Passage de coordonnées cartésiennes d'un écran en pixel en coordonnées GPS

[invite941c057e]

Bonjour,

en fait, je souhaiterais faire l'exact contraire que le message posté sur ce forum 304325-changement-de-repere-a-partir-de-3-points.html

En bref, j'ai :
Pt1 (long1, lat1) Pt1 (x1, y1)
Pt2 (long2, lat2) Pt2 (x2, y2)
Pt3 (long3, lat3) Pt3 (x3, y3)
et P(x, y)
je cherche P(long, lat).

Quelqu'un aurait-il une solution à me proposer, j'ai pensé à inverser l'équation donnée dans le forum précédent, mais je ne sais pas résoudre un système non linéaire
Merci par avance

Darcia
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[KerLannais]

Bonjour,

La méthode de projection utilisée qu'on ne connaît pas a priori est forcément un difféomorphisme de classe étant donné que toutes les méthodes de projections utilisées en cartographie ont cette régularité (sauf s'il s'agit d'une carte dont rapiécée qui utilise plusieurs méthode de projection différentes). On peut raisonnablement supposer que les coordonnées que tu considère sont suffisamment proche (si c'est à l'échelle d'un plan d'une ville par exemple) pour que l'approximation du difféo par son application linéaire tangente soit raisonnable. De toute façon avec seulement 3 points de référence on ne peux guère faire mieux que cela. Bien entendu si on peut avoir accès à la méthode de projection utilisée pour réaliser la carte alors on peut faire quelque chose de plus précis. Par exemple il est possible de savoir la méthode de projection utilisée pour une carte de l'IGN, et si il n'a pas disparut, le site de l'IGN est très instructif sur les méthodes de cartographie. Enfin bref tout ce blabla pour dire que l'on va supposer que l'application qui a un couple de coordonnées en pixel associe un couple de longitude latitude est une application affine de dans à déterminer. Or on sait qu'une application affine est uniquement déterminée par l'image de 3 points non alignés. Je vais noter , et tes 3 points de références et les coordonnées, longitude et latitude du point . Soit de coordonnées et de longitude latitude , puisque les points de références ne sont pas alignés les vecteurs forment donc une base de l'espace vectoriel et en particulier il existe et tels que

Soit encore

ce qui permet de déterminer et par la résolution de ce système linéaire:



On a alors

est l'application vectorielle associée à l'application affine . On a par linéarité

et puisque

et

on a donc

et

finalement

Soit encore

[invite941c057e]

Bonjour KerLannais,
merci beaucoup de ta réponse, je vais tout de suite appliquer cela à mon programme.
Par contre, si cela ne te dérange pas, pour ma culture personnelle, pourrais-tu me dire pourquoi s'il te plaît ?
Merci beaucoup

Darcia

[KerLannais]

En fait c'est plus ou moins une définition, mais pour cela il faut avoir eu un cours de géométrie affine et encore je croit que cette façon de de définir les applications affines ne se voit pas dans les premiers cycles. En effet, très souvent lorsque l'on fait de la géométrie affine on confond un point et le vecteur qui le relie à l'origine d'un repère fixé. Lorsque l'on est un peu pédant on définit un plan affine comme un ensemble de points auquel on associe un espace vectoriel réel de dimension 2 qui sera l'ensemble des vecteurs du plan avec les hypothèses naturelles que
1- à tout couple de points correspond un unique vecteur qui est noté
2-pour tout point et tout vecteur il existe un unique point tel que . Le point est aussi noté (dans cette notation on fait la somme d'un point et d'un vecteur et on obtient un point, le point doit toujours se trouver à gauche dans la somme).
3- la relation de Chasles est vérifiée


Du coup lorsque on a envie de dire que
et donc on définit aussi que la différence de deux point est égale au vecteur correspondant. Cette notation est consistente avec la relation de Chasles puisque

Encore selon cette même notation on a

qui est une sorte de relation de Chasles. On définit aussi une combinaison linéaire le points mais seulement lorsque la somme des coefficients dans la combinaison linéaire vaut . Par exemple si est le milieux du segment alors

et


mais on évite d'écrire
ou

De façon plus générale si

avec alors si on prends un points de référence

ainsi

Autrement dit est le barycentre du système de points pondérés

Il faut faire attention au fait que (puisque l'on ne confond pas points et vecteurs) la combinaison linéaire de plusieurs points, si la somme des coefficients n'est ni ni n'a pas de sens (sachant que lorsque la somme des coefficients est nulle il ne s'agit plus d'un point mais d'un vecteur). Un tel somme a un sens lorsque l'on fait la confusion points vecteurs mais elle dépend du point choisi comme origine du repère lorsque l'on fait confusion point-vecteur et puisque le dit point d'origine n'apparait pas dans la notation d'une combinaison linéaire de points il est extèmement dangereux d'utiliser (on risque de démontrer des résultats faux) si on l'utilise. Une fois ces notations misent en place on peut définir ce qu'est une application affine. Une application linéaire est une application qui associe un vecteur à un autre vecteur et qui vérifie pour tout vecteurs et et tout scalaires et

Une application affine est une application qui associe un point à un autre et telle que pour tout points et et tout scalaire et tels que on a

autrement dit une application affine conserve les barycentre de deux points et il est facile de voir que plus généralement elle conserve les barycentres de points quel que soit .

Par exemple puisque

alors

et donc


Si on note le repère dans lequel les coordonnées sont les longitudes et latitudes alors

L'égalité précédente devient donc

et on conclu en utilisant le fait que et sont indépendants.

En particulier la notion d'application linéaire associée à une application affine n'est pas forcément utile au raisonnement mais pour la culture, la définition est la suivante. On montre que l'application qui au vecteur associe est bien définie car cette dernière quantité ne dépend pas du point choisit et on montre de plus qu'elle est linéaire. De par cette définition on a alors pour tout point et que

ou encore ce qui revient au même

Je te laisse cette démonstration en exo mais si tu sèche je peux te la donner

[A voir en vidéo sur Futura]