tenseur et matrice

[mach3]

Bonjour à tous,

je me frotte à des notions encore ambigues pour moi dans une démonstration. Dites moi si j'ai bien compris.

Un tenseur est un objet mathématique indépendant de la représentation (comme un vecteur), et on peut l'écrire comme une matrice si on choisi une base. Il y a évidemment autant de matrices correspondante à ce tenseur qu'il y a de bases différentes (i.e. une infinité) et on peut passer de l'une à l'autre par des changement de base. J'ai bon?

A-t-on raison de parler de tenseur symétrique si c'est en fait la matrice qui le représente dans une base donnée qui est symétrique?
J'intuite que cela doit revenir au même car dans toute base, la matrice qui représente le tenseur devrait être symétrique, mais je ne sais guère si c'est vraiment vrai (j'ai cru le démontré, mais je ne sais pas trop ce que je fait ). Toutes les matrices qui peuvent représenter ce tenseur partagent des propriétés non?

merci de votre aide

m@ch3
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[invitea774bcd7]

On associe généralement le terme « matrice » seulement aux tenseurs d'ordre 2. Mais c'est une notion bien évidemment beaucoup plus générale

[mach3]

oui, je parlais évidemment d'un tenseur d'ordre deux.

c'est tout?

m@ch3

[invitedbd9bdc3]

Ho, je pense que si t'attends un peu, tu vas avoir quelqu'un qui va te faire une de ses leçons sur les tenseurs, tu m'en diras des nouvelles!
Et il va tout demontrer sans meme une equation.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea774bcd7]

Clair !
C'est un sujet délicat par ici, les tenseurs

[invite7ce6aa19]

Un tenseur est un objet mathématique indépendant de la représentation (comme un vecteur), et on peut l'écrire comme une matrice si on choisi une base.

C'est çà l'idée: les tenseurs sont bien des vecteurs.

Un vecteur "classique" comme r, vitesse, Champ électrique E, le gradient... sont "intrinsèques" alors que leur representation sous forme de matrice ligne (ou colonne) dépend de la base. En fait les vecteurs que j'ai ici cité sont en fait des tenseurs de rang1.

Les tenseurs de rang 2 sont également des vecteurs et on pourrait donc les representer par des matrices lignes ou colonnes. Toutefois il est possible de les representer par une matrice.

L'idée est qu'un tenseur de rang 2 se transforme comme 2 fois un tenseur de rang1. Exemple:

Par exemple soit un vecteur X (x1, ...xn) et autre vecteur Y(y1,.....yn) cad des tenseurs de rang 1.

Soit le vecteur Zij (0....zij,..0.). Des vecteurs comme ceci il y en a n2 indépendants. Si tu as:

zij = xi.yj

Les composantes zij vont se tranformer comme les produits xi.yj

C'est ce qui caractérise le comportement de Zij dans un changement de base.

Tres important: un tenseur de rang 2 a 2 indices. Pourquoi? On pourrait tout simplement associer a un couple d'indice <i,j> un seul indice u qui justifie la representation en matrice ligne (ou en colonne). L'inconvénient est que l'on perd la trace de sa nature tensorielle, cad son comportement dans un changement de base.

Intuitivement cela veut dire qu'un si un changement de base est comme une rotation d' un angle pour le tenseur de rang1 le tenseur de rang 2 va "tourner" 2 fois plus vite dans son propre espace vectoriel.

Il y a évidemment autant de matrices correspondante à ce tenseur qu'il y a de bases différentes (i.e. une infinité) et on peut passer de l'une à l'autre par des changement de base. J'ai bon?

Oui.

A-t-on raison de parler de tenseur symétrique si c'est en fait la matrice qui le représente dans une base donnée qui est symétrique?
J'intuite que cela doit revenir au même car dans toute base, la matrice qui représente le tenseur devrait être symétrique, mais je ne sais guère si c'est vraiment vrai (j'ai cru le démontré, mais je ne sais pas trop ce que je fait ). Toutes les matrices qui peuvent représenter ce tenseur partagent des propriétés non?

Si ton tenseur a des relations entre composantes c'est que la dimension de l'espace tensorielle est plus petit.

Par exemple si zij = zji la matrice representative est symétrique. Le tenseur est dit symétrique. Combien y a-t-il de composantes et donc quel est la dimension de l'espace vectoriel?

Par contre si zij =- zji la matrice representive est antisymétrique. Combien y a -t-il de composantes?

Question simple:

1- Soit: le vecteur moment cinétique L = r V p

Quelle est la nature tensorielle de ce vecteur?

2- Démontrer que l'on peut toujours décomposer un tenseur de rang2 en un tenseur symétrique et un tenseur antisymétrique.

[invite6754323456711]

Bonjour,

J'aime bien la définition générale du tenseur suivante :

Soit deux espaces vectoriels U_m de dim m et V_n de dim n. On associe à ces deux espaces vectoriel un autre espace vectoriel W_mn, de dim mn.

On défint dans W_mn une addition (+) et une multiplication (.) par un scalaire comme pour tout espace vectoriel. Cette association se fait par la définition d'une loi , appelée multiplication tensorielle, qui lie un vecteur u de U_m et vecteur v de V_n à un vecteur u v de W_mn.

Le produit tensoriel, possède les propriétés suivantes :

Distributivité par rapport aux additions vectorielles
Associativité de la multiplication par un scalaire
Si {e₁,....e_m} est une base de U_m et {f₁,....,f_n} est une base de V_n, alors les mn vecteurs eifj forme une base d'un espace W_mn. Un élément quelconque t de cet espace est appelé un tenseur et peut s'écrire sous la forme :

t = t^ij e_i f_j

L'espace W_mn est apelé produit tensoriel de U_m et V_n, il est noté U_m V_n

La base a_ij = e_i e_j de U_m V_n est la base associée aux bases {e_i} et {f_j}

Il est important de noter qu'un tenseur quelconque n'est pas, en général le produit tensoriel de deux vecteurs.


Patrick
PS
Dunod : Introduction au calcul tensoriel, applications à la physique

[inviteea5f1405]

C'est simple : une matrice c'est un tenseur d'ordre 2 et donc c'est en 2D. Un tenseur d'ordre 3 te donne un cube... une espèce de matrice en 3D

Et pour la multiplication : Have Fun
Surtout pour celle des tenseurs d'ordre 4 et +.