petite question sur le lagrangien en relativité

[gatsu]

Bonjour,

Le lagrangien d'une particule libre en relativité restreinte peut etre donné par l'action suivante:


Dans ce cas le Lagrangien s'écrit .
Je souhaiterais savoir pourquoi, lorsqu'on cherche le Hamiltonien de la particule, écrit on:
au lieu de
où et alors que de maniere générale, pour retrouver les équations du mouvement par exemple , on utilise bien les 4 composantes des quadrivecteurs.

Merci d'avance pour vos réponses !
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[GillesH38a]

H n'est pas un invariant relativiste (l'énergie dépend du référentiel) mais la quantité conjuguée à t. Il n'y a donc pas à le construire de manière "covariante". L'expression utilisée est celle de la mécanique analytique classique, qui assure que H est une quantité conservée au cours du temps à partir du principe de moindre action, il y a aussi une formule analogue pour l'hamiltonien d'un champ.

[gatsu]

H n'est pas un invariant relativiste (l'énergie dépend du référentiel) mais la quantité conjuguée à t. Il n'y a donc pas à le construire de manière "covariante". L'expression utilisée est celle de la mécanique analytique classique, qui assure que H est une quantité conservée au cours du temps à partir du principe de moindre action, il y a aussi une formule analogue pour l'hamiltonien d'un champ.

Ok merci pour l'explication
En revanche pour le Hamiltonien d'un champ en relativiste il me semble qu'on ecrit directement le tenseur impulsion energie sous la forme:
où
On fait donc bien intervenir les quatres composantes non?
Donc en fait ce que je ne comprends pas c'est pourquoi dans certains cas on utilise les quatres composantes et dans d'autres non.

[GillesH38a]

oui mais la c'est directement le tenseur qui inclut l'énergie et l'impulsion, donc c'est normal d'avoir une écriture covariante. Si tu ne prend que la composante T⁰⁰ pour n'avoir que la densité d'énergie, tu n'aurais que les dérivées temporelles dans le premier terme...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gatsu]

Oki merci
J'aurais une derniere question si ça ne vous dérange pas
Dans principes variationnels de Jean Louis Basdevant il est écrit que le Lagrangien d'une particule libre peut s'écrire de façon tres générale (à l'aide d'une définition de géodésique généralisée) comme:



Ensuite on introduit ce qui donne pour le Hamiltonien:



Est ce que c'est normal de ne pas trouver lorsque le tenseur metrique choisi est celui d'un espace de Minkowski?
ou alors est ce une erreure de calcul de ma part?

[GillesH38a]

Il a écrit ça Basdevant ?
l'action étant , pour moi le lagrangien est


Le lagrangien que tu donnes semble n'être qu'une approximation newtonienne (et encore un peu bizarre parce qu'elle inclut le dx⁰ , ce n'est donc pas le 1/2 m v²
....

[gatsu]

Il a écrit ça Basdevant ?
l'action étant , pour moi le lagrangien est


Le lagrangien que tu donnes semble n'être qu'une approximation newtonienne (et encore un peu bizarre parce qu'elle inclut le dx⁰ , ce n'est donc pas le 1/2 m v²
....

Oui oui il a écrit ça (c'est peut etre une faute de frappe mais je ne crois pas).
Mais j'ai aussi vu ça en relativité générale. Notre prof nous a dit qu'un principe de géodésique du type :
{recherche des tq } n'était pas tout le temps valable de par le fait notamment que l'expression n'a pas touhours le droit d'exister si le tenseur métrique n'est pas défini positif. Il nous a montrer qu'il était équivalent de définir les géodésiques comme {recherche des tq }.
Je pense que c'est de là que vient la relation que j'ai vu dans le livre non?

[GillesH38a]

Alors là désolé je ne connais pas. Déjà j'aimerais connaître le sens mathématique d'une expression comme

[invite8ef897e4]

Je suis très surpris moi aussi parce que Basdevant n'a pas l'habitude de faire des fautes de frappes !
Cela me rappelle le passage de la forme de Nambu-Goto a la forme de Polyakov pour l'action en theorie des cordes : il est toujours plus simple de ne pas mettre de racine carrée sous l'intégrale...

