d'une particule libre?
    ben parce que ce n'est pas le lagrangien habituel, c'est un lagrangien généralisé, il faut sans doute transformer aussi la règle de construction de l'hamiltonien je suppose!

  25. #20
    Rincevent

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    Citation Envoyé par gillesh38
    euh, oui, d'accord, mais pour moi il est incorrect mathématiquement d'écrire
    !
    en effet, j'avais pas regardé en détails et avais pas vu ça
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  26. #21
    gatsu

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    Citation Envoyé par gillesh38
    ben parce que ce n'est pas le lagrangien habituel, c'est un lagrangien généralisé, il faut sans doute transformer aussi la règle de construction de l'hamiltonien je suppose!
    Ok mais Basdevant écrit aussi comme définition du Hamiltoien celle donnée plus haut, c'est à dire:

    Avec
    ....que dois je en conclure ?

  27. #22
    GillesH38a

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    puisque ton nouveau lagrangien est en fait le carré du précédent, tu dois récuperer quelque chose qui est fonction de l'énergie, même si ce n'est pas l'énergie habituelle ? quelque chose comme 1/E2 non?

  28. #23
    gatsu

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    A moins que je me soit trompé dans les calculs je trouve ici et je vois pas trop quoi en dire.....

  29. #24
    GillesH38a

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    c'est
    En fait c'est de prendre le carré du lagrangien tout en gardant la même normalisation dimensionnelle qui fait bizarre ensuite. L'énergie est la quantité invariante dans le temps, déduite du lagrangien habituel. Ici comme on change la définition du lagrangien, on obtient une autre fonction invariante dans le temps. Mais c'est en fait une fonction de l'énergie habituelle(toute fonction de E est aussi invariante dans le temps, bien sur).

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  31. #25
    mtheory

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    Citation Envoyé par gatsu
    Ok Ok désolé c'est moi qui ai écrit UNE GROSSE BETISE mon prof n'a jamais écrit une annerie pareille cf (preuve que je n'ai pas encore tout compris d'ailleurs ).
    En fait il part effectivement de la definition de géodesique usuelle c'est à dire:


    Ensuite il introduit un "Lagrangien" qui est défini par:

    et qui vérifie les équations d'Euler Lagrange :


    Il introduit ensuite une fonction telle que (à un facteur deux pres )
    et il montre que vérifie les équation de Lagrange à condition qu'il existe (c'est bon je crois que j'ai compris maintenant) tel que
    Il utilise ce raisonnement pour ensuite donner une définition plus générale des géodésiques:
    "toute courbe d'une variété Riemanienne dont les points ont pour coordonnées locales vérifiant:

    "

    De cette définition il postule ensuite le Lagrangien qui doit etre de la forme:

    voilà normallement c'est correct (du moins c'est ce qu'il y a écrit dans mon cours).
    Attention ,la régle avec l'hamiltonien repose sur le temps t alors que le nouveau Lagrangien est avec une reparamétrisation ,je crois que le coeur du problème est là car mais pas automatiquement
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  32. #26
    invite9321657

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    Tiens moi ça m'interesse.. je vais sans doute m'acheter un livre, mais déjà ?
    Qu'est ce qu'un Lagrangien, qu'est ce qu'un Hamiltonien

  33. #27
    mtheory

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    Citation Envoyé par One Eye Jack
    Tiens moi ça m'interesse.. je vais sans doute m'acheter un livre, mais déjà ?
    Qu'est ce qu'un Lagrangien, qu'est ce qu'un Hamiltonien
    http://www-laog.obs.ujf-grenoble.fr/...cours_meca.pdf
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  34. #28
    gatsu

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    Citation Envoyé par mtheory
    Attention ,la régle avec l'hamiltonien repose sur le temps t alors que le nouveau Lagrangien est avec une reparamétrisation ,je crois que le coeur du problème est là car mais pas automatiquement
    Il est vrai que ce n'est pas à proprement parlé un Lagrangien mais plus une "fonction de Lagrange" (terminologie de mon prof) qui vérifie les équations d'Euler Lagrange pour le parametre .
    Il n'empeche que dans le bouquin de Basdevant il y a quand même écrit (avec L le Lagrangien ) et pour moi une formulation de ce type devait venir du raisonnement précédent pour et à près (c'est pour ça que j'en ai parlé).
    A moins que vous ne voyez une autre maniere de dériver cette forme de Lagrangien
    Je suis preneur

  35. #29
    mtheory

    Re : petite question sur le lagrangien en relativité

    Citation Envoyé par gatsu
    Il est vrai que ce n'est pas à proprement parlé un Lagrangien mais plus une "fonction de Lagrange" (terminologie de mon prof) qui vérifie les équations d'Euler Lagrange pour le parametre .
    Il n'empeche que dans le bouquin de Basdevant il y a quand même écrit (avec L le Lagrangien ) et pour moi une formulation de ce type devait venir du raisonnement précédent pour et à près (c'est pour ça que j'en ai parlé).
    A moins que vous ne voyez une autre maniere de dériver cette forme de Lagrangien
    Je suis preneur
    Je vais réfléchir ....
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

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