Formalisme et relativité restreinte

[invite8f655176]

Bonjour,

Je découvre la théorie de la relativité restreinte, et cela me plonge dans un abime de perplexité.
Par exemple, les différents cours que j’ai pu compulser, élaborent les transformations de Lorentz en considérant deux repères en mouvement relatif suivant une translation à vitesse constante. Or, il me semble que l’espace associé à ces repères n’est pas clairement défini (espace affine euclidien ?). Il en est de même pour la vitesse de translation : à quel genre de cinématique fait-elle référence ? A la cinématique de Mr Newton, celle la même qui est considérée comme “fausse” dans le cadre de la relativité restreinte ? Bref, existe-t-il une façon de construire la théorie de la relativité suivant les canons du formalisme mathématique ?
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[Amanuensis]

Bonjour, et bienvenue sur le forum,

Par exemple, les différents cours que j’ai pu compulser, élaborent les transformations de Lorentz en considérant deux repères en mouvement relatif suivant une translation à vitesse constante. Or, il me semble que l’espace associé à ces repères n’est pas clairement défini (espace affine euclidien ?).

En relativité restreinte, l'espace est défini via le processus de synchronisation d'Einstein. Un référentiel inertiel est défini d'abord par une origine spatiale, par exemple une horloge supposée suivre une trajectoire inertielle.

Une autre horloge A est immobile par rapport à l'origine si les durées d'aller-retour AOA d'un signal à c (lumière par exemple) réfléchi par O sont constantes dans le temps. Et on considère simultanées les événements réflexion en O et le milieu entre l'émission et la réception en A. Un ensemble d'événements simultanés forme l'espace à un instant donné du référentiel.

Cet espace est affine euclidien.

(Par ailleurs, on peut définir directement un système de coordonnées inertiel comme un référentiel tel que toutes les trajectoires inertielles soient de vitesse uniforme. Cette définition est valide en RR. Autrement dit, il n'y a pas de différence avec l'espace-temps classique sur ce point.)

Il en est de même pour la vitesse de translation : à quel genre de cinématique fait-elle référence ?

C'est juste la vitesse de O' mesuré dans le référentiel O. Rien de particulier comme cinématique.

[invite76543456789]

Bonjour,
Tu peux regarder ici

[chaverondier]

Par exemple, les différents cours que j’ai pu compulser, élaborent les transformations de Lorentz en considérant deux repères en mouvement relatif suivant une translation à vitesse constante. Or, il me semble que l’espace associé à ces repères n’est pas clairement défini (espace affine euclidien ?). Il en est de même pour la vitesse de translation : à quel genre de cinématique fait-elle référence ? A la cinématique de Mr Newton, celle la même qui est considérée comme “fausse” dans le cadre de la relativité restreinte ? Bref, existe-t-il une façon de construire la théorie de la relativité suivant les canons du formalisme mathématique ?

Oui. Il faut d'abord justifier l'emploi de l'espace-temps de Newton (pas celui de Galilée, son groupe de symétrie à 10 paramètres, le groupe de Galilée, n'est pas le bon). Le groupe de symétries à 7 paramètres de l'espace-temps de Newton E1xE3 (l'espace-temps de Newton porte aussi un autre nom, mieux adapté mathématiquement, mais quasiment pas connu) tient compte :

• de la conservation de l'énergie (invariance par translation temporelle),
• de la conservation de l'impulsion (invariance par translation spatiale)
• de la conservation du moment cinétique (invariance par rotation spatiale).

On dispose alors du cadre géométrique dans lequel on peut définir les repères en translation uniforme que vous évoquiez. En exprimant ensuite le principe de relativité du mouvement et l'hypothèse d'existence d'une vitesse de propagation maximale (qu'on identifie à la vitesse de la lumière) on établit les transformations de Lorentz. Le principe de relativité du mouvement se traduit alors par l'invariance de Lorentz, l'invariance des lois de la physique vis à vis de ces transformations.

Le groupe de symétries à 7 paramètres de l'espace-temps de Newton ainsi complété s'avère alors être le groupe de Poincaré réduit (groupe à 10 paramètres). On peut le compléter encore un peu plus par les symétries discrètes P et T (si on se limite aux lois de la physiques qui respectent ces deux symétries violées, par contre, par la désintégration du Kaon neutre).

"Une géométrie, c'est un groupe" avait coutume de dire J.M. Souriau. La géométrie de la Relativité Restreinte c'est le groupe de Poincaré (sous entendu, l'invariance des lois de la physique vis à vis des actions de ce groupe). Toutefois, la métrique de Minkowski est la métrique invariante vis à vis des actions de ce groupe. On peut donc voir l'espace-temps de Minkowski lui aussi comme le modèle mathématique de la Relativité Restreinte.

Bref, l'espace-temps de Newton est une "généralisation" de l'espace-temps de Minkowski. L'espace-temps de Newton autorise des phénomènes qui sont interdits par les exigences de symétrie propres à l'espace-temps de Minkowski. A ce jour (si on laisse de côté les symétries discrètes P et T) les symétries de l'espace-temps de Minkowski (et la causalité relativiste qui y prend place) sont parfaitement respectées par les faits d'observation.

Sans pour autant nier l'importance de la rigueur mathématique, les présentations habituelles de l'établissement des transformations de Lorentz privilégient surtout l'objectif de dégager les idées physiques et l'importance du principe de relativité du mouvement dans l'établissement des transformations de Lorentz (et du groupe de Lorentz qu'elles engendrent quand elles sont combinées aux rotations spatiales) plutôt que d'insister sur la rigueur mathématique formelle. Personnellement, je suis assez d'accord avec cette façon de faire. Si on fait preuve (tout de suite) de trop de rigueur mathématique, on noie les idées physiques sous les détails du formalisme mathématique (1).

(1) Cela dit, un peu trop de paresse vis à vis du formalisme mathématique peut conduire vers des conclusions fausses si on fait trop confiance à l'intuition physique sans faire l'effort de formalisation mathématique permettant de voir si on n'a pas écrit de bêtises en sautant parfois un peu trop vite aux équations et aux conclusions découlant de cette intuition.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8f655176]

Merci pour toutes ces réponses qui apportent de l'eau (beaucoup d'eau !) à mon moulin. Je crois que j'ai du pain sur la planche ... ! Merci beaucoup.

[invite6754323456711]

Bonjour,
Tu peux regarder ici

Merci pour le lien très intéressant.

Ce formalisme visant à définir une relation ordonnancement entre évènements, fait absolu de l'espace-temps, capture t'elle toute les propriétés physiques ? Dans le cadre de la définition de la simultané, un élément physique, est par exemple la non possibilité de relier les deux évènements x et y par un signal physique, ce qui conduit à une construction non univoque de la notion de simultanéité, qui devient non applicable dans un cadre plus général tel que la RG et qui pose des interrogations dans le cadre de la MQ concernant l'intrication quantique.

Patrick

[invite6754323456711]

Ce formalisme visant à définir une relation ordonnancement entre évènements, fait absolu de l'espace-temps, capture t'elle toute les propriétés physiques ? Dans le cadre de la définition de la simultané, un élément physique, est par exemple la non possibilité de relier les deux évènements x et y par un signal physique, ce qui conduit à une construction non univoque de la notion de simultanéité, qui devient non applicable dans un cadre plus général tel que la RG et qui pose des interrogations dans le cadre de la MQ concernant l'intrication quantique.

Dit autrement, j'ai l'impression qu'elle capture bien la propriété du temps relatif :

Such an idea of precedence depends on some concept of absolute time.

mais moins celle d'espace relatif.

Patrick