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Tenseur et convention sur l'ordre horizontal des indices

  1. #1
    fabio123

    Tenseur et convention sur l'ordre horizontal des indices

    Bonjour,

    je voulais savoir la raison pour laquelle, dans certains cours, l'indice du bas ("covariant") est aligné horizontalement avant ou après l'indice du haut.

    Par exemple, quand on prend la matrice associée à la transformation de Lorentz, avec la pseudo-métrique de Minkowski, on a :



    En multiplliant à droite par et à gauche par , on obtient :



    ceci peut s'écrire (d'après ce que j'ai vu sur un autre forum, mais à confirmer), en notation indicielle, avec \mu le numéro de ligne et \nu le numéro de colonne :



    Pourquoi dans le membre de gauche, l'indice contravariant \mu est devant \nu et pourquoi dans le membre de droite, c'est l'inverse ? et surtout quel est l'intérêt ?

    Est-ce que cela a un rapport avec le passage d'un tenseur (1,1) à un tenseur (2,0) ou (0,2) avec le tenseur métrique qui abaisse ou monte les indices du tenseur ?

    Est-ce que l'on peut prendre comme règle générale, comme avec le produit de matrice, que l'indice du haut correspond au numéro de la ligne et celui-du bas au numéro de colonne ??

    Je sais que dans le cas de la multiplication de matrices, l'ordre du produit importe, contrairement aux tenseurs où l'ordre des facteurs ne compte pas.

    Merci pour vos éclaircissements

    ps: peut être que cette question doit être déplacée dans le forum Astrophysique

    -----

    Dernière modification par fabio123 ; 21/12/2017 à 00h02.

  2. Publicité
  3. #2
    Resartus

    Re : Tenseur et convention sur l'ordre horizontal des indices

    Bonjour,
    La position n'a aucune importance. L'écriture la plus courante est de les mettre l'un au dessus de l'autre.

    Mais selon le logiciel d'écriture mathématique utilisé, certains savent traiter les superpositions d'indice, d'autres non, et alors l'indice qui est nommé en premier passe devant.
    Dernière modification par Resartus ; 21/12/2017 à 10h24.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  4. #3
    fabio123

    Re : Tenseur et convention sur l'ordre horizontal des indices

    Voici le lien qui m'a amené à poser cette question :

    https://www.physicsforums.com/thread.../#post-5218425

    En l'occurrence, d'après ce que j'ai compris dans ce post, si je prends le tenseur électromagnétique (1,1) et que je le note et son inverse , alors on peut écrire :



    Si je prends simplement la notation , il y a une confusion car je ne peux pas obtenir l'égalité ci-dessus : en effet, ça reviendrait à écrire :

    , ce qui serait faux.

    Je pense aussi que le fait de ne pas respecter l'ordre horizontal des indices pose par exemple des problèmes avec la définition du tenseur de courbure et de la montée ou descente de ses indices.

    Pourriez-vous m'éclairer sur ce problème de respect de l'ordre horizontal des indices ?

  5. #4
    Resartus

    Re : Tenseur et convention sur l'ordre horizontal des indices

    Bonjour,
    Désolé, je ne comprends absolument rien à ces subtilités. Je ne connais que les tenseurs selon la notation d'Einstein, pour lesquels il n'y a pas d'ordre...
    (il est dit dans le texte que ces F ne sont PAS des tenseurs)
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  6. #5
    ID123

    Re : Tenseur et convention sur l'ordre horizontal des indices

    Ah mais si, pas d'accord, l'ordre des indices importe. Et le tenseur Electromagnétique F est bel et bien un tenseur avec toutes les propriétés qui vont bien.
    jacknicklaus

  7. #6
    fabio123

    Re : Tenseur et convention sur l'ordre horizontal des indices

    @ID123

    Pourrais-tu développer s'il te plaît ? En effet, le tenseur F que je considère dans ma question est le tenseur de Maxwell (électromagnétique)

  8. #7
    mach3

    Re : Tenseur et convention sur l'ordre horizontal des indices

    Quand il s'agit d'un tenseur, l'ordre compte, par contre quand il s'agit d'une matrice, l'ordre ne compte pas. Reste à ne pas confondre les deux : tout tenseur (2,0), (1,1) ou (0,2) peut être représenté par une matrice, ce qui ne veut pas dire qu'une matrice est un tenseur.

