Matrice & tenseur ??

[invitef0ba6147]

Bonjour,

- Quelle est la différence entre Matrice & tenseur ?

- Toute matrice est-elle un tenseur d’ordre 2 ?

- Tout tenseur d’ordre 2 est-il une matrice?

Merci par avance pour vos commentaires.
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[invite4ef352d8]

- Toute matrice est-elle un tenseur d’ordre 2 ?

- Tout tenseur d’ordre 2 est-il une matrice?

en gros oui. les tenseur sont quand meme un peu plus riche avec la notion de co-variance/contravariance. mais la différence entre les deux est surtous un probleme de formalisme. ce sont deux notation différente : la notation matricielle c'est plus synthétique plus facile à manipuler etca met en avant les propriété algébrique . les tenseur c'est un peu plus lourd, mais plus géneral et plus puissant, et ca met plus en avant les opération concrete sur les coeficients...


NB : par "propriété ALgébrique" je pense pas du tous à l'algèbre linaire, mais aux fait que les matrices constitu un anneau, et bien entendu à la réduction d'endomorphsime...

[invite88ef51f0]

Salut,
Une matrice est juste une représentation d'un tenseur d'ordre 2.
Un tenseur est caractérisé par la façon dont il se transforme.
C'est par exemple toute la différence entre un tableau de 3 nombres quelconques, et un vecteur à 3 composantes : sous une rotation, les 3 composantes du vecteur sont mélangées d'une façon bien précise. C'est cette loi de transformation sous les rotations qui permet de dire que c'est un vecteur. Après, le fait de le représenter comme 3 nombres en colonnes n'est qu'arbitraire. Si je place en colonne, l'âge du capitaine, le CAC40 et la température extérieure, je ne forme pas un vecteur. J'ai 3 scalaires (en supposant que l'âge du capitaine est invariant par rotation ).

Pour les tenseurs d'ordre 2, c'est pareil. La loi de transformation est particulièrement pratique à manier si on écrit les choses sous forme de matrice. Mais on pourrait très bien tout écrire dans une seule colonne.

[invitea56ac065]

bonsoir,

une matrice : tenseur d'ordre deux mais une fois covariant et une fois contravariant

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Lucien COSTE

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Salut,

tiens, je viens de tilter sur un truc grâce à Lucien : c'est l'isomorphisme qui permet de voir une matrice comme un tenseur.

Bonne journée.

[invité576543]

Bonjour,

une matrice : tenseur d'ordre deux mais une fois covariant et une fois contravariant

Pourquoi?

Au sens le plus large, une matrice n'est qu'un tableau, une liste de nombre et une indexation particulière de cette liste.

Dire qu'un index est contravariant et l'autre covariant, c'est se restreindre un peu, c'est en fait assimiler matrice (carrée?) avec un endomorphisme d'un espace vectoriel.

Mais si je prend une matrice comme représentant un morphisme entre espace vectoriel et espace dual, alors c'est un tenseur d'ordre 2 deux fois covariant.

Il y a une différence, mais faut la préciser. Si on prend l'espace des matrices carrées muni de l'opération interne multiplication des matrices, alors c'est cet espace est une représentation de l'espace des endomorphisme d'un espace vectoriel. Vu comme cela, c'est la multiplication matricielle qui restreint les matrices avec un index covariant l'autre contravariant, pas la notion de matrice par elle-même, non?

Cordialement,

[invite4793db90]

Salut,

je pense que Lucien entendait par matrice la représentation matricielle d'un endomorphisme, i.e. celle présentée les premières années de fac (ça devient quasiment un réflexe).

Du reste, je suis d'accord avec ta remarque, mmy.

Cordialement.

[invitea56ac065]

bonjour,

un matrice est la représentation algébrique d'une application linéaire d'un espace de dimension N sur un corps K dans un espace de dimension P sur le même corps K.

ce n'est pas un simple tableau de nombres. une matrice possède une autre signification !

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Lucien COSTE

[invite4ef352d8]

c'est tres restrictif ce que tu dit je trouve.
une matrice sert autant à exprimer un endomorphisme, qu'une forme quadratique, un produit scalaire, une famille de vecteurs etc... et pour chacune de ces applications ils il y a des regles de changement de base différentes.

une matrice c'est un torseur d'ordre deux, mais sans notion de covariance ou contravariance ecrite explicitement.

[invité576543]

Je vote comme Ksilver! (En remplaçant torseur par tenseur, une coquille a priori.)

Cordialement,

[invite4ef352d8]

euh oui tenseur bien sur ^^

[invite559dbfeb]

Je veux savoir ce que c'est qu'un tenseur

[jacknicklaus]

un tenseur est une machine multilinéaire qui mange des vecteurs (=éléments d'un espace vectoriel V) et des covecteurs (=éléments de l'espace dual des formes linéaires sur V) et qui recrache un scalaire.