[GillesH38a]

voui mais de là à intégrer le carré d'une différentielle.... (ça me rappelle un exercice de bizutage de prépa : calculer ...)

[Rincevent]

il est toujours plus simple de ne pas mettre de racine carrée sous l'intégrale...

oui, c'est le principe ici aussi: ça permet d'avoir un lagrangien valable pour les géodésiques du genre temps comme des autres genres.

mais c'est vrai que je connais plutôt l'écriture qui semble un peu plus propre ("c" est un chemin)

[gatsu]

Alors là désolé je ne connais pas. Déjà j'aimerais connaître le sens mathématique d'une expression comme

Pour justement ne pas avoir à integrer un élément differentiel au carré on parametrise, apparemment toujours, les coordonnées en fonction d'un parametre (qui n'est pas quelconque...je n'ai pas compris pourquoi d'ailleur ) appelé "parametre affine". Ainsi le principe variationnel peut s'écrire:



Dans notre cas, il semblerait que

P.S: je crois que c'est ce que ce Rincevent avait déjà dit d'ailleurs non?

[GillesH38a]

il semblerait surtout qu'il te manque un au numérateur ; a priori, moi je sais integrer un élément différentiel de degré n sur une variété de dimension n !!!

[Rincevent]

il semblerait surtout qu'il te manque un au numérateur ; a priori, moi je sais integrer un élément différentiel de degré n sur une variété de dimension n !!!

je crois que c'est avant tout un problème de notations. Le g fait pas référence ici à la forme de degré 2 qui définit le produit scalaire (laquelle dépend de deux arguments indépendants) mais à la forme "norme associée", laquelle n'a qu'un argument. La longueur se calcule bien le long d'une variété de dimension 1, non?

exemple tout simple : si je te demande d'intégrer ça te choquera pas, pourtant c'est équivalent à si g et h sont les dérivées de G et H...

[GillesH38a]

euh, oui, d'accord, mais pour moi il est incorrect mathématiquement d'écrire
!

[gatsu]

Ok Ok désolé c'est moi qui ai écrit UNE GROSSE BETISE mon prof n'a jamais écrit une annerie pareille cf

(preuve que je n'ai pas encore tout compris d'ailleurs ).
En fait il part effectivement de la definition de géodesique usuelle c'est à dire:


Ensuite il introduit un "Lagrangien" qui est défini par:

et qui vérifie les équations d'Euler Lagrange :


Il introduit ensuite une fonction telle que (à un facteur deux pres )
et il montre que vérifie les équation de Lagrange à condition qu'il existe (c'est bon je crois que j'ai compris maintenant) tel que
Il utilise ce raisonnement pour ensuite donner une définition plus générale des géodésiques:
"toute courbe d'une variété Riemanienne dont les points ont pour coordonnées locales vérifiant:

"

De cette définition il postule ensuite le Lagrangien qui doit etre de la forme:

voilà normallement c'est correct (du moins c'est ce qu'il y a écrit dans mon cours).

[GillesH38a]

aaaaaaaahhh ça me paraît beaucoup plus correct effectivement, je me doutais que Basdevant n'aurait pas pu faire ça ! bon, tu es tout excusé!

Gilles

[gatsu]

aaaaaaaahhh ça me paraît beaucoup plus correct effectivement, je me doutais que Basdevant n'aurait pas pu faire ça ! bon, tu es tout excusé!

Gilles

Merci
Néammoins je ne comprends toujours pas pourquoi le Lagrangien donné par Basdevant ne conduit il pas à pour le tenseur métrique de Minkowski ?

Pourquoi est ce que le fait de généraliser la notion de géodésique changerait l'energie d'une particule libre?

[GillesH38a]

Merci
Néammoins je ne comprends toujours pas pourquoi le Lagrangien donné par Basdevant ne conduit il pas à pour le tenseur métrique de Minkowski ?

Pourquoi est ce que le fait de généraliser la notion de géodésique changerait l'energie d'une particule libre?

ben parce que ce n'est pas le lagrangien habituel, c'est un lagrangien généralisé, il faut sans doute transformer aussi la règle de construction de l'hamiltonien je suppose!