    Il ne faut pas perdre de vue qu'avant d'être représenté par un vulgaire tableau de nombre, un tenseur est une application multilinéaire, qui transforme un n-uplet de vecteurs et de 1-formes en un scalaire. On peut le noter F(...,...) par exemple, avec des emplacements libres pour accueillir vecteurs et/ou 1-formes, et selon la symétrie, l'antisymétrie (ou l'absence de symétrie), l'ordre des emplacements à toute son importance. L'ordre des indices reflète l'ordre des emplacements.

    Commençons par un tenseur 2 fois covariant.
    Si F est symétrique, alors F(u,v)=F(v,u). Dans le langage des composantes, ça donne . Si au lieu de u et v on utilise des vecteurs de base et , ça donne

    Si F est antisymétrique, alors F(u,v)=-F(v,u). Dans le langage des composantes, ça donne . Si au lieu de u et v on utilise des vecteurs de base et , ça donne

    On peut "transformer" notre tenseur 2 fois covariant en un tenseur 1 fois covariant et 1 fois contravariant. C'est à dire qu'au lieu d'accueillir deux vecteurs dans ses emplacements, il accueillera un vecteur et une 1-forme. Une astuce pour que notre tenseur accepte cela est simplement de transformer cette 1-forme en vecteur, par contraction avec le tenseur métrique 2 fois contravariant (il faut donc qu'on soit dans une structure munie d'une métrique, sans quoi la manip est impossible). Ceci est équivalent à une autre manipulation, qui consiste à contracter ce même tenseur métrique sur l'un des deux emplacement du tenseur F, on obtient un nouveau tenseur avec un emplacement pour une 1-forme et un emplacement pour un vecteur. Un usage est de le noter de la même façon, F(...,...), mais il faut bien se souvenir que ce n'est pas le même tenseur (la nature d'un des emplacements est différente).
    Dans le langage des composantes, selon si on contracte sur le premier ou le deuxième emplacement, on va relever le premier ou le deuxième indice :

    ou et, également, par un petit jeu sur les indices muets :
    ou

    ce qui nous donne, en cas de symétrie du F 2 fois covariant de départ :


    et en cas d'antisymétrie :


    Pour terminer, petit laïus sur les matrices : dans le cadre de cette discussion, les matrices qui peuvent intervenir sont les matrices de changement de base, comme par exemple les transformations de Lorentz. Elle n'ont toujours que deux indices, un en haut et un en bas, et l'ordre n'importe pas.

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  9. #8
    fabio123

    Re : Tenseur et convention sur l'ordre horizontal des indices

    @mach3

    Merci pour ces explications, c'est beaucoup plus clair

    Juste une petite précision, est-ce que l'on peut dire que la transformation de Lorentz est un tenseur (1,1), c'est-à-dire (1 fois contravariant, 1 fois covariant = tenseur mixte) ?

    tu as dit que dans ce cas-là, l'ordre n'était pas important mais pourtant, je monte ou descends l'indice avec la métrique
    Dernière modification par fabio123 ; 16/01/2018 à 12h40.

  10. #9
    fabio123

    Re : Tenseur et convention sur l'ordre horizontal des indices

    Juste une petite précision, est-ce que l'on peut dire que la transformation de Lorentz est un tenseur (1,1), c'est-à-dire (1 fois contravariant, 1 fois covariant = tenseur mixte) ?

    tu as dit que dans ce cas-là, l'ordre n'était pas important mais pourtant, je monte ou descends l'indice avec la métrique ou

    Quand je calcule un produit scalaire associé à une forme bilinéaire (de matrice A) :



    est-ce que je peux considérer la matrice A comme un tenseur mixte (c'est-à-dire un tenseur (1,1)) ?

    représente la forme linéaire, je veux dire un covecteur, n'est-ce pas ?
    Dernière modification par fabio123 ; 16/01/2018 à 12h46.

