démonstration sans intégrale! ?

[Romain mathyque]

Bonjour ,mon prof m'a dit qu'on ne peut pas démontrer les formules de volumes de cône, de pyramide et de sphère. .. sans utilisation d'intégral, mais Est ce qu'il est vraiment possible ??.
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[gg0]

A ton niveau, c'est vrai.

On connaît les formules de ces volumes depuis l'antiquité, les démonstrations avant l'invention des intégrales reposaient sur une méthode de comparaison de volumes (exhaustion) qui n'est pas du tout élémentaire, c'était une preuve pour bons mathématiciens. Archimède, qui a complétement mis au point la méthode employait aussi des "preuves mécaniques" qu'il considérait lui même comme n'étant pas mathématiques. Elles sont ressorties au dix-septième siècle, à la même époque que la découverte des intégrales, sous une forme trop peu rigoureuse (les "indivisibles" de Cavalieri) et très vite oubliée, sauf des historiens.

Donc ton prof a en grande partie raison. Si tu tiens à t'opposer à lui, étudie les travaux d'Archimède, puis retourne le voir

Cordialement.

[Seirios]

Bonjour,

On peut facilement calculer l'aire d'un triangle rectangle en recollant deux copies de ce même triangle le long de l'hypoténuse et en remarquant que tu obtiens un rectangle dont l'aire est deux fois celle du triangle initiale. Ensuite, par un petit jeu de découpage, tu peux en déduire l'aire d'un triangle quelconque. Un argument similaire permet de calculer le volume d'une pyramide. Puis, une fois que tu connais le volume d'une pyramide, tu peux calculer le volume d'un polyèdre régulier en le découpant, et le volume d'une boule doit en découler en prenant la limite du volume précédent lorsque le nombre de face du polyèdre tend vers l'infini (là, il faut rédiger proprement quelque chose, pour justifier que la limite trouvée est bien le volume de la boule, mais à première vue ça ne semble pas trop difficile).

[gg0]

Seirios,

as-tu vraiment essayé de le faire ? C'est très loin d'être évident.
Pour le cône et la sphère, l'utilisation d'une définition précise des volumes (par ... des intégrales de volume) et la facilité de la preuve par intégration font qu'on peut justifier les formules classiques à un niveau début d'université, en quelques lignes.

Cordialement.

NB : Si on veut passer par des limites de polyèdres, il faut deux limites (une extérieure en plus de l'intérieure) pour justifier qu'on a bien "épuisé" le volume, qu'il n'en reste pas. C'est très proche de la méthode d'exhaustion (épuisement) proposée par Archimède il y a 22 siècles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

Dans tout les cas, il faut se poser la question de la définition mathématique d'une aire... Sans définition précise, pas de démonstration possible

[Seirios]

En fait, il y a une erreur grossière dans ce que j'avais en tête : il va être difficile de regarder une suite de polyèdres réguliers (dont justement calculer le volume est facile) avec un nombre de faces tendant vers l'infini puisqu'il n'existe qu'un nombre fini de tels polyèdres ! La partie difficile semble être donc ici : trouver un bon découpage. (Ce qui revient peut-être à suivre ce qu'a fait Archimède, je ne connais pas sa méthode.)

[minushabens]

Qu'on coupe la sphère en tranches discoïdales ou en cornets de frites, ça revient à calculer une intégrale.

[gg0]

Historiquement, ce sont la notion d'intégrale puis deux siècles après celle de limite qui ont permis de simplifier très fortement et de généraliser les calculs d'aires et de volumes, limités à des cas simples, et d'une grande lourdeur. Et pratiquement plus personne ne sait faire fonctionner les méthodes d'Euclide, Apollonius, Archimède, ... Galilée, Kepler et Newton, sur des cas non traités par eux.

Cordialement.