[Rincevent]

euh, oui, d'accord, mais pour moi il est incorrect mathématiquement d'écrire
!

en effet, j'avais pas regardé en détails et avais pas vu ça

[gatsu]

ben parce que ce n'est pas le lagrangien habituel, c'est un lagrangien généralisé, il faut sans doute transformer aussi la règle de construction de l'hamiltonien je suppose!

Ok mais Basdevant écrit aussi comme définition du Hamiltoien celle donnée plus haut, c'est à dire:

Avec
....que dois je en conclure ?

[GillesH38a]

puisque ton nouveau lagrangien est en fait le carré du précédent, tu dois récuperer quelque chose qui est fonction de l'énergie, même si ce n'est pas l'énergie habituelle ? quelque chose comme 1/E² non?

[gatsu]

A moins que je me soit trompé dans les calculs je trouve ici et je vois pas trop quoi en dire.....

[GillesH38a]

c'est
En fait c'est de prendre le carré du lagrangien tout en gardant la même normalisation dimensionnelle qui fait bizarre ensuite. L'énergie est la quantité invariante dans le temps, déduite du lagrangien habituel. Ici comme on change la définition du lagrangien, on obtient une autre fonction invariante dans le temps. Mais c'est en fait une fonction de l'énergie habituelle(toute fonction de E est aussi invariante dans le temps, bien sur).

[mtheory]

Ok Ok désolé c'est moi qui ai écrit UNE GROSSE BETISE mon prof n'a jamais écrit une annerie pareille cf (preuve que je n'ai pas encore tout compris d'ailleurs ).
En fait il part effectivement de la definition de géodesique usuelle c'est à dire:


Ensuite il introduit un "Lagrangien" qui est défini par:

et qui vérifie les équations d'Euler Lagrange :


Il introduit ensuite une fonction telle que (à un facteur deux pres )
et il montre que vérifie les équation de Lagrange à condition qu'il existe (c'est bon je crois que j'ai compris maintenant) tel que
Il utilise ce raisonnement pour ensuite donner une définition plus générale des géodésiques:
"toute courbe d'une variété Riemanienne dont les points ont pour coordonnées locales vérifiant:

"

De cette définition il postule ensuite le Lagrangien qui doit etre de la forme:

voilà normallement c'est correct (du moins c'est ce qu'il y a écrit dans mon cours).

Attention ,la régle avec l'hamiltonien repose sur le temps t alors que le nouveau Lagrangien est avec une reparamétrisation ,je crois que le coeur du problème est là car mais pas automatiquement

[invite6b1a864b]

Tiens moi ça m'interesse.. je vais sans doute m'acheter un livre, mais déjà ?
Qu'est ce qu'un Lagrangien, qu'est ce qu'un Hamiltonien

[mtheory]

Tiens moi ça m'interesse.. je vais sans doute m'acheter un livre, mais déjà ?
Qu'est ce qu'un Lagrangien, qu'est ce qu'un Hamiltonien

http://www-laog.obs.ujf-grenoble.fr/...cours_meca.pdf

[gatsu]

Attention ,la régle avec l'hamiltonien repose sur le temps t alors que le nouveau Lagrangien est avec une reparamétrisation ,je crois que le coeur du problème est là car mais pas automatiquement

Il est vrai que ce n'est pas à proprement parlé un Lagrangien mais plus une "fonction de Lagrange" (terminologie de mon prof) qui vérifie les équations d'Euler Lagrange pour le parametre .
Il n'empeche que dans le bouquin de Basdevant il y a quand même écrit (avec L le Lagrangien ) et pour moi une formulation de ce type devait venir du raisonnement précédent pour et à près (c'est pour ça que j'en ai parlé).
A moins que vous ne voyez une autre maniere de dériver cette forme de Lagrangien
Je suis preneur

[mtheory]

Il est vrai que ce n'est pas à proprement parlé un Lagrangien mais plus une "fonction de Lagrange" (terminologie de mon prof) qui vérifie les équations d'Euler Lagrange pour le parametre .
Il n'empeche que dans le bouquin de Basdevant il y a quand même écrit (avec L le Lagrangien ) et pour moi une formulation de ce type devait venir du raisonnement précédent pour et à près (c'est pour ça que j'en ai parlé).
A moins que vous ne voyez une autre maniere de dériver cette forme de Lagrangien
Je suis preneur

Je vais réfléchir ....