  11. #10
    mach3

    Re : Tenseur et convention sur l'ordre horizontal des indices

    Bon alors je ne suis pas trop sûr de mon coup, mais ça dépend si c'est une transformation passive ou active.

    Si c'est une transformation passive, c'est un simple changement de base. Les vecteurs, tenseurs, etc, ne sont pas modifiés par l'opération, seules leurs composantes par rapport à la base le sont. Là c'est une matrice.

    Si c'est une transformation active, c'est-à-dire qu'on génère de nouveaux vecteurs ou tenseurs à partir d'anciens, alors il s'agit d'un tenseur mixte, avec un emplacement pour mettre le vecteur à transformer et un emplacement pour une 1-forme. Considérons une base de vecteurs et sa base duale de 1-forme (tels que ), alors :



    M, appliqué à u et à la nu-ième 1-forme de base nous donne la nu-ieme composante d'un nouveau vecteur u', le transformé de u par M (). Il s'agit d'un nouveau vecteur.

    Quand je calcule un produit scalaire associé à une forme bilinéaire (de matrice A) :



    est-ce que je peux considérer la matrice A comme un tenseur mixte (c'est-à-dire un tenseur (1,1)) ?

    représente la forme linéaire, je veux dire un covecteur, n'est-ce pas ?
    Attention, ça c'est une traduction en terme de matrice de l'application d'un tenseur 2 fois covariant à deux vecteurs. Sans plus d'information sur la structure dans laquelle on fait ça, est une représentation d'un vecteur, que l'on a transposé pour des raisons de "compatibilité" (on traduit en langage matriciel) et A est une représentation d'un tenseur 2 fois covariant.
    Si il y a une métrique, alors on peut transformer X en covecteur et A en tenseur mixte, mais seulement si il y a une métrique.
    Il faut faire attention à la tendance d'associer matrice ligne/colonne et covecteur/vecteur. C'est une ornière.

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  12. #11
    fabio123

    Re : Tenseur et convention sur l'ordre horizontal des indices

    @mach3 merci pour ta réponse

    Pour terminer, petit laïus sur les matrices : dans le cadre de cette discussion, les matrices qui peuvent intervenir sont les matrices de changement de base, comme par exemple les transformations de Lorentz. Elle n'ont toujours que deux indices, un en haut et un en bas, et l'ordre n'importe pas
    A priori, Il me semble que la transformation de Lorentz est utilisée, peut être uniquement (à confirmer), dans un cadre de changement de base : on peut passer des coordonnées (temps,position) = dans un référentiel R aux coordonnées dans un référentiel R' en déplacement uniforme à la vitesse v par rapport à R:

    C'est ce que tu appelles une transformation passive.

    En ce qui concerne une transformation active (génération d'autres tenseurs), pourrais-tu me donner un exemple d'utilisation ?

    J'ai vu sur une autre source que la transformation de Lorentz est une matrice et pas un tenseur : c'est cette ambiguité que j'aimerais un peu mieux comprendre.

    Je crois comprendre qu'un tenseur (0,1), (1,0), (2,0) ou (0,2) (premier indice = contravariant et deuxième indice = covariant) peut se mettre sous forme matricielle mais l'inverse n'est pas nécessairement vrai : je ne sais pas, sur quels critères on ne peut pas considérer une matrice comme tenseur d'ordre 2, puisque je peux décomposer les composantes sur chaque produit tensoriel des vecteurs de base et ainsi mettre la matrice sous la forme

    si quelqu'un pouvait me donner un exemple sur cette "non-implication" matrice --/--> tenseur

    (--/--> = n'implique pas)

  13. #12
    mach3

    Re : Tenseur et convention sur l'ordre horizontal des indices

    En attendant une réponse plus complète, il y ce fil récent sur le sujet : http://forums.futura-sciences.com/ma...e-tenseur.html

